2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二下学期5月学情调查数学试题含答案
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一、单选题
1.若集合,则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】解不等式求出集合,再由并集概念求解即可.
【详解】对于集合,由解得,
又∵,∴.
又∵,
∴满足条件的集合可能为,,,,共个.
故选:C.
2.一个袋中有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球,则小明得分大于6分的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】求出,即可得出.
【详解】记得分为X,则X的可能取值为5,6,7,8,
因为,,
所以.
故选:A.
3.设、,向量,,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值,求出向量的坐标,利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为,则,解得,则,
因为,则,解得,即,
所以,,因此,.
故选:D.
4.命题:,是假命题,则实数的值可能是( )
A. B. C.2 D.
【答案】B
【分析】由题意可知:,,利用判别式小于0即可求解.
【详解】因为命题:,是假命题,
所以命题:,是真命题,也即,恒成立,
则有,解得:,根据选项的值,可判断选项B符合,
故选:B.
5.质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件为“第一次向下的数字为偶数”,事件为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列说法错误的是( )
A. B.事件和事件互为对立事件
C. D.事件和事件相互独立
【答案】B
【分析】求得的值判断选项A;举反例否定选项B;求得的值判断选项C;利用公式是否成立判断选项D.
【详解】选项A:,故A正确;
选项B:事件A和事件B可以同时发生,如事件A和事件B均为:第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数,则事件A和事件B不是对立事件,故B错误;
选项C:,则,故C正确;
选项D:,又,,
则有成立,则事件A和事件B相互独立,故D正确.
故选:B.
6.某工厂为研究某种产品的产量(吨)与所需某种原材料的质量(吨)的相关性,在生产过程中收集5组对应数据,如下表所示.(残差=观测值-预测值)
3
4
5
6
7
4.0
2.5
0.5
根据表中数据,得出关于的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为,则表中的值为( )
A.1.5 B.1.2 C. D.
【答案】A
【分析】由已知条件求出的值,再由回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】因为样本处的残差为,即,所以,
所以回归方程为:,
因为,,
因为样本中心点在回归直线上,所以,解得:,
故选:A.
7.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量,其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量,最后结果的误差,则为使的概率控制在0.0455以下,至少要测量的次数为( )
(附:若随机变量服从正态分布,则,,
A.32 B.64 C.128 D.256
【答案】C
【分析】根据得到,进而结合正态分布的概率求法求得答案.
【详解】根据题意,,
而,则,所以.
故选:C.
8.已知数列的前项和为,数列中的每一项可取1或2,且取1和取2的概率均为,则能被3整除的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】法一、依题意可设为被3整除的概率,所以,构造新数列求得通项公式即可;
法二、按古典概型得出数列共有种情况,讨论能被3整除的4种情况计算即可.
【详解】被3除,有3种情况,分别为被3整除,余数为1,余数为2,
设为被3整除的概率,
所以,则,
又,则,
所以,是以为首项,以为公比的等比数列,有,
即,所以.
法二:由古典概型可知,数列共有种情况,
能被3整除,有以下4种情况:
①中有10个1,1个2,有种情况;
②中有7个1,4个2,有种情况;
③中有4个1,7个2,有种情况;
④中有1个1,10个2,有种情况,
所以,被3整除的概率为
故选:C
二、多选题
9.下列结论正确的是( )
A.若随机变量服从二项分布,则
B.若随机变量服从正态分布,则
C.若随机变量服从两点分布,,则
D.若随机变量的方差,则
【答案】AB
【分析】根据二项分布的概率,正态曲线的对称性,两点分布的期望,方差的性质,即可分别求解.
【详解】对于A,若随机变量服从二项分布,则,故选项A正确.
对于B,若随机变量服从正态分布,则,
故,故选项B正确.
对于C,若,,,故选项C错误.
对于D,根据方差的计算公式,,则,故选项D错误.
故选:AB.
10.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务,当天活动结束后,这6名同学排成一排合影留念,则下列说法正确的是( )
A.若要求3名女生相邻,则这6名同学共有144种不同的排法
B.若要求女生与男生相间排列,则这6名同学共有72种排法
C.若要求3名女生互不相邻,则这6名同学共有144种排法
D.若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾,则这6名同学共有480种排法
【答案】ABC
【分析】捆绑法解决选项A,插空法解决选项BC,特殊元素(位置)优先法解决选项D.
