2022-2023学年辽宁省抚顺市重点高中六校协作体高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省抚顺市重点高中六校协作体高二下学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省抚顺市重点高中六校协作体高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）A．10种 B．12种 C．20种 D．60种【答案】B【分析】分三类计数相加即可得解.【详解】分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.故选：B2．在数列中，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次令代入中计算即可求解.【详解】由题意可得．故选：C3．将4个不同的小球放入2个不同的袋子中，每个袋子中放2个小球，不同的放法有（    ）A．6种 B．8种 C．16种 D．32种【答案】A【分析】根据平均分组的方法求解即可．【详解】不同的放法有种，故选：A．4．的展开式中含项的系数为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】因为展开式的通项为，所以展中含的项为.故选：B.5．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：脚长222222.52323.52424.52525.52626.527欧码3535.53636.537.53838.5394040.54142某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（    ）A．36码 B．36.5码C．38码 D．39码【答案】C【分析】将身高值代入回归直线方程，求解，再结合表格中数据得出结果.【详解】由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．故选：C.6．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元【答案】C【分析】利用等差数列前n项和公式即可求得小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额．【详解】设小方第天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．故选：C7．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则 ，因为 所以. 是增函数，因为是奇函数，所以，，所以的解集为，即≥的解集为；故选：D.8．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下．X1230P每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析男孩比女孩多的可能情况，结合互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩，且为男孩”、“有2个小孩，且为男孩”、“3个小孩，3个男孩或2个男孩”，所以概率.故选：A. 二、多选题9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（    ）附：若，则，，．A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份C．D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】BC【分析】根据正态分布，得到， ，可判定A错误；求得，可判定B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可判定C正确；根据同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，可判定D错误．【详解】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是 ，标准差是，所以A错误；由，可得，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC.10．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ）A．若，则B．C．若B和C是两个互斥事件，则D．当时，【答案】ACD【分析】根据条件概率的公式和性质逐一判断即可.【详解】因为，所以．A正确．，B错误．若B和C是两个互斥事件，则，C正确．因为，所以．，D正确．故选：ACD.11．已知等比数列的前n项积为,且，则下列结论正确的是（    ）A． B．的公比为C． D．【答案】ABD【分析】A选项，根据可求出；B选项，结合A选项和题干条件可得公比；C选项，注意到的前项大于，第项后均在中，，故取到最大值；D选项，利用等比数列的基本量进行证明.【详解】因为，所以，A正确；因为，解得，B正确；注意到，故时，；时，，所以或时，取到最大值，C错误；因， 左边等于右边成立，D正确.故选：ABD12．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．在上单调递增B．的最大值为1C．当时，D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为【答案】BCD【分析】对于选项AB，通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正误；对选项C，通过构造函数，利用的单调性即可判断出选项C的正误；对于选项D，令，从而得到，再利用的单调性即可判断出选项D的正误.【详解】选项AB，易知的定义域为，，所以，当时，，即在区间上单调递增，当时，，即在区间上单调递减，则，故选项A错误，选项B正确；选项C，令，则 ，因为，所以，即在区间上单调递增，则，即，故选项C正确；选项D，令，由，得到，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，，当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于0，所以时，恒有，所以，如图1，当或时，无解，则无零点，不合题意；当时，时，，由，得到，即时，则有且只有一个零点，不合题意；当时，有两个解，因为，如图2，有且仅有两解，，无解，则有且两个零点，符合题意；所以恰有两个零点时，，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 三、填空题13．已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为       ．【答案】3【分析】由平均变化率的概念求解即可.【详解】，所以，解得．故答案为：3.14．提升农村学校教育质量，是提高农村人口教育素质、实现乡村振兴的希望所在.有5名教师志愿去4所不同的农村学校支教，每所学校都需要安排教师支教，且每名教师只能去1所学校，不同的安排方案有      种（用数字作答）【答案】【分析】先分组再排列，利用分步乘法原理求解即可.【详解】将5名教师分成4组，有种分组方法，将分好的4组全排列，对应4所不同的学校，有种分配方法.故不同的安排方案有种.故答案为：15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为           cm/s.【答案】4【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度.【详解】杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数    则 故在时刻，水面上升的瞬时速度为4 cm/s.故答案为：4.16．已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为             .【答案】4【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，所以，由累加法得：所以因为，所以，令函数，则.当时，，而，所以在上单调递减.，故面积的最大值为4.故答案为：4. 四、解答题17．第十四届全国人民代表大会第一次会议于年月日上午开幕，月日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示 男学生女学生合计关注度极高关注度一般合计(1)若从该校随机选名学生，估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率：(2)能否有90%的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关？附：，.【答案】(1)(2)没有的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关． 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）解：由表格中的数据可知，从该校随机选名学生，估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率为.（2）解：，根据临界值表可知，没有的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关．18．国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文，航天、数字科技等领域展开了无限遐想，某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为40%，40%，20%）.某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为，，.(1)若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，3 【分析】（1）根据题意，利用独立事件的概率计算即可求解；（2）由题意可得X的可能取值为0，2，4，6，利用独立事件的概率计算求出对应的概率，列出X的分布列，求出即可.【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，所选的题目回答正确为事件B，则，所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；（2）X的可能取值为0，2，4，6，，，，，则X的分布列为X0246P所以.19．已知等差数列 满足   .(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为.证明 .【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算即可；（2）应用裂项相消法结合函数单调性证明可得.【详解】（1）设数列 的公差为d，则     所以    故 （2）   因为函数  在(0，+∞)上单调递增，所以  故 20．已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式；（2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解.【详解】（1）由，得，由，得， ，因为是正项数列，，；（2） ，则当时，，所以，两式相减得  ，即，因为满足，所以.21．已知函数．(1)若，证明：恒成立．(2)若存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，结合，即可求解；（2）解法1：令，可得，令函数，求得，令，求得在上单调递增，得到的单调性，进而求得实数a的取值范围；解法2：求得，转化为关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，求得的单调性，得到，设，结合单调性，即可求解.【详解】（1）证明：当时，，可得，当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，可得，所以当时，恒成立．（2）解法1：令，可得，令函数，可得．令函数，则，所以在上单调递增，又因为，所以当时，；当时，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．当时，；当时，，因为存在零点，所以，故实数a的取值范围为．解法2：由函数，可得，由，可得，其判别式，由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，则有，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，；当时，．因为存在零点，所以，设，则，则，所以在上是增函数，所以，即，由，可得，由，得，故a的取值范围为．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数（或，构造函数）；②，构造函数（或，构造函数）；③，构造函数（或，构造函数）.22．已知，函数 .(1)过原点作曲线的切线，求切线的方程；(2)证明：当或时，.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义求得，得，切线斜率，即可得切线的方程；（2）（方法一）①当时，即证，利用不等式及基本不等式可得证；②当时，即要证，构造函数，利用函数的单调性证明.（方法二）当时，同上；当时，即证，构造函数，由的单调性可知，只需证明，由，只要证明，构造函数，由的单调性可得证.【详解】（1）因为，所以.因为原点O不在的图象上，设切点为，所以切线的斜率，解得，所以，，所以切线的方程为，即.（2）（方法一）①当时，要证成立， 即证，也即.令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，则．所以，又， 所以，即.②当时，，即，即要证.令，则，当时，，所以在上单调递增，从而，即当时，.由①知，所以.综上，当或时，.（方法二）当时，同上；当时，要证， 即证，亦即.令，则，所以在上单调递减，所以只需证明.由①知，下面只要证明.令，所以，单调递增，从而.综上，当或时，.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．