2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二下学期5月学情调查数学试题含答案

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2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二下学期5月学情调查数学试题

一、单选题
1．若集合，则满足的集合的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再由并集概念求解即可.
【详解】对于集合，由解得，
又∵，∴.
又∵，
∴满足条件的集合可能为，，，，共个．
故选：C．
2．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，即可得出.
【详解】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
因为，，
所以.
故选：A.
3．设、，向量，，且，，则（      ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
4．命题：，是假命题，则实数的值可能是（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可知：，，利用判别式小于0即可求解.
【详解】因为命题：，是假命题，
所以命题：，是真命题，也即，恒成立，
则有，解得：，根据选项的值，可判断选项B符合，
故选：B.
5．质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（    ）
A． B．事件和事件互为对立事件
C． D．事件和事件相互独立
【答案】B
【分析】求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：事件A和事件B可以同时发生，如事件A和事件B均为：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，则事件A和事件B不是对立事件，故B错误；
选项C：，则，故C正确；
选项D：，又，，
则有成立，则事件A和事件B相互独立，故D正确.
故选：B.
6．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集5组对应数据，如下表所示.（残差＝观测值－预测值）

3
4
5
6
7

4.0
2.5

0.5

根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为（    ）
A．1.5 B．1.2 C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件求出的值，再由回归直线过样本中心点即可求解.
【详解】因为样本处的残差为，即，所以，
所以回归方程为：，
因为，，
因为样本中心点在回归直线上，所以，解得：，
故选：A.
7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（    ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.
【详解】根据题意，，
而，则，所以.
故选：C.
8．已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一、依题意可设为被3整除的概率，所以，构造新数列求得通项公式即可；
法二、按古典概型得出数列共有种情况，讨论能被3整除的4种情况计算即可.
【详解】被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，
设为被3整除的概率，
所以，则，
又，则，
所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，
即，所以.
法二：由古典概型可知，数列共有种情况，
能被3整除，有以下4种情况：
①中有10个1，1个2，有种情况；
②中有7个1，4个2，有种情况；
③中有4个1，7个2，有种情况；
④中有1个1，10个2，有种情况，
所以，被3整除的概率为
故选：C

二、多选题
9．下列结论正确的是（    ）
A．若随机变量服从二项分布，则
B．若随机变量服从正态分布，则
C．若随机变量服从两点分布，，则
D．若随机变量的方差，则
【答案】AB
【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.
【详解】对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.
对于B，若随机变量服从正态分布，则，
故，故选项B正确.
对于C，若，，，故选项C错误.
对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.
故选：AB.
10．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（    ）
A．若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有72种排法
C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有480种排法
【答案】ABC
【分析】捆绑法解决选项A，插空法解决选项BC，特殊元素（位置）优先法解决选项D.
【详解】选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有（种），故A正确，
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，则有（种），故B正确，
选项C，先排3名男生，3名女生插空，则有（种），故C正确，
选项D，若男生甲在排尾，则有（种）；若男生甲不在排头也不在排尾，则有（种），
所以男生甲不在排头女生乙不在排尾，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(    )

A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得平面
C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大
D．若，那么Q点的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】A：取、中点，连接、、PF，证明平面∥平面，则点的轨迹为线段；
B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，根据求出x、z即可判断；
C：的面积为定值，当且仅当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大；
D：可求为定值，即可判断Q的轨迹，从而求其长度.
【详解】取、中点，连接、、PF，

由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，
∴∥，∵平面，平面，∥平面，
同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，
∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
设为平面的一个法向量，
则即得取，则.
若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；
的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.
，
，，则当时，d有最大值1；
②，，则当时，d有最大值；
综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；
平面，，
，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】本题综合考察空间里面的位置关系的判断与应用，需熟练运用线面平行、面面平行的判定定理和性质，需掌握运用空间直角坐标系和空间向量来解决垂直问题，掌握利用空间向量求点到平面的距离，利用几何关系判断空间里面的动点的轨迹，考察知识点较多，计算量较大，属于难题.
12．若实数，满足，，，则（    ）
A．且 B．的最小值为
C．的最小值为7 D．
【答案】AD
【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；
【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，所以，即且，故A正确；
对于B：，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B错误；
对于C：
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误；
对于D：，
因为，所以，即，即，
即，因为，所以，即，故D正确；
故选：AD.