【详解】选项A,将3名女生捆绑在一起,再与3名男生进行全排列,则有(种),故A正确,
选项B,要求女生与男生相间排列,采用插空法,则有(种),故B正确,
选项C,先排3名男生,3名女生插空,则有(种),故C正确,
选项D,若男生甲在排尾,则有(种);若男生甲不在排头也不在排尾,则有(种),
所以男生甲不在排头女生乙不在排尾,共有种排法,故D错误.
故选:ABC.
11.如图,在棱长为1的正方体中,P为棱的中点,Q为正方形内一动点(含边界),则下列说法中正确的是( )
A.若平面,则动点Q的轨迹是一条线段
B.存在Q点,使得平面
C.当且仅当Q点落在棱上某点处时,三棱锥的体积最大
D.若,那么Q点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】A:取、中点,连接、、PF,证明平面∥平面,则点的轨迹为线段;
B:以为原点,建立空间直角坐标系,设,求出平面的法向量,根据求出x、z即可判断;
C:的面积为定值,当且仅当到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大;
D:可求为定值,即可判断Q的轨迹,从而求其长度.
【详解】取、中点,连接、、PF,
由PF∥∥且PF=知是平行四边形,
∴∥,∵平面,平面,∥平面,
同理可得EF∥平面,∵EF∩=F,
∴平面∥平面,则点的轨迹为线段,A选项正确;
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,设,
则,,
设为平面的一个法向量,
则即得取,则.
若平面,则∥,即存在,使得,则,解得,故不存在点使得平面,B选项错误;
的面积为定值,当且仅当到平面的距离d最大时,三棱锥的体积最大.
,
,,则当时,d有最大值1;
②,,则当时,d有最大值;
综上,当,即和重合时,三棱锥的体积最大,C选项正确;
平面,,
,,Q点的轨迹是半径为,圆心角为的圆弧,轨迹长度为,D选项正确.
故选:ACD.
【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用,需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质,需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题,掌握利用空间向量求点到平面的距离,利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹,考察知识点较多,计算量较大,属于难题.
12.若实数,满足,,,则( )
A.且 B.的最小值为
C.的最小值为7 D.
【答案】AD
【分析】根据指数函数的性质判断A,利用基本不等式判断BC,根据指数幂的运算判断D;
【详解】对于A:因为,若,则,又,显然不成立,即,
同理可得,所以,即且,故A正确;
对于B:,即,所以,
当且仅当,即,时取等号,即的最大值为,故B错误;
对于C:
,
当且仅当,即,时取等号,故C错误;
对于D:,
因为,所以,即,即,
即,因为,所以,即,故D正确;
故选:AD.
三、填空题
13.的展开式中,常数项为 .(用数字作答)
【答案】
【解析】写出展开式的通项,令的指数为零,求出参数的值,代入通项即可得解.
【详解】展开式的通项为,
令,可得,
因此,展开式中的常数项为.
故答案为:.
14.有5人参加某会议,现将参会人安排到酒店住宿,要在、、三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会人入住,则这样的安排方法共有 .
【答案】150
【分析】根据题意,分2步进行分析:①把5人分层三组,一种按照1,1,3;另一种按照1,2,2,由组合数公式可得分组的方法数目,②将分好的三组对应三家酒店,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意:分2步进行:
①5人在a、b、c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会人入住,
可以把5人分成三组,一种是按照1,1,3;另一种是按照1,2,2;
当按照1,1,3来分时共有种分组方法;
当按照1,2,2来分时共有种分组方法;
则一共有种分组方法;
②将分好的三组对应三家酒店,有种对应方法,
则安排方法共有种,
故答案为:150.
15.已知函数(),则它的最小值为 .
【答案】
【分析】由展开后,运用基本不等式可得所求最小值.
【详解】由,可得,,
则
,
当且仅当,即时取得等号,
则的最小值为.
故答案为:.
四、双空题
16.有个编号分别为1,2,…,n的盒子,第1个盒子中有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子,以此类推,则从第2个盒子中取到白球的概率是 ,从第个盒子中取到白球的概率是 .
【答案】
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球,利用全概率公式可得,进而可得,然后构造等比数列,求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球,则,,
所以,
,
,
进而可得,,
又,,,
所以是首项为,公比为的等比数列,
所以,即,
故答案为:;.
五、解答题
17.设函数的定义域为,集合().
(1)求集合;
(2)若:,:,且是的必要不充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组,求出集合;
(2)根据p是q的必要不充分条件,得到是的真子集,分与两种情况,进行求解.
【详解】(1)要使得函数有意义,只需要解得,
所以集合.
(2)因为是的必要不充分条件,所以是的真子集,
当时,,解得;
当时,解得,
综上可知,实数的取值范围是.
