2022-2023学年广西河池市八校高二下学期第一次联考（4月）数学试题含答案

2022-2023学年广西河池市八校高二下学期第一次联考（4月）数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解

【详解】因为等差数列中，，，

可得公差，

所以．

故选：B．

2．已知，若，则等于（    ）

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】对求导，令，解方程即可得出答案.

【详解】由可得：，

所以，解得，

故选：C．

3．在等腰直角三角形ABC中，若，，则（    ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】B

【分析】由数量积的定义求解即可.

【详解】因为在等腰直角三角形ABC中，若，所以，

所以由题意可知，，

．

故选：B.

4．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为7∶3，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知得到，利用二倍角公式，同角三角函数关系化弦为切，代入求值.

【详解】依题意，所以，所以

.

故选：C

5．函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对函数求导，令导函数小于零，解之即可.

【详解】因为，所以，令，得，

又函数的定义域为，所以函数的单调递减区间为，

故选：B．

6．2023年2月，土耳其发生7.2级地震，我国某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与国际救援，其中男医生3名，女医生2名．要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派遣法有（    ）

A．18 B．12 C．54 D．36

【答案】C

【分析】先安排3名男医生各去一个区域，再安排女医生由分步乘法计数原理可得到答案.

【详解】3名男医生各去一个区域，有种去法，2名女医生有种去法，共有种．

故选：C．

7．若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，联立抛物线应用韦达定理求、，结合抛物线定义求，即可得结果.

【详解】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，

联立抛物线整理得：，则，，

故，，

若，，

所以，，故.

故选：C

8．已知函数，对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设函数，则得到在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】设函数，

因为对任意的，，恒成立，

则，在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，，

由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，

所以，所以，所以，

解得，即实数a的取值范围为．

故选：A．

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

二、多选题

9．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（    ）

A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480

B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240

C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有180种不同的安排方法

D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种

【答案】AD

【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法判断A；利用倍缩法求解判断B；先进行平均分组，再进行全排列，得到答案判断C；分析甲、乙、丙三人组成一组和甲、乙、丙与另一人分一组两类分组法计算得答案可判断D．

【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，

再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；

B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；

C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C错误；

D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；

若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；

共有6种分组方法，D正确．

故选：AD．

10．2022年第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是第一次在阿拉伯地区举办，第一次在北半球冬季举办，也是最后一届32支球队参加的世界杯赛，它吸引了全世界的目光．现使用分层抽样的方法，从到场观看世界杯某场比赛的球迷中随机抽取n名，其中亚洲、欧洲、非洲、美洲球迷人数的比例为2∶4∶3∶1，若亚洲球迷抽到12人，则下列选项不正确的是（    ）

A．非洲球迷抽到15人

B．美洲球迷抽到8人

C．

D．欧洲球迷比美洲球迷多18人

【答案】AB

【分析】根据给定条件，结合分层抽样的各层的比求出n，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，，解得人，C正确；

所以欧洲抽到人，非洲抽到人，

美洲抽到人，欧洲球迷比美洲球迷多18人，D正确，AB不正确．

故选：AB

11．已知数列是首项为1的正项数列，，是数列的前n项和，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．数列是等差数列

C．

D．

【答案】ACD

【分析】根据题意得到，结合等比数列的定义，得到数列是等比数列，可判定B不正确；利用等比数列通项公式，求得，可判定C正确；求得的值，可判定A正确；结合等差、等比数列的求和公式，可判定D正确．

【详解】由，所以，

因为，可得，所以数列是等比数列，所以B不正确；

可得，所以，所以C正确；

又由，所以A正确；

由，

，所以，所以D正确．

故选：ACD．

12．已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则（    ）

A．

B．在上单调递增

C．在处取得极小值

D．无最大值

【答案】ACD

【分析】根据条件构造函数，由题意可得，的解析式，利用导数分析，单调性，进而可得答案.

【详解】设，

因为，所以，

因为，，

则，

故可设，由，

则，解得，

故，即，

因为，

令，则，故在上单调递增，

所以，即，故A正确；

因为，令，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值，故B错误，C正确，

因为逼近于时，逼近于，所以无最大值，故D正确.

