2022-2023学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题 一、单选题1．设全集，集合，则（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】解一元二次不等式求集合，应用补集运算求集合.【详解】由，则或.故选：D2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义，结合复数的除法，可得答案.【详解】因为复数在复平面内对应的点为，则，所以，故选：B.3．已知向量，，，则的值为（    ）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由题意向量，，且，则.故选：A4．已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（    ）A．4 B． C．12 D．【答案】D【分析】由导数的四则运算求，将代入即可得对应点斜率.【详解】由题设，则，可得，故的图象在点处的切线斜率为.故选：D5．在正项数列中，，，则（    ）A．为递减数列 B．为递增数列C．先递减后递增 D．先递增后递减【答案】A【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.【详解】由，且，显然成立，假设，成立，当时，则，所以，故为递减数列.故选：A6．的展开式中的系数为（    ）A．1 B．6 C．12 D．144【答案】C【分析】根据二项式定理的展开原理，结合组合数，可得答案.【详解】由题意，对于整式中，个括号选出，个括号不选，则.故选：C.7．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《咏柳》《送元二使安西》《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》《江畔独步寻花》五首古诗，并要求《黄鹤楼送孟浩然之广陵》《绝句》默写次序相邻，则不同的默写次序有（    ）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种【答案】B【分析】应用捆绑法，结合分步乘法及排列数求不同默写次序数.【详解】将相邻的两首诗捆绑有种方法，再作为一个元素，与其它3首诗作全排有种方法，所以共有种.故选：B8．若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造，，利用导数研究单调性判断大小，构造且，利用导数研究单调性判断大小.【详解】对于，令，，所以，即在上递增，故，即在上恒成立，所以；由，，则，令，且，所以，即在上递增，所以，即.综上，.故选：D 二、多选题9．下列有关线性回归分析的说法正确的是（    ）A．经验回归直线是经过散点图中样本点最多的一条直线B．经验回归直线一定经过点C．残差图中所有散点的纵坐标之和为0D．两个变量的负相关关系越强，回归模型的越接近于【答案】BC【分析】根据回归直线的实际意义判断A、B；由残差图、相关关系中相关指数的意义判断C、D.【详解】A：经验回归直线不一定经过散点图中样本点，故错误；B：经验回归直线必过样本中心，正确；C：在残差图中残差对应纵轴值，各散点围绕x轴(零点)两侧分布，又预测值与观测值的总体均值相等，故所有散点的纵坐标之和为0，正确；D：两个变量的负相关关系越强，回归模型的相关系数越接近于，错误；故选：BC10．已知函数在处取得极值，则（    ）A．B．在处取得极大值C．有3个不同的零点D．在区间上的值域为【答案】ABC【分析】利用极值点和导数，求出的值，得到函数解析式，再利用导数求函数的极值、零点和区间内的值域.【详解】函数定义域为R，，函数在处取得极值，则，得，A选项正确；，，，解得或，，解得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值，在处取得极小值，B选项正确；，，，，所以上、上和上各有一个零点，C选项正确；时，在上单调递减，在上单调递增，，，，在区间上的值域为，D选项错误.故选：ABC11．某小学六年级有3个班，六（1）班、六（2）班、六（3）班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，六（1）班的不及格率为10%，六（2）班的不及格率为20%，六（3）班的不及格率为15%，从该校随机抽取一名六年级学生.记事件“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在六（）班”（，2，3），则（    ）A．B．C．与（，2，3）均不相互独立D．【答案】BD【分析】对于A，利用古典概型的概率计算公式，可得答案；对于B，根据全概率公式，可得答案；对于C，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；对于D，根据条件概率公式的计算公式，可得答案.【详解】对于A，，，，故A错误；对于B，由题意，，，，，故B正确；对于C，由，则，即与相互独立，故C错误；对于D，，，则，故D正确.故选：BD.12．已知双曲线：的一条渐近线方程为，圆：上任意一点处的切线交双曲线于，两点，则（    ）A．B．满足的直线仅有2条C．满足的直线仅有4条D．为定值2【答案】AD【分析】由双曲线及其渐近线方程求得，写出双曲线方程，讨论或斜率不存在易得，判断A、B；若，且，得到，联立双曲线方程应用韦达定理及向量夹角的坐标表示求得为定值，即，进而有，即可判断C、D.【详解】因为双曲线：，所以其渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，故，A对；  若时，，此时，若斜率不存在时，，此时，所以对应直线有4条，B错；若，且，直线斜率存在为，则，即（也满足），代入，消得：，即，，所以，，则，所以，即，所以，则直线有无数条，C错误；由C分析易知：，则，故，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：对于C、D，设切点坐标并写出切线方程，联立双曲线方程，应用韦达定理、向量夹角坐标表示判断为定值为关键. 三、填空题13．