2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题含答案

这是一份2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省示范高中培优联盟高二下学期春季联赛数学试题一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集.【详解】由题意集合表示点集，解方程组，得或，故，故选：D2．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出答案.【详解】根据一元二次方程复数根成共轭复数形式出现，则另一个复数根为，根据两根之积得，则，根据两根之和有，解得，故选：B.3．已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，且，则【答案】D【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.【详解】对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误；对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误；对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误；对于D项，因为，又，所以，故D正确；故选：D4．某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（    ）A．24 B．32 C．36 D．48【答案】C【分析】分1,1,3三组，1,2,2三组讨论，并利用排列组合公式即可得到答案.【详解】如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有： 种，如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有： 种，由加法原理可得：不同分配方法数为种.故选：C5．著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他心中记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的32次方根仍是一个整数，这个32次方根是多少？（    ）真数常用对数真数常用对数20.3090.9530.48101.0040.60111.0450.70121.0860.78131.1170.85141.1580.90151.18A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】设这个数为x，则可得，利用对数运算并结合已知图表可求得，即可求得x的值，即得答案.【详解】设所求这个数为x，则，N为20位整数，则，因为，故，所以，由表可知，即，故这个32次方根是4，故选：B6．已知函数有两个极值点，且，，那么关于的方程的不同实根的个数是（    ）A．6个 B．4个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】首先利用导数得到函数单调性，再作出图象，而由方程可知，再利用图象即可得到根的个数.【详解】，令得，不妨令，故在上单调递增，在上单调递减，方程可得，而，，由的单调性并作出图象可知直线分别过点，与函数图象均有两个交点，故方程的根的个数是4个.故选：B. 二、解答题7．已知(1)讨论函数的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求得，分、和，三种情况讨论，结合的符号，即可求解.（2）解法1：转化为恒成立，设，求得，得到存在唯一的实数，使得，得出函数的单调性与最小值，进而转化为在时的取值范围，设，利用导数求得其最小值，即可求解；解法2：由题意转化为，构造函数，转化为证明，设，利用导数求得单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数的定义域为，可得.当时，，在单调递增；当时，，在单调递增；当时，令，得，故在单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.（2）解法1：只要证明恒成立即可，即证明恒成立即可，设，其中，函数的定义域为且，令，可得，所以为单调递增函数，可得存在唯一的实数，使得，即当时，，当时，.故的最小值为，又由，所以在是减函数，且.要使恒成立，只需即可，即求在时的取值范围.，设，可得，所以在定义域内为减函数，故.所以的取值范围为.解法2：只要证明恒成立即可，即证明构造函数，易知为增函数，原式等价于证明即证明，得.设，则，所以在单调递增，在上单调递减.，所以的取值范围为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．8．已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离为，列出方程求得，再由，求得，即可求得双曲线的方程；（2）设点，得到直线的方程，设直线的方程为，点，根据，取得，得到直线的方程为，设，根据共线，求得，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：由双曲线，可得焦点，其中一条渐近线方程为，则点到渐近线的距离为，解得，又由，可得，解得，故双曲线的标准方程为.（2）解：由双曲线，可得，设点，则直线的方程为，即，由题意，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，又由，可得，解得，即直线的方程为，设，由点共线，可得，即，得，即点，则点到直线的距离为.即点到直线的距离为定值.    9．如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，，点为棱上的任意一点.  (1)求证：；(2)是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为靠近的三等分点 【分析】（1）由，证得，得到，又由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，设棱上存在一点，设，得到，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形，因为，所以，因为，所以，所以，即，又因为平面，平面，且，所以平面，因为平面，所以.（2）解：如图所示，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，由（1）知，故，故假设在棱上存在一点满足题意，设.所以设平面的法向量为，则 ，易令，可得，所以又由平面的一个法向量为设二面角为，可知二面角为锐二面角则，整理得，即，解得或（舍去），所以，存在点为靠近的三等分点.  10．“十三五”时期，在党中央､国务院坚强领导下，全民健身国家战略深入实施，全民健身公共服务水平显著提升，全民健身场地设施逐步增多，人民群众通过健身促进健康的热情日益高涨，经常参加体育锻炼人数和参加锻炼的时间都在明显增加.某城市为了调查该市市民积极参加体育锻炼的情况，从市民中随机抽取了50人，结果是他们参加锻炼的时间都在区间内，锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)如果锻炼时间的中位数的估计值大于或者等于平均数的估计值，则说明该城市市民积极参加锻炼的意识很强，否则说明该城市市民积极参加锻炼的意识不强，请你根据直方图对他们积极参加锻炼的意识强与不强做出判断；(2)假如根据调查统计结果规定：锻炼时间在的市民为优秀层次，时间在的为非优秀层次，（ⅰ）从被调查的50人中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取5人，求这5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；（ⅱ）用频率作为概率，现从该城市所有市民中随机抽取3人，这3人中锻炼时间为优秀层次的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)该市市民积极参加体育钗炼的意识很强(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析， 【分析】（1）分别利用频率分布直方图估计中位数和平均数，即可得答案；（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，即可得概率；（ⅱ）由题可知，即可得随机变量X的分布列和数学期望.