故选：ACD．

三、填空题

13．已知等比数列的前项和为，公比，且，，则      ．

【答案】

【分析】根据题意求出等比数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】由得，

对任意的，，则，因为，解得，则，

因为.

故答案为：.

14．设是函数的最小值点，则曲线在点处的切线方程是      .

【答案】

【分析】通过基本不等式或导函数确定最小值点，即确定切点，再由导函数确定切线斜率，即可得到答案.

【详解】函数，

当且仅当，即时等号成立，

则函数的最小值点，

则切点为，

，则切线斜率，

故切线方程为：，

故答案为：.

15．已知双曲线C：的右焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为      ．

【答案】

【分析】求出双曲线的右焦点，渐近线方程，利用已知条件即可求解出，即可求出双曲线C的离心率.

【详解】由题意双曲线方程为C：，可知，，

右焦点坐标为，其中一条渐近线的方程为，

故右焦点到该渐近线的距离，所以，

所以，

故答案为：．

16．已知函数其中，若函数无最大值，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】结合对数函数的性质与反比例函数的性质分段确定函数的取值情况，满足函数无最大值列不等式，即可求得实数a的取值范围．

【详解】因为，所以当时，在区间上单调递增，所以此时；

当时，在区间上单调递减，所以此时，

若函数无最大值，则，解得，又，

所以a的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．（1）若正整数x满足：，求x的值；

（2）已知，求．

【答案】（1）；（2）28

【分析】（1）根据排列数的运算法则直接解不等式；

（2）根据组合数直接化简计算，得到的值，再计算即可.

【详解】（1）由，得，

可得，即，

所以，

又因为x为正整数，

所以

（3）由公式，

所以，可化为，

化简为，

即，所以或，

又因为，，

所以，

所以．

18．在等差数列中，，公差为d，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为和的关系，解方程可求得的通项公式；

（2）由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故利用错位相减法求得其前项和.

【详解】（1）依题意可得，

解得故．

（2）由（1）知，，则，

所以，

所以

 故．

19．已知函数，．

(1)当时，求的单调区间；

(2)若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

【答案】(1)的单调增区间为，；的单调减区间为

(2)

【分析】（1）求导，当时，由此利用函数与导数关系即可求出的单调区间；

（2）由在处取得极值，求出，从而可得导函数，确定函数的单调性与极值从而得函数取值情况，再由直线与的图象有三个不同的交点，能求出的取值范围．

【详解】（1）函数的定义域为，则，

当时，，由，解得或；由，解得，

故的单调增区间为，；的单调减区间为．

（2）因为在处取得极大值，所以，即．

所以，，由解得，，

由，解得或；由，解得，

则函数在，上单调递增，在上单调递减．

故在处取得极大值，在处取得极小值，

当，，当，，则函数的简图如图所示：

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，

结合的简图可知，m的取值范围是．

20．已知数列的前n项和为，

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可求出数列的通项公式；

（2）由（1）求出，由裂项相消法求解即可.

【详解】（1）由当时，，

当时，满足上式，所以，

（2）

，

故．

21．如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．

(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；

(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？

【答案】(1)，定义域为；

(2)当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是

【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解

【详解】（1）在中，

因为，所以，

设圆柱的底面半径为r，则，即，

所以，定义域为

（2）由（1）得，，

，

令，则，解得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）运用分类讨论法，先讨论时函数的单调性，再讨论时函数的单调性，此时通过比较两个根的大小进一步分类讨论得到函数的单调性；

（2）根据（1）中的分类讨论的结果，将原问题转化为最小值问题进而直接求解即可.

【详解】（1）若，则，令，得，

当时，；当时，．

即在上单调递减，在上单调递增

若，则

令，则，等价于，

即，得，．

若，即，则在单调递增，在单调递减，在单调递增．

若，即，则在上单调递增．若，即，

则在单调递增，在单调递减，在单调递增．

综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，均在上单调递增，

此时，故满足对任意的，恒成立．

当时，在单调递减，在单调递增，

此时，

令，则，即在单调递增

又，故当时，都有，即，

也即对任意的，恒成立．

所以m的取值范围为．

【点睛】分类讨论是常用的数学方法，要善于找到临界情况，从而分类讨论；恒成立问题要要善于转化为最值问题，从而快速求解.