2022-2023学年广东省高二下学期5月统一调研数学试题含答案

2022-2023学年广东省高二下学期5月统一调研数学试题

一、单选题

1．数列，，，，…的一个通项公式可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定数列前几项，逐一分析判断作答.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D符合题意.

故选：D

2．函数的图象在处的切线斜率为（    ）

A．6 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率.

【详解】因为，所以，，

所以的图象在处的切线斜率为6，

故选：A．

3．直线和直线的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合

【答案】B

【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.

【详解】方程可化为，因此该直线的斜率.

方程可化为，因此该直线的斜率，

因为，所以这两条直线相交但不垂直.

故选：B.

4．下图是国家统计局2022年9月份发布的工业生产者出厂价格涨跌幅情况，记同比涨幅的中位数为，环比涨幅的平均数为，则约为（    ）

A．6.47 B．8.45 C．8.47 D．8.97

【答案】B

【分析】同比涨幅的数据按从小到大排列，取中间的数为中位数；利用平均数公式求得环比涨幅的平均数.

【详解】依题意，同比涨幅的数据按从小到大排列为：0.9，2.3，4.2，6.1，6.4，8.0，8.3，8.8，9.1，10.3，10.7，12.9，13.5，中位数，

环比涨幅的数据：

1.2，2.5，0.0，－1.2，－0.2，0.5，1.1，0.6，0.1，0.0，－1.3，－1.2，－0.1，

平均数为，

则，

故选：B．

5．在三棱柱中，，若点为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算求解.

【详解】，为的中点，

，

故选：A.

6．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率的计算公式求得结果.

【详解】由，，得.

故选：C．

7．2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高二班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（    ）

A．8 B．18 C．19 D．24

【答案】C

【分析】利用间接法进行求解，先求总数，去掉不合要求的，可得答案.

【详解】不同选法种数为.

故选:C．

8．直播带货已经成为农民创业增收的好帮手，数据显示2022年全国农村直播电商已达到573.2万家.已知2022年某农村电商每月直播销售收入Y（单位：万元）与月份具有线性相关关系，利用该电商全年12个月的直播销售月收入数据，求得线性回归方程为，则下列结论一定正确的是（    ）

A．把代入求得的是第n个月的销售收入

B．相关系数

C．2022年该电商直播销售收入逐月增加

D．该电商2022年直播销售总收入为213.6万元

【答案】D

【分析】根据线性回归方程为，分别判断A,C,D选项，根据相关系数概念判断B选项.

【详解】利用求得的是每月直播销售收入的预测数据，与每月直播销售收入的真实数据可能不相同，错误；

不是相关系数，，B错误；

，由在回归直线上，得，所以该电商2022年年直播销售总收入为万元.

故选:D.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.

【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；

对于B选项：，所以B选项错误；

对于C选项：由公式得，所以C选项正确；

对于D选项：，所以D选项正确；

故选：CD.

10．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的离心率为

C． D．的渐近线方程为

【答案】AB

【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.

【详解】在中，，，，，A正确；

的离心率，B正确；

由双曲线的定义或，C错误；

的渐近线方程为，即，D错误.

故选：AB．

11．下列等式中，成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B、C，根据组合数性质知B，C正确；

对于D，，故D正确.

故选：BCD．

12．正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来描述，已知地的年降水量（单位：）服从正态分布，其中，，，已知，则下列估计正确的是（    ）

A．地的年平均降水量为

B．地的年降水量不超过的概率大于

C．地的年降水量超过的概率大于

D．地的年降水量不低于的概率与不超过的概率相等

【答案】AD

【分析】通过正态分布的参数的含义，以及提供的概率可求答案.

【详解】在中，为平均数，A正确；

地的年降水量不超过的概率为，不超过的概率小于，B错误；

地的年降水量超过的概率，C错误；

正态曲线关于直线对称，D正确.

故选：AD．

三、填空题

13．二项式的展开式中的常数项为          ．

【答案】

【分析】写出展开式的通项，即可求出展开式中的常数项.