【详解】（1）锻炼时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对应的值，设为，.，则在之间.解得，即中位数的故计值分钟.又锻炼时长平均数估计值为:.因为中位数的估计值分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市市民积极参加体育钗炼的意识很强.（2）（ⅰ）由题可得10人中，优秀6人，非优秀4人，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的情况有优秀5人，优秀4人非优秀1人，优秀3人非优秀2人三种情况，则5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；（ⅱ）根据频率，不难得到从该城市市民中随机抽取一人，锻炼时间为优秀层次的概率为，人数服从二项分布，故的分布列为0123数学期望.11．如下图，已知有个正数排成行列：其中每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，且所有的公比相等，已知，，.  (1)求和的值；(2)求（用含的式子表达）.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）设第行的公差为，公比为，根据，及等差数列的通项公式求解，根据，及等比数列的通项公式求出，再由等差数列的通项公式求出，最后由等比数列的通项公式求和的值；（2）先根据等差数列的通项公式求出，再根据等比数列的通项公式求出，最后由错位相减法求和.【详解】（1）设第行的公差为，公比为，因为，，，所以，,解得.所以，.（2），，所以，，作差可得，所以.12．已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为.(1)当时，求的值；(2)求函数的解析式及最大值.【答案】(1)(2)，其中；最大值为 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，求得，进而求得的长，得到三角形的周长；（2）由，根据正弦定理得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由，可得，即，设三角形的外接圆半径是，由正弦定理得，因为，所以，又又由，解得，所以三角形的周长为.（2）解：由，且，可得，可得，所以，由，所以当，即时，取到最大值. 三、填空题13．已知双曲线的右焦点为，在双曲线左支上取一点，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于，若向量，则双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解.【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，直线与圆相切,，，为的中点，，相似于，且相似比为，故..在双曲线中，由双曲线定义知，.为直角三角形，，即，解得，故双曲线的离心率为.故答案为:.14．已知函数定义域为且满足①为偶函数；②任意都有成立；③，都有，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________.【答案】（答案不唯一）【分析】由三个条件依次分析出函数具有对称性、单调性等性质，可从熟悉的函数中找到符合条件的函数.【详解】由性质①为偶函数知，函数关于直线对称；由性质②任意都有成立，可设，待定系数可得当时，；由性质成立③，都有可知函数在上单调递增，因此可写出满足上述三个性质的一个函数为.故答案为：（答案不唯一）15．若，则__________.【答案】8【分析】令，可得答案.【详解】注意到.又，则.故答案为：816．已知，则的最小值为__________.【答案】0【分析】设，根据圆心到直线的距离小于等于半径列式可求出结果.【详解】由可得圆心为，半径为，设，即，依题意得，解得，所以的最小值为.故答案为：. 四、多选题17．已知正方形的边长为2，点分别是线段上的动点，若满足，则下列说法正确的是（    ）A．当时，则B．当时，点分别是线段的中点C．当时，D．当时，的最小值为【答案】BCD【分析】建立平面直角坐标系，设出的坐标，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项作答.【详解】以点为坐标原点，分别为轴，轴建立平面直角坐标系，如图，  设，，，由，得，则，对于A，当时，得，不能得，如取，，满足条件，A错误；对于B，当时，得，此时点分别是线段的中点，B正确；选项C，由选项B知，，，而，，C正确；选项D，当时，显然且，此时，否则或，矛盾，即有，而，因此，整理得，而，于是，当且仅当时取等号，整理得，令交于，显然与不重合，，，由共线，得，即，解得，即，的最小值为，D正确.故选：BCD18．如图所示，已知，，，作以为直角顶点的等腰直角，作点和点的中点，继续作以为直角顶点的等腰直角，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（    ）  A．所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B．第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C．点的纵坐标为D．若记第个等腰直角三角形的面积为，则【答案】ABD【分析】由题意分析逐项判断即可.【详解】由图易知，所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列，故选项A正确；选项B，，故选项B正确；选项C，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为，故选项C错误；选项D，，故选项D正确.故选：ABD. 五、单选题19．已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】AB【分析】化简，根据题意，结合正弦函数的图象，得到，，求得的范围，结合选项，即可求解.【详解】由函数，当时，可得，因为在上有3个零点，结合正弦函数的图象可知，，解出，所以正整数的取值可以是或.故选：AB. 六、多选题20．我们可以用统计图表表示数据，对获得数据进行统计分析.据《中国统计年鉴（2022）》可知，2016~2021年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示.（已知少儿抚养比，老年抚养比，总抚养比（%）少儿抚养比（%）+老年抚养比（%））根据图表，下列说法正确的有（    ）A．从2016年到2021年期间，0~14岁人口比重在逐年上升B．从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降C．2021赡养老人的压力比2020年更重D．2021年总抚养比大于2020年总抚养比【答案】BCD【分析】根据图表，逐项分析每个选项中的数据，可得答案.【详解】对于A，由图表可知2018年到2019年间以及2020年到2021年间0~14岁人口比重在降低，A错误；对于B，从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降，正确；对于C，2021年65岁以及以上老年人抚养比为，2020年65岁以及以上老年人抚养比为，故2021赡养老人的压力比2020年更重，C正确；对于D，2021年总抚养比为，2020年总抚养比为，故2021年总抚养比大于2020年总抚养比，D正确，故选：BCD 七、单选题21．已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可得四面体的外接球的球心为的中点，再利用等体积法求内切球的半径，进而可得结果.【详解】取中点，由矩形的性质可知，即为该四面体的外接球的球心，故外接球的半径；因为，，平面，可得平面，平面，则，且，，平面，可得平面，平面，则，故该四面体的四个面都是直角三角形，设四面体的内切球的半径为，因为内切球与四面体的四个面都相切，故满足，则，解得；因此该四面体的内切球和外接球的表面积的比值为.故选：C.    22．我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数的最小值（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造合适的三棱锥模型，其中，，利用余弦定理证明即为底面周长，最后将其展开即可得到最小值.【详解】根据函数的表达式可知，构造三棱锥，其中，且，由余弦定理可得，，，的最小值即为的最小值，将三棱锥按照展开可得展开图，且，故的最小值为.故选：A.