2022-2023学年江苏省南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学、镇江心湖高级中学高二下学期5月联考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学、镇江心湖高级中学高二下学期5月联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市人民中学、海安市实验中学、句容市第三中学、镇江心湖高级中学高二下学期5月联考数学试题 一、单选题1．设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由独立事件及互斥事件的概念和性质即可得到二者间的逻辑关系【详解】由“事件相互独立”得，；由“事件互斥”得；由不能得到；由不能得到所以“事件相互独立”是“事件互斥”的既不充分也不必要条件故选：D.2．复数的虚部为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用复数得乘除法运算求出复数z，再根据虚部得定义即可得解.【详解】解：，所以复数的虚部为-2.故选：A.3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D. 4．某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（   ）A．5人 B．4人 C．3人 D．2人【答案】D【分析】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y，然后根据分层抽样的原理列方程，然后解方程求解即可.【详解】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y.因为老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以，解得，则.故选：D.5．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中），若该组数据的中位数是众数倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（    ）A．，5 B．5，5 C．，6 D．5，6【答案】C【分析】先求出x的值，再根据定义分别求解.【详解】中位数 ，众数为4，,由题意知，解得，该组数据的平均数为，该组数据的方差是，因为，所以该组数据的60%分位数是6；故选：C.6．直线是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b等于（    ）A．－1＋ln2 B．1 C．ln2 D．1＋ln2【答案】A【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设直线与曲线y＝lnx相切于点，由y＝lnx可得，于是有：，故选：A7．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有A．252种 B．112种 C．70种 D．56种【答案】B【分析】因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列．【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，一种是：一组2人，另一组5人，有C72＝21中分法；  另一种是：一组3人，另一组4人，有C73＝35中分法，∴共有21+35＝56种分组法．第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A22＝2种分配方法，最后，把两步方法数相乘，共有（C72+C73）A22＝（21+35）×2＝112种方法，故选B．【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．8．定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，结合题设条件，利用导数求得在定义域上单调递增，把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】设，可得．因为，所以，所以，所以在定义域上单调递增，又因为，即，又由，所以，所以，所以不等式的解集为.故选：C． 二、多选题9．已知8件产品中有3件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，则（    ）A． B．与相互独立C． D．【答案】AD【分析】根据古典概型的概率公式及条件概率概率公式计算可得；【详解】解：依题意，故A正确；，所以，故C错误，因为，故与不独立，故B错误；对于D：，故D正确；故选：AD10．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ）A．图中的值为0.016B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80【答案】BCD【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A错误；得分介于60至90之间的频率为，故B正确；得分不小于90的人数估计为，故C正确；得分介于50至80之间的频率为，故D正确.故选：BCD.11．下列说法中正确的是（    ）A．已知为随机变量，则B．已知随机变量服从二项分布，则方差C．已知随机变量X服从正态分布，若，则D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大【答案】BC【分析】根据期望与方差的性质即可判断A；根据二项分布的方差公式即可判断B；根据正态分布的特点即可判断C；根据两点分布的期望和方程公式求出和，进而根据一次函数和二次函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为随机变量服从二项分布，所以方差，故B正确；对于C，因为随机变量X服从正态分布，所以正态分布密度曲线的对称轴是直线，因为，所以，所以，故C正确；对于D，由题意可知，，，由一次函数和二次函数的单调性可知，当时，随着x的增大而减小，随着x的增大而减小，故D错误.故选：BC.12．已知函数，则（    ）A．函数在上单调递增 B．有三个零点C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.【详解】函数，定义域为R，，，解得或；，解得，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，，，函数图像如图所示，则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，所以AB选项错误，C选项正确；曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.故选：CD. 三、填空题13．的展开式中的系数为                （用数字作答）．【答案】-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-28 14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是      ．附:若,则，.【答案】1500【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.【详解】因为考试的成绩服从正态分布，根据，，则，得，即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．故答案为：1500.15．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的方差为      .【答案】【分析】先设出这名学生在上学路上遇到红灯的次数，由题意且，再求出，进而求出即可.【详解】设变量为这名学生在上学路上遇到红灯的次数，则.由题意知，所以.所以.故答案为：.16．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数a的取值范围为      .【答案】【分析】首先利用基本不等式和一次函数的单调性求出、在上的最小值，将问题转化为，解不等式即可求解．【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.又因为在上单调递增，所以时，，由题意，对任意的，存在，使得，所以，所以，即，所以实数a的取值范围为.故答案为：. 四、解答题17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？【答案】(1)480(2)504(3)504 【分析】（1）利用插空法可求答案；（2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案；（3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案.【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种.（2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法；第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法，所以共有种方法.（3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种.18．已知展开式的二项式系数和为512，且（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余数.【答案】（1）144；（2）19682；（3）5.【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案【详解】解：（1）由二项式系数和为512知， ，即由得（2）令得令得所以（3）由因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5.19．有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利50%不赔不赚亏损30%概率产品：投资结果获利40%不赚不赔亏损20%概率注：，.（1）若甲、乙两人分别选择了产品、投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围：（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，    又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.20．为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进： 把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为： ， 且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品. （1）当 时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少.【答案】（1）元；（2）吨.【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（2）确定处理每吨二氧化碳的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．【详解】（1）当时，设该工厂获利为，则，所以当时，，因此，该工厂不会获利.所以国家至少需要补贴元，才能使工厂不亏损；（2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：.①当时，所以 ，因为，所以当时， ，为减函数，当时， ，为增函数，所以当时， 取得最小值；②当时，.当且仅当时，即时， 取最小值.因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少.【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，考查导数与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.21．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.参考数据：若，则，，.【答案】(1)(2)分布列见解析，(3) 【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量的所有可能的取值，计算出每个对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到，再根据其对称性处理即可．【详解】（1）解：这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组中在，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4．所以，，，，，所以的分布列为：01234所以．（3）由（1）得，，所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，得，所以估计在之间通过的车辆数为辆．22．已知函数，其中.(1)若，求函数在上的最值；(2)当时，证明：在上存在唯一零点.【答案】(1)最小值为，最大值为(2)证明见解析 【分析】（1）当时，，利用导数分析其在上的单调性，进而求解即可；（2）由题意可得，，令，先利用导数研究在上的单调性，再利用零点存在性定理研究在上存在一个零点，进而得到函数在上的单调性，进而求证即可.【详解】（1）当时，，所以，令，即；令，即，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以函数在上的最小值为，最大值为.（2）证明：因为，，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上存在一个零点，在上没有零点，故在上存在唯一零点.【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于利用导数得到在上单调递增，进而得到存在，使得在上单调递减，在上单调递增，从而求证.