三、填空题
13．的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
【答案】
【解析】写出展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】展开式的通项为，
令，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有 .
【答案】150
【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5人分层三组，一种按照1,1,3；另一种按照1,2,2，由组合数公式可得分组的方法数目，②将分好的三组对应三家酒店，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意：分2步进行：
①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，
可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；
当按照1,1,3来分时共有种分组方法；
当按照1,2,2来分时共有种分组方法；
则一共有种分组方法；
②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法，
则安排方法共有种，
故答案为：150.
15．已知函数（），则它的最小值为 .
【答案】
【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值．
【详解】由，可得，，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
则的最小值为.
故答案为：.

四、双空题
16．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
【答案】
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.

五、解答题
17．设函数的定义域为，集合（）.
(1)求集合；
(2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.
【详解】（1）要使得函数有意义，只需要解得，
所以集合.
（2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得；
当时，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
18．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：
               




32
18
4

6
8
12

3
7
10
(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：









(3)根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关.
附：.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)0.64
(2)列联表见解析
(3)有关

【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得列联表；
（3）计算出，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，
所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为.
（2）浓度在，且浓度在的天数为，
浓度在，且浓度在的天数为，
浓度在，且浓度在的天数为，
浓度在，且浓度在的天数为，
由以上数据，可得列联表：




64
16

10
10
（3）提出假设：该市一天空气中浓度与浓度无关.
根据列联表中数据，经计算得到，
即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.
19．如图所示，在直四棱柱中，，，，，.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可；
（2）建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果.
【详解】（1）因为在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因为，所以，即两两垂直，
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，.

（2）因为，，
设平面的法向量为，则由得，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
20．在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．
问题：已知二项式，若______(填写条件前的序号)，m、n为正整数．
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)写出展开式中系数最大项的位置(不要求推导过程)．
【答案】(1)选择见解析；142；
(2)；
(3)答案不唯一，具体见解析．

【分析】若选①，则由可求n；若选②，则由可求n；
(1)展开式中含项的系数为；
(2)展开式的通项为，设第项系数最大，则由可求出r的值，由此可确定二项式展开式系数最大的项；
(3)展开式的通项为，设第项系数最大，则，求出k＋1的范围即可确定展开式中系数最大项的位置．
【详解】（1）选①，则，解得；
选②，则，解得；
∴＝中项的系数为：
；
（2）展开式的通项为，设第项系数最大，
则，解得，∵r∈，∴，
∴展开式中系数最大的项为；
（3）展开式的通项为，设第项系数最大，
则，则，解得，
即，
定义y＝[x]为取整函数，n∈Z，当n≤x＜n＋1时，[x]＝n，
则当为整数时，展开式中系数最大项为第项或项；
当不为整数时，为第项．
21．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
(3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)

【分析】（1）根据条件概率公式可求出结果；
（2）根据超几何分布概率公式可求出结果；
（3）先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.
则，
所以.
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，
所以的分布列为：

0
1
2




.
（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，的所有可能取值为，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动.
，
所以.
即两人工时之和的期望为13个工时.
22．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．

(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）取AM的中点G，连接PG，即当平面平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，即可得到结果；
（2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点，分别DA以DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果.
【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，
底面为梯形，，
则四棱锥的体积最大值为.

（2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即，

过点作平面，以为坐标原点，
分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，由题意得平面，
设，因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，，
则，令，
可得，
设两平面夹角为，
则

令，，所以，
所以，
因为的对称轴为，
所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．