2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二下学期第一次段考（2月）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二下学期第一次段考（2月）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二下学期第一次段考（2月）数学试题 一、单选题1．已知函数，则（    ）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用导数的定义求解.【详解】解：因为函数，所以，故选：C2．函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义判断.【详解】由函数图象知：，所以，故选：C3．已知等差数列的前项和为，若且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，利用等差数列的通项公式可求得的表达式.【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，所以，，所以，，解得，因此，.故选：D.4．已知，且，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】求出函数的导函数，再根据，代入计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，解得.故选：B5．动点满足方程，则点M的轨迹是（    ）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.【详解】由得，等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离，整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.故选：D.6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故，所以选项A说法正确；因为，，所以，而，因此，所以选项B说法正确；当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C说法不正确；因为，，所以，而，所以，因此选项D说法正确，故选：C7．直线的倾斜角的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线的倾斜角为，可得，所以的取值范围为故选：D8．如图，已知直线的斜率分别为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.9．在正项等比数列中，、是函数的极值点，则（    ）A．或2 B． C． D．2【答案】D【分析】根据题意可知：、是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.【详解】因为，所以.又因为、是函数的极值点，即、是方程的两根，则有，由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，故选：D.10．如图，是的重心，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示可得结论.【详解】是的重心，，，，，，，，．故选：D．11．设函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，利用导数研究其单调性、极值，画出函数和函数的图象，结合图像可得答案.【详解】设，则，，，令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，设，则.令，得.在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，联立消去得，化简得.整理得，解得或或.若数的值域为，由数形结合易知.故选：C.【点睛】关键点点睛：设，，利用这两个函数的图象求解是解题关键.12．已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以①，设，线段CD的中点，同理得②，因为，所以，则三点共线，所以，将①②代入得：，即，所以，即，所以，故选：D. 二、填空题13．已知空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为     ．【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可.【详解】由已知，，，又则，以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为故答案为：.14．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为      .【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.15．已知在处取得极值，则的最小值为          .【答案】8【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】解：由，因为函数在处取得极值，所以有，则，因为，所以，当且仅当，结合，即时取等号.故答案为：816．已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝   ．【答案】【分析】根据两点间距离公式，结合导数的性质和导数的几何意义进行求解即可.【详解】设，所以，设，，当时，，，所以单调递增，当时，，，所以单调递减，当时，函数有最小值，即有最小值，所以，此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，由，显然在直线上，则，因此有，故答案为：【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性是解题的关键. 三、解答题17．如图，一个圆柱内接于半径为6的半球面，设内接圆柱的高为，体积为.(1)建立关于的函数关系，并指出的取值范围；(2)利用导数，求出圆柱的最大体积.【答案】(1),(2) 【分析】（1）先表示出底面圆半径，再套用圆柱的体积公式即可；（2）通过求导，然后分析出单调性，进而求出其最值.【详解】（1）设底面圆的半径为，则，.（2），令得，当时， 单调递增，当时，单调递减，所以，当时，.所以圆柱的最大体积为.18．已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）利用错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为；利用基本量运算有，因为为正项数列，可得，所以；即数列的通项公式为数列的通项公式为（2）由（1）可得，所以    ①    ②得：即数列的前n项和19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】(1)先求出，借助导函数求得，进而可得切线方程.(2) 函数在上单调递减等价于成立，令，借助导数判断单调性，进而得到最大值，则有，进而可得答案.【详解】（1）根据题意，函数的定义域为,，曲线在点处的切线方程为．（2）的定义域为令令在上为增函数，在上为减函数，为单调递减的函数．20．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形(为坐标原点)的边长为，(1)求的值(2)记为数列的前n项和，探究与的关系，求的通项公式.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答.（2）根据给定条件，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项作答.【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，，整理得，解得，所以，.（2）是正三角形，点，，于是点在曲线上，则，即，当时，，两式相减得：，整理得，则，而满足上式，因此，，即数列是首项为，公差的等差数列，，所以数列的通项公式是.21．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.22．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.【答案】(1)(2)1， 【分析】（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；                                             （2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.【详解】（1）设，，，则以A为切点的切线为，整理得：，同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得，设直线的方程为：，联立方程组，整理得：，恒成立，      由韦达定理得：，，故，所以点的轨迹方程为；（2）解：由（1）知：，      到直线的距离为：，                        ∴，                      ∴时，取得最小值，此时直线的方程为.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.