2022-2023学年广东省广州市真光中学高二下学期5月阶段质量检测数学试题含答案

2022-2023学年广东省广州市真光中学高二下学期5月阶段质量检测数学试题

一、单选题

1．函数在处的瞬时变化率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导数，利用导数的意义可求得实数的值.

【详解】因为，则，

因为函数在处的瞬时变化率为，则，解得.

故选：D.

2．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（    ）

A．120种 B．180种 C．240种 D．300种

【答案】C

【分析】按照分组分配的方法，列式求解.

【详解】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，

共有种方法.

故选：C

3．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.

【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，

所以展开式的总项数为7项，故，

展开式的通项，

当是偶数时该项为有理项，

有4项，

所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．

故选：A．

4．已知随机变量满足为常数），则的方差（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.

【详解】，

，解得，

所以，

所以，

，

故选：D

5．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点

【详解】，

当或时，，当时，，

所以函数在，上递增函数，在上递减函数，

故时函数有极大值，且，

所以当函数在上有最大值，则且，

即，解得.

故选：B.

6．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下：

其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是，则的值是（    ）

A．10.4 B．6.2 C．4.2 D．2

【答案】A

【分析】根据残差的定义求出，结合样本中心点满足回归方程，列方程组求出，，由此可得结论.

【详解】由残差得，即，

所以①，

又，，因为回归直线经过中心点，

所以②，

联立①②解得，,

所以，

故选：A.

7．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.

【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，

所以切线方程为，

又切线过点，则，整理得.

要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，

即函数图象与直线在R上有3个交点，

设，则，

令，令或，

所以函数在上单调递增，在和上单调递减，

且极小值、极大值分别为，如图，

由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，

即过点的切线有3条.

所以实数a的取值范围为.

故选：B.

8．已知函数（且），若对任意，，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】当时，恒成立，利用图象关系可得，且，求得.当，恒成立，变形

构造函数，求导判断单调性，从而推出，进一步得到，综上得到.

【详解】当时，，

由图可知，，

此时若对任意，，

只需，即，即.

当，，

此时若对任意，，即，

，所以只需.

令，则，

当单调递增，当单调递减，

，.

综上，.

故选:D.

二、多选题

9．已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若互斥，则

D．若独立，则

【答案】ABD

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可．

【详解】选项A中：由对立事件定义可知,选项正确；

选项中：， 选项B正确；

选项C中：A，B互斥，，,，故选项C错误；

选项D中：A，B独立，则，则,故选项D正确.

故选：.

10．对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】由，

可得，

当时，，则，A选项错误；

由二项式定理可得，，B选项错误；

当时，，

即，C选项正确；

当时，，

即，D选项正确.

故选：CD

11．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.

【详解】，

当时, ,A选项正确；

，

，

,

时, 有两个根,且时

,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；

当时, 有两个根,且此时

,故B选项正确.

故选：ABC．

12．已知函数，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性一一判定即可.

【详解】，令在上单调递增，在上单调递减，故，所以在R上单调递增，且.

对于A项，有，

令，令，

在R上单调递增，而，

故在上单调递增，在上单调递减，故，

所以，故A正确；

对于B项，若，∴，则，显然B正确；

对于D项，若，

即，故D正确；

对于C，设，若，则满足

，但，故C错误.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知定义在区间的函数，则的单调递增区间为      .

【答案】

【分析】直接求导得，令，在定义域内解出不等式即可.

【详解】，

令，即，即，，

显然，即有，

因此，则，

故单调递增区间为.

故答案为：.

14．在的展开式中，按的升幂排列的第3项为           .

【答案】

【分析】易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，，故按的升幂排列，第三项为含项，结合展开式的通项可求解．

【详解】解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为项．

整个式子中项可由，的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到，其中展开式的通项为，展开式的通项为；

故所求为：．

故答案为：．

15．．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，则质点位于的位置的概率为                       ．

【答案】

【分析】计算质点移动次可能的结果，质点位于的位置的可能结果，根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】由题意可得：质点移动次可能的结果有种，

质点位于的位置则指点向右移动次向左移动次，

从质点移动次中选一次向左移动，其它次向右移动共有种，

由古典概率公式可得：质点位于的位置的概率为，

故答案为：.

