2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二下学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.2．设集合，且，，则下列说法正确的是（    ）A． B． C．  D．【答案】C【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，所以，．因为，所以.故选:C3．下列有关排列数､组合数的计算，正确的是（    ）A． B．C． D．是一个常数【答案】D【分析】根据排列组合计算公式即可求解．【详解】对于A，∵，∴A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C不正确；对于D，n应满足解得.所以，故D正确．故选：D4．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ）     A． B． C． D．【答案】B【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可．【详解】解：由离散型随机变量的性质可得，即，解得或，时，不合题意，．故选：B．5．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种【答案】A【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，故不同的安排方法共有 种；故选：A.6．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，再利用函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数为奇函数，当时，，所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数.对于A选项，，即，则，A错；对于B选项，，即，则，B对；对于C选项，，即，则，C错；对于D选项，，即，则，D错.故选：B.7．随机变量的分布列如下所示则的最大值为（    ） A． B． C． D．【答案】D【分析】由分布列的性质可得的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值.【详解】由题可知，，，所以，，，，则，令，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．故选：D．8．若对于任意的，都有，则的最大值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】问题转化为，得到函数在定义域上单调递增，求出函数的导数，得到在上恒成立，求出的最大值即可．【详解】解：，，，，，故函数在定义域上单调递增，故在上恒成立，故，解得：，故的最大值是，故选：． 二、多选题9．某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有次射门机会，踢进一球得分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记为小明得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可．【详解】由题意得，，因此，所以选项A正确；，所以选项B不正确；由题意得，则，所以选项C正确；，，因此选项D不正确．故选：AC．10．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（    ）A．从六位专家中选两位的不同选法共有20种B．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种C．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种D．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种【答案】BC【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；故选：BC11．已知，则下列结论成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.【详解】，展开式的通项为，对选项A：令，可得，正确；对选项B：，所以，正确；对选项C：令，可得，错误；对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．故选：ABD12．设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为（    ）A．的图象与轴相切B．存在实数，使得的图象与轴相切C．若，则方程有唯一实数解D．若有两个零点，则的取值范围为【答案】ACD【分析】通过导数的几何意义分别判断函数，与x轴的相切情况；时，求得的单调区间及最值，判断方程是否有唯一实数解；对分类讨论，求得有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.【详解】，若的图象与轴相切，则，又，则切点坐标为，满足条件，故A正确；，，当时，易知恒成立，不存在为0的解，故不存在实数，使得的图象与轴相切，B错误；由上所述，在上单减，上单增，则；若，，，在上单增，上单减，，故方程有唯一实数解，故C正确；，，当时，恒成立，单增，不存在2个零点，故舍去；当时，在上单增，在上单减，且时，，时，，故若有两个零点，则应使最大值，即，令，易知单调递减，且，因此的解集为，D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证. 三、填空题13．同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率           .【答案】0.86【分析】由全概率公式计算所求概率.【详解】由全概率公式，得所求概率.故答案为：.14．若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为        .【答案】【分析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.根据导数的几何意义即可求解．【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．设切点为，∴切线斜率为，由题知，解得或(舍)．∴，此时点到直线距离．故答案为：．15．若的展开式中的系数为9，则a的值为      ．【答案】1【分析】由题得，再借助二项式展开式的通项分两种情况讨论得解.【详解】解：，且展开式的通项，当时，，此时的系数为.当时，，此时的系数为.展开式中的系数为，．故答案为：116．已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是       ．【答案】【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解．【详解】由，可得，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值为 ，当趋于时，趋于；当趋于时，趋于，且，故当时，，当时，，函数的图象如图，   ①当时，由不等式，得或，当时，，有无数多个整数解；当时，其解集为的子集，不含有整数解；所以不合题意；②当时，由不等式，当得，得，则解集为，整数解有无数多个，不合题意；③当时，由不等式，得或，当时，解集为，无整数解；当时，因为不等式有且仅有四个整数解，又，，，，且，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以四个整数解只能为、、、，所以，即．所以实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的图象，分类讨论，利用函数图象进行求解是解题关键. 四、解答题17．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击次，至少有次未击中目标的概率．(2)假设每人连续次击中目标，则终止其射击求乙恰好射击次后被终止射击的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求得次都击中目标的概率，再利用对立事件的性质求解；（2）根据相互独立事件的乘法公式计算即可【详解】（1）解：甲射击次，至少有次未击中目标的概率为．（2）乙恰好射击次后被终止射击的概率为．18．已知函数.(1)若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用导数研究函数的单调性可得在处取得极大值1，结合题意列出不等式组，解之即可；(2)由分离参数法将原不等式变为()，利用二次求导研究函数的单调性求出即可.【详解】（1）函数的定义域为，则.令，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极大值，且极大值为.∵函数在区间(其中)上存在极值，∴，解得，即实数的取值范围为；（2）当时，不等式，即.令()，∴.令()，则，∴在上单调递增，∴，从而，故在上也是单调递增，∴，∴.19．已知二项式．(1)求展开式中的有理项；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)，，，，，，，，.(2)， 【分析】（1）写出二项展开式的通项，由的指数为有理数求得的值，即可得答案；（2）直接由（1）中求得的项得结论．【详解】（1）的展开式的通项为，，展开式中的每一项都是有理项，分别为：，，，，，，，，.（2）由（1）可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为，．20．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．  (1)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．【答案】(1)分布列见解析，数学期望(2)当时，取得最大值 【分析】（1）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；（2）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果．【详解】（1）由频率分布直方图得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；则所有可能的取值为，，，，，，的分布列为：           数学期望；（2）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率，则，若最大，则最大，当时，取得最大值．21．已知函数．(1)若函数在区间上不单调，求的取值范围；(2)令，当时，求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）利用导函数讨论单调性，求的范围即可；（2）利用导函数求解在上的单调性，按照的不同取值分类讨论，即可求得最大值.【详解】（1）函数的定义域为令，其对称轴为，因为函数在区间上不单调，所以即，解得，所以的取值范围为．（2），函数的定义域为①时，令得或，令得，所以函数在上单调递减，所以②时，由①知在上单调递增，在上单调递减，所以③时，，所以在上单调递增，所以④时，令得或，令得，所以函数在上单调递增，所以综上：时，时，时，22．已知函数.(1)求证：；(2)若函数仅有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，在定义域内求最小值即可；（2）首先转化为在上有两个零点，利用导数研究函数的单调性，再通过对参数的讨论，即可得解.【详解】（1）证明：，显然在上单调递增，又，，所以存在，使得，即.所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），又，所以，所以.（2）由，令，因为，所以有两个零点等价于有两个零点，，今，有.①当时，，②当时，，令，，有，所以在上单调递增，所以，所以，由①②知在上，所以在上单调递增，又，所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当，即时，在上恒成立，此时最多有一个零点，不合题意；当，即时，，当时，由（1）知，所以，故在上仅有一个零点；令，则，所以在上单调递增，所以，即当时，，，当且时，，所以在上也仅有一个零点.综上所述，当时，函数仅有两个零点，当时，函数最多有一个零点，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化思想，计算量比较大，属于难题.本题的关键点有：（1）利用隐零点求函数的最值；（2）利用放缩法求函数的范围.