【详解】二项式的展开式的通项为（），

令，解得，所以展开式中的常数项为．

故答案为：

14．2023年世界科幻大会即将在我国成都举行，成都由此成为中国第一个，也是亚洲第二个举办世界科幻大会的城市，这标志着中国科幻走向世界．为了办好这一届科幻盛会，成都组委会招募了一批大学生志愿者．现从含甲、乙在内的5名志愿者中随机选取2人分配到大会的某展厅维持秩序，则甲、乙2人中恰好选中1人的概率为          ．

【答案】/0.6

【分析】根据古典概率结合组合数公式进行求解.

【详解】甲、乙2人中恰好选中1人的概率为．

故答案为：.

15．已知直线被圆截得的线段长为，则      ．

【答案】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得.

【详解】圆C：，即圆心为，半径，

则圆心到直线的距离，

又直线被圆截得的线段长为，所以，即，

解得.

故答案为：

16．一个盲盒中装有完全相同的2张白色卡片和2张黑色卡片，小明每次从盲盒中至少摸出1张卡片，分三次摸完，则不同的摸卡方法数为          ．

【答案】12

【分析】分成三种情况2白、1黑、1黑；1白1黑、1黑、1白；2黑、1白、1白分别计算得到结果.

【详解】若3次摸出的卡片为2白、1黑、1黑，则不同的方法有3种；

若3次摸出的卡片为1白1黑、1黑、1白，则不同的方法有种；

若3次摸出的卡片为2黑、1白、1白，则不同的方法有3种，

故不同的摸卡方法数为12种．

故答案为：12.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）计算：．

【答案】（1）84；（2）15

【分析】（1）根据排列数的计算公式可得答案；

（2）根据组合数的性质和计算公式可得答案.

【详解】（1）．

（2）．

18．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌．假设冬奥会上某项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛．比赛时按预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌．

(1)决赛时共有多少种不同的出场顺序？

(2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种？

【答案】(1)720

(2)600

【分析】（1）依题意可知所求为名队员的全排列，由此得解；

（2）利用分步乘法计数原理与排列的知识求解即可.

【详解】（1）由题可知决赛时不同的出场顺序共有种．

（2）先排中国队有种，再排其他队有种，

故中国队不是第一个出场的比赛顺序有种．

19．已知等差数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式以及；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算即可求解；

（2）由（1）可得，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意得，设等差数列的公差为d，

则，即，解得，

所以，

；

（2）由（1）知，，

是一条开口向上，对称轴为的抛物线，

所以当时，取到最小值，且最小值为，

所以的最小值为.

20．为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机水果的种植面积．农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下．

(1)视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；

(2)试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关．

附：，．

【答案】(1)喜欢有机水果的概率分别为，

(2)喜欢有机水果与会员的区域有关

【分析】（1）利用古典概率可求答案；

（2）计算卡方，和临界值比较，根据小概率可得答案.

【详解】（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；

北方会员中喜欢有机水果的概率为，

所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，．

（2）零假设：假设喜欢有机水果与会员的区域无关；

，

根据小概率值的独立性检验，不成立，

即认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.

21．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值；

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义即可求解；

（2）利用导数研究函数的单调性，求出.由题意可得在上恒成立，即可求解.

【详解】（1）当时，，则，

令，令，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

（2）当时，，则，

令，令，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，即为最小值，

且最小值为.

又恒成立，所以在上恒成立，

所以，即实数的取值范围为.

22．已知长方体中，，.

(1)求直线与平面所成角的正弦值；

(2)记长方体ABCD-中两条平行的棱所在直线为1对平行直线，从长方体所有棱所在的直线中任取4条，记这4条直线中平行直线的对数为X，求X的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）建立坐标系，利用向量法得出直线与平面所成角的正弦值；

（2）由组合知识得出的取值对应出概率，进而列出分布列，计算期望.

【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的一个法向量为，则即

取，得，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）由题意得的取值依次为，

，

，

所以的分布列为

.