若，且，则 ；【答案】【详解】因为，且，则，所以． 14．记等差数列的前项和为，若，则      .【答案】【分析】利用等差数列前n项和、等差中项可得，再应用通项公式求结果.【详解】，则，其中为公差，则，故.故答案为： 四、双空题15．某制药公司为了验证一种药物对治疗“抑郁症”是否有效，随机选取了100名抑郁症患者进行试验，并根据试验数据得到下列2×2列联表： 用药未用药症状明显减轻3733症状没有减轻822根据表中数据，计算可得      （结果精确到0.001），依据小概率值      （填临界值表中符合条件的最小值）的独立性检验，可以认为该药物对治疗“抑郁症”是有效的.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】     5.820     0.05【分析】根据给定数表，求出的观测值，再结合临界值表，求出符合条件的作答.【详解】由列联表中数据得：，因为，所以.故答案为：； 五、填空题16．已知四棱锥的外接球的体积为，平面，且底面为矩形，，则四棱锥体积的最大值为      .【答案】32【分析】将四棱锥补成长方体，求得四棱锥外接球半径，利用长方体体对角线长求得四棱锥底面积的最大值，即可求得答案.【详解】由于平面，故可将四棱锥补成长方体，如图示：  可知四棱锥外接球直径即为该长方体的体对角线；设四棱锥外接球半径为R，则，设长方体的长、宽、高分别为，不妨设，其中，则，即，由，即，当且仅当时等号成立，所以底面面积的最大值为24，故四棱锥体积的最大值为，故答案为：32 六、解答题17．已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据公式，即可求通项公式；（2）根据（1）的结果，首先求，即可证明不等式.【详解】（1）当时，，解得.当时，，两式相减整理得，所以是，公比的等比数列，故.（2），而关于单调递增，，且，所以.18．在中，角，，的对边分别是，，，已知，且，角为锐角.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理，利用边化角整理等式，结合和角公式，可得答案；（2）利用三角函数的和角公式，结合正弦定理，求得边长，利用三角形的面积公式，可得答案.【详解】（1）由条件及正弦定理可得，即，所以.因为，，所以，所以，又因为为锐角，所以.（2）由（1）可知，因为是锐角，所以，，所以由正弦定理得，即，解得，所以.19．如图，在三棱锥中，底面，是正三角形﹐点在棱上，且，点为的中点.   (1)证明：为的中点；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明，由三角形中位线可得为的中点；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）因为是正三角形，为的中点，所以，又，平面，且， 所以平面，平面，所以.因为底面，平面，所以，平面内，，，则有，点为的中点，所以为的中点.（2）由（1）可知底面，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.  由，得，所以，则.所以.设平面的法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20．某智力问答节目中，选手要从，两类题中各随机抽取2个进行作答.类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分，类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在类题中小明仅能答对其中的4个，每个类题小明能答对的概率都是.且每个类题回答正确与否相互独立.(1)求小明恰好答对2个题的概率；(2)求小明答类题和答类题得分的期望之和.【答案】(1)(2)12 【分析】（1）分两种情况求出概率：①答对2个类题，②答对1个类题和1个类题，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果，（2）设小明答对类题的个数为，答对类题的个数为，则由题意可得服从超几何分布，服从二项分布，然后利用期望公式可得结果.【详解】（1）小明恰好答对2题，分两种情况：①答对2个类题：；②答对1个类题和1个类题：.所以小明恰好答对2个题的概率为.（2）设小明答对类题的个数为，答对类题的个数为，则服从超几何分布，则，则小明答类题得分的期望为.服从二项分布，则，则小明答类题得分的期望为.综上，小明答类题和答类题得分的期望之和为.21．已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；（2）讨论直线的斜率，设的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到关于所设参数的关系式，进而求范围.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，根据题意解得故的方程为.（2）由（1）知：.当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，不妨取，此时，则.当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，代入椭圆并消去得，设，则.而，所以.因为，所以，所以.综上，的取值范围为.22．已知函数，.(1)当时，求的极小值；(2)若有2个零点，求的取值范围.【答案】(1)0；(2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数求出极小值作答.（2）求出函数及定义域，由零点的意义分离参数，构造函数并求出最大值，数形结合求解作答.【详解】（1）当时，，则，由函数和在上单调递增，知在上单调递增，又，因此当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为.（2）依题意，，其定义域为，由，得，令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，恒成立，函数的大致图象如下：  观察图象知，当时，与的图象有2个交点，所以的取值范围是.