2022-2023学年四川省江油中学高二下学期第一次阶段考试数学（文）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省江油中学高二下学期第一次阶段考试数学（文）试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知命题，那么命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：C
2．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2B．－2C．D．4
【答案】A
【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值．
【详解】解：由是纯虚数，得，解得．
故选：A.
3．设复数满足，是虚数单位，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，故选A.
4．下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.
【详解】对于A，，故A错；
对于B，，故B错；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错．
故选：C．
5．下列有关命题的表述中，正确的是（ ）
A．命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题
B．命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题
C．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
D．若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题
【答案】C
【分析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.
【详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，
若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；
选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，
当，即为无理数，但是有理数，故B错误；
选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；
选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，
由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.
故选：C.
6．已知函数​，则​（ ）
A．​B．1C．​D．5
【答案】B
【分析】利用导数运算求得.
【详解】，
令得.
故选：B
7．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【分析】分别求出在区间上的平均变化率和在时的瞬时变化率，利用相等求解即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率等于，
在时的瞬时变化率为，
所以，解得.
故选：B
8．“”是“关于的不等式对任意实数恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，及充分、必要条件的概念即可判断.
【详解】当时，对于方程，
即函数无零点，始终在横轴下方，充分性成立；
当时，恒成立，则必要性不成立.
故选：A
9．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：
f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③B．①④C．②③D．③④
【答案】D
【分析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论
【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，
对于①，在区间上单调递减，所以①错误，
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，
对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，
对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时， t的最大值为4，所以④正确，
故选：D
10．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
11．已知，且，为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据复数模的几何意义,可知的轨迹是以为圆心,为半径的圆,而表示圆上的点到的距离,由几何图形,即可求得的最大值.
【详解】根据复数模的几何意义
的轨迹是以为圆心,为半径的圆
表示圆上的点到的距离
的最大值是:
故选:C.
【点睛】本题主要考查复数的几何意义.掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键,属于基础题型.
12．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先对求导结合函数定义域，根据参数a的正负分情况讨论函数单调性及极值点的情况，最终求解.
【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．
因为，所以只有唯一变号正实根．
当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；
当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上所述，．
故选：A.
二、填空题
13．已知，则复数的虚部为_________．
【答案】
【分析】由的指数运算的周期性可化简，根据虚部定义得到结果.
【详解】，的虚部为.
故答案为：.
14．若，则________.
【答案】6.
【解析】根据导数的极限定义即可求解
【详解】.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.
15．已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则______．
【答案】
【分析】求出曲线的切线方程，设曲线的切点坐标为，求出切线斜率，切线方程后，利用两切线重合可得参数值．
【详解】由已知，，又，所以切线方程为，
又，设上切点坐标为，
则，，由得，，
所以，
故答案为：．
16．已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是___________．
（1）；
（2）曲线在处的切线斜率最小；
（3）函数在存在极大值和极小值；
（4）在区间上至少有一个零点．
【答案】（2）（3）（4）
【分析】对函数求导，根据为二次函数，再根据二次函数的图象和性质以及极值的相关知识逐项进形判断即可.
【详解】因为，，
所以，即．
因为，所以，，即，．
，的符号不确定，故（1）错误；
由，可得在处取得最小值，
即在处的切线斜率最小，故（2）正确；
由，可得与轴有两个交点，
则函数在存在极大值和极小值，故（3）正确；
于是，，．
①当时，因为，，
则在区间内至少有一个零点．
②当时，因为，，
则在区间内至少有一零点．
故导函数在区间内至少有一个零点．故（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）．
三、解答题
17．（1）在复平面内，复数对应的点的坐标是，求
（2）设，，且，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据复数对应的点求出，再由共轭复数及复数运算可得；
（2）应用复数的加减法运算即得.
【详解】（1）由题意知，，
∴，
（2）∵，，
∴
∴解得
∴，，
∴．
18．已知函数
(1)求，，；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数的极值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)极小值为，无极大值
【分析】（1）求导函数及，即可；
（2）先求出切线的斜率为，然后由点斜式求解方程即可；
（3）利用导数分析函数的单调性，求极值即可.
【详解】（1）函数，所以.
所以，
（2）切点为，斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即.
（3）已知函数，其定义域为：.
由（1）可知，，
令，得.
所以当时，，为减函数；
当时，，为增函数.
所以当时，有极小值，无极大值.
19．设，．
(1)若，且为真，求实数的范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，分别化简命题p，结合逻辑连接词且含义可得答案；
（2）由是的充分不必要条件，可得由命题对应不等式解集间关系，即可得答案.
【详解】（1）若，则p：，∵，∴
∴或.
∵p且为真，∴，∴.
∴实数的范围为；
（2）由（1），，，因是的充分不必要条件，则，则，且等号不同时成立，
解得，即的范围为．
20．已知：方程表示圆：：方程表示焦点在轴上的椭圆．
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题为真，为假，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆的一般方程计算即可；
（2）根据条件判断两个命题一真一假，分类讨论求范围即可.
【详解】（1）由题意，命题：方程，可化得，则，解得，
所以实数的取值范围．
（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则，
当为真，为假时，结合（1）可得：，
当为假，为真时，结合（1）可得：．
综上，实数的取值范围为：．
21．已知为实数，函数，
(1)若是函数的一个极值点，求的值，并求函数的单调区间；
(2)若在内单调递增，求实数的范围．
【答案】(1)；函数的单调增区间为：，；单调减区间为：
(2)
【分析】（1）利用可得，后可得单调区间；
（2）由题可得在上恒成立，即可得答案.
【详解】（1）∵函数，∴.
∵是函数的一个极值点，∴，得，得；
当时，，，
当时，可得或者；当时，可得；
∴函数的单调增区间为：，；单调减区间为：；
（2）由题意，对一切，恒成立，即，恒成立.
又在上是增函数，上减函数，
∴时有最大值18，∴，即实数的范围是.
22．设函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分情况讨论导数的正负情况及函数的单调性；
（2）根据极值情况可得，函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，数形结合可得参数范围.
【详解】（1）由，得，
令，解得或，
当时，，和时，，单调递增，时，，单调递减；
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，，和时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述：
当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
当时，在上单调递增，无减区间；
当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；
（2）因为函数在处有极值且
所以，即，解得，
当时，，，
令，解得或，
所以函数在处取极小值，即成立；
的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，，
如图所示，
函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，
数形结合可知，，
解得，
所以的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
x
－1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增