四、双空题

16．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是      ，从第个盒子中取到白球的概率是      ．

【答案】         

【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.

【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，

所以，

，

，

进而可得，，

又，，，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数在处取得极值．

(1)求的值；

(2)求函数在上的最值．

【答案】(1)

(2)最小值为．最大值为

【分析】(1)利用极值的定义列方程求解；

(2)利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.

【详解】（1）因，故，

由于在处取得极值，

故有即，

化简得解得，

经检验，时，，

令，解得或，令，解得，

所以在单调递增，单调递减，单调递增，

所以在处取得极值，

符合题意，所以．

（2）由（1）知．

令，得．

在时，随的变化．的变化情况如下表所示：

当时，有极大值，

当时，有极小值．

因为，

所以．

因此在的最小值为，最大值为.

18．某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业.如图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图.并计算得到，，，，，，，其中.

(1)从相关系数的角度分析，与哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；

(2)根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入.

附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.

【答案】(1)适宜，理由见解析

(2)，87.39千元

【详解】（1）因为，

.

对于模型，相关系数，

对于模型，相关系数

因为，所以适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程.

（2）由（1）可知回归方程类型为，

由已知数据及公式可得，.

所以y关于x的回归方程为，

又年份代码1-7分别对应年份2016-2022，所以2023年对应年份代码为8，

代入可得千元，所以预测2023年该农户种植药材的平均收入为87.39千元.

19．已知函数，，其中，是自然对数的底数．

(1)若有两个零点，求的取值范围；

(2)若的最大值等于的最小值，求的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意只需，即可求出参数的取值范围；

（2）利用导数求出，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的零点，从而得解.

【详解】（1）解：因为定义域为，

又，

因为，

当时，，当时，，

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，，

此时，

有两个零点，

．

（2）解：由，得，

又，

当时，；当，，当，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

由（1）知，.

由题意得，，

令，，

所以当时，当时，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，从而有且仅有一个零点，

的解为，即所求的值为1．

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

20．学校有A，B两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐.第1天午餐选择A餐厅的概率是，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为.

(1)记周同学前两天去A餐厅的总天数为X，求X的数学期望；

(2)如果周同学第2天去B餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大?请说明理由.

【答案】(1)

(2)如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅的可能性更大，理由见解析

【分析】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，根据随机变量的分布结合条件概率求解分布列及数学期望；

（2）根据条件概率与全概率公式求解即可判断.

【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则与对立，与对立.

由题意可得

则的分布列为：

所以.

（2）由全概率公式，得

所以

所以

则

所以如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅的可能性更大.

21．世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设三个社区的居民人数为，分别求出三个社区每周运动总时间超过5小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.

（2）由正态分布的性质求出，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.

【详解】（1）因为三个社区的居民人数之比为，

设三个社区的居民人数为，

所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，

该居民每周运动总时间超过5小时的概率.

（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，

所以，由（1）知，，

所以，

因为随机变量服从正态分布，且关于对称，

所以，

所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：

.

22．已知，函数.

(1)若，证明：当时，：

(2)若函数存在极小值点，证明：

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）把代入，构造函数，借助导数确定单调性推理作答.

（2）由给定条件确定a的取值范围，再分段讨论函数的极小值点及极小值推理判断作答.

【详解】（1）若，则，设，

，设，

，则在上单调递增，，即，

于是在上单调递增，，即，

所以当时，.

（2）函数，其定义域为，

，

由（1）知在上单调递增，，

当时，，当时，，

则由，解得或，其中且，即且，

否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，

若，即，当时，，

当时，，则在上单调递增，

在上单调递减，因此是的极小值点，，

若，即，当时，，

当时，，则在上单调递增，

在单调递减，因此是的极小值点，

，又，于是，

综上所述，函数存在极小值点.

【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.