18.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的和浓度(单位:),得下表:
32
18
4
6
8
12
3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过75,且浓度不超过150”的概率;
(2)根据所给数据,完成下面的列联表:
(3)根据(2)中的列联表,分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关.
附:.
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)0.64
(2)列联表见解析
(3)有关
【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;
(2)根据表格中数据可得列联表;
(3)计算出,结合临界值表可得结论.
【详解】(1)由表格可知,该市100天中,空气中的浓度不超过75,且浓度不超过150的天数为,
所以该市一天中,空气中的浓度不超过75,且浓度不超过150的概率的估计值为.
(2)浓度在,且浓度在的天数为,
浓度在,且浓度在的天数为,
浓度在,且浓度在的天数为,
浓度在,且浓度在的天数为,
由以上数据,可得列联表:
64
16
10
10
(3)提出假设:该市一天空气中浓度与浓度无关.
根据列联表中数据,经计算得到,
即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
19.如图所示,在直四棱柱中,,,,,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可;
(2)建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果.
【详解】(1)因为在直四棱柱中,面,
又面,所以,
又因为,所以,即两两垂直,
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
则,
,
,.
(2)因为,,
设平面的法向量为,则由得,
令,则,故,
设直线与平面所成角为,
因为,所以,
故直线与平面所成角的正弦值为.
20.在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并完成解答.
条件①:“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”;
条件②:“展开式中前三项的二项式系数之和为37”.
问题:已知二项式,若______(填写条件前的序号),m、n为正整数.
(1)求展开式中含项的系数;
(2)求展开式中系数最大的项;
(3)写出展开式中系数最大项的位置(不要求推导过程).
【答案】(1)选择见解析;142;
(2);
(3)答案不唯一,具体见解析.
【分析】若选①,则由可求n;若选②,则由可求n;
(1)展开式中含项的系数为;
(2)展开式的通项为,设第项系数最大,则由可求出r的值,由此可确定二项式展开式系数最大的项;
(3)展开式的通项为,设第项系数最大,则,求出k+1的范围即可确定展开式中系数最大项的位置.
【详解】(1)选①,则,解得;
选②,则,解得;
∴=中项的系数为:
;
(2)展开式的通项为,设第项系数最大,
则,解得,∵r∈,∴,
∴展开式中系数最大的项为;
(3)展开式的通项为,设第项系数最大,
则,则,解得,
即,
定义y=[x]为取整函数,n∈Z,当n≤x<n+1时,[x]=n,
则当为整数时,展开式中系数最大项为第项或项;
当不为整数时,为第项.
21.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围,积极响应创建全国文明城市号召,提高对创城行动的责任感和参与度,学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人,女生2人,现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下,恰有一名女生参加活动的概率;
(2)记参加活动的女生人数为,求的分布列及期望;
(3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动,且选择参加1项或2项的可能性均为;每名男生至少从中选择参加2项活动,且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时,记随机选取的两人所得工时之和为,求的期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
(3)
【分析】(1)根据条件概率公式可求出结果;
(2)根据超几何分布概率公式可求出结果;
(3)先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望,再根据期望的性质可求出结果.
【详解】(1)设“有女生参加活动”为事件A,”恰有一名女生参加活动“为事件.
则,
所以.
(2)依题意知服从超几何分布,且,
,
所以的分布列为:
0
1
2
.
(3)设一名女生参加活动可获得工时数为,一名男生参加活动可获得工时数为,
则的所有可能取值为,的所有可能取值为,
,,
,,
有名女生参加活动,则男生有名参加活动.
,
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
22.如图①所示,长方形中,,,点是边的中点,将沿翻折到,连接,,得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值;
(2)设的大小为,若,求平面和平面夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)取AM的中点G,连接PG,即当平面平面ABCM时,P点到平面ABCM的距离最大,即可得到结果;
(2)连接DG,过点D作平面ABCD,以D为坐标原点,分别DA以DC,DZ所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算,以及法向量,列出方程,即可得到结果.
【详解】(1)取的中点,连接,因为,则,
当平面平面时,点到平面的距离最大,四棱锥的体积取得最大值,此时平面,且,
底面为梯形,,
则四棱锥的体积最大值为.
(2)连接,因为,所以,所以为的平面角,即,
过点作平面,以为坐标原点,
分别以DA,DC,DZ所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
过作于点,由题意得平面,
设,因为,所以,,,
所以,,
所以,
所以,,
设平面PAM的法向量为,则,
令,则,
设平面的法向量为,
因为,,
则,令,
可得,
设两平面夹角为,
则
令,,所以,
所以,
因为的对称轴为,
所以当时,有最小值,
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.
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