2022-2023学年山东省济宁市兖州区高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年山东省济宁市兖州区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则的值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．3或6

【答案】D

【分析】根据组合数公式的性质计算可得.

【详解】因为，所以或，解得或.经检验符合题意

故选：D

2．若X的概率分布列为：

则等于（    ）

A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.25

【答案】C

【分析】由分布列的性质求得a，再求数学期望.

【详解】由，得，

∴．

故选：C．

3．若函数，则（    ）

A．0 B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.

【详解】，

因为，，所以，

故选：B．

4．一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．

【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，

则，，

则．

故选：A．

5．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.

【详解】由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成功，

说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为．

故选：B．

6．随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（    ）

附：，.

A．0.97725 B．0.84135 C．0.15865 D．0.02275

【答案】C

【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．

【详解】由题意，，，所以，

，所以．

故选：C．

7．的展开式中的系数是（    ）

A．126 B．125 C．96 D．83

【答案】B

【分析】运用二项式定理求解.

【详解】由题意原式中的系数；

故选：B.

8．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数和函数的单调性得到和，然后得到，根据题意进而求解即可.

【详解】令，则，当时，；

当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，则；

令，则，

当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

所以，

要使成立，则有，所以，

故选：B.

二、多选题

9．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ）

A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种

C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种

D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种

【答案】ABD

【分析】根据题意，由排列组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和间接法，依次分析选项，即可得答案．

【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，

则合格品的取法有种，不合格品的取法有种，

则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确，

若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，

①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，

②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法，

则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确；

抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析：

在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种，

则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确；

若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，

其中有2件为不合格品的抽法有种，

则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误；

故选：．

10．下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】由题意利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：对于A，，故A正确；

对于B，，，

所以

所以，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确；

故选：ABD

11．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）

A．在区间上是增函数

B．在区间上是减函数，在区间上是增函数

C．是的极大值点

D．是的极小值点

【答案】BCD

【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.

【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；

当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确；

当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.

故选：BCD.

12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（    ）

A．函数有1个不动点

B．函数有2个不动点

C．若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数

D．若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）

【答案】ACD

【分析】利用“不动点”的定义，研究的零点个数，构造新函数和，结合导数研究函数的单调性即可判断选项，,利用奇函数的性质结合是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，即可判断选项，将函数在区间，上存在不动点，转化为在，上有解，然后构造新函数，利用导数研究函数的性质进行分析，即可判断选项．

【详解】解：对于选项,令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以

所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项正确；

对于选项,令，则，

所以在上单调递增，

所以在上最多有一个零点，即最多只有一个“不动点”，故选项错误；

对于选项，因为是上的奇函数，

则为定义在上的奇函数，

所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，

所以一定有奇数个“不动点”，故选项正确；

对于选项,因为函数在区间，上存在不动点，

则在，上有解，

则在，上有解，

令，则，

再令，则，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在，上恒成立，

所以在，上单调递增，

所以，，

所以实数满足为自然对数的底数），故选项正确．

故选：．

【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解函数性质的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．

三、填空题

13．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率是          ．

【答案】/0.3

【分析】根据古典概型概率公式求解.

【详解】一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率．

故答案为：.

14．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于 的不等式，进而可求其取值范围.

【详解】由题意知，在上恒成立，

则，解得.

故答案为：．

15．1260有          个不同的正因数.（用数字作答）

【答案】36

【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.

【详解】，

第一步，可以取，共3种，

第二步，可以取，共3种，

第三步，可以取，共2种，

第四步，可以取，共2种，

所以一共有种取法，对应36个不同的正因数.

故答案为：36

16．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有          种.（用数字作答）

【答案】1560

【分析】分别用3种颜色、4种颜色、5种颜色涂色即可.

【详解】如图所示，

用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种，

用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种，

用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种，

所以涂色方案共有种.

故答案为：1560.

四、解答题

17．已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.

(1)求；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)6

(2)15

【分析】（1）根据题意，化简求解即可；

（2）利用二项展开式的通项求解.

【详解】（1）由题意得，即，

化简得，解得或（负值舍去）．

所以.

（2）由二项展开式的通项得，

因为，令，得，

所以常数项为．

18．求函数，

(1)求在处的切线方程；

(2)求在区间内的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解；

（2）利用导数求函数最值的方法求解；

【详解】（1）解：由，可得，

，

故，

所以在处的切线方程为，

即所求的切线方程；

（2）因为，

令，解得或.

当x变化时，及随x的变化而变化如下表所示．

由上表可知

当时，取得最小值；

当时，取得最大值18.

故在区间内的值域为.

19．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字）

(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(2)全体排成一排，女生必须站在一起；

(3)全体排成一排，男生互不相邻；

(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

【答案】(1)5040

(2)576

(3)1440

(4)3720

【分析】（1）分两步完成，先选3人站前排，余下4人站后排，再利用分步乘法计数原理求解；（2）利用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与3名男生进行全排列求解；

（3）利用插空法，先排女生，再在空位中插入男生求解；

（4）先7名学生全排列，再减去甲在最左边，乙在最右边，然后加上甲在最左边且乙在最右边的情况求解.

【详解】（1）解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，

余下4人站后排，有种方法，

所以一共有（种）；

（2）将女生看成一个整体，进行全排列，有种，

再与3名男生进行全排列有种，

共有=（种）.

（3）先排女生有种方法，再在空位中插入男生有种方法，

故有（种）；

（4）7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，

其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

故共有（种）.

20．甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.

(1)求乙得分的分布列和数学期望;

(2)规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设乙的得分为的可能值有，分别计算概率，列出分布列，求解数学期望；

（2）先由（1）中分布列算出乙通过的概率，再计算出甲通过的概率，然后计算出甲乙都没有通过的概率，用1去减即可得出甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

【详解】（1）设乙的得分为的可能值有

乙得分的分布列为:

所以乙得分的数学期望为  

(2) 乙通过测试的概率为  

甲通过测试的概率为,  

甲、乙都没通过测试的概率为

所以甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为

【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与概率的计算，遇到至多至少常采用间接法求解.

21．一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）．

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大；

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据圆的性质和三角函数的定义可得出；（2）对函数求导，得到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的.

试题解析：（1）梯形的面积.

体积.

（2）.

令得或，，

当时，为增函数；

当时，为减函数；

当时，体积最大.

【解析】1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.

【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.

22．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.

（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.

【详解】（1） 的定义域为（0，+），.

若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.

若a＜0，则当时，时；当x∈时，.

故f（x）在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.

所以等价于，即.

设g（x）=lnx-x+1，则.

当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.

【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.

（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.