2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省宜宾市第六中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．曲线在点处切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】设倾斜角为，

，当时，，

即曲线在点处切线的斜率，

又，所以，

即曲线在点处切线的倾斜角为.

故选：B.

2．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】从盒子里随机摸出两个小球的所有可能共6种结果，事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的情况有2种，根据古典概率公式可求．

【详解】从盒子里随机摸出两个小球的所有可能结果共6种结果，

事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的情况有共2种结果，

故“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率．

故选：A．

3．命题“”的否定是  

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

【解析】全称命题与存在性命题.

4．下列值等于1的积分是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．

【详解】解：选项A，xdxx2，不满足题意；

选项B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不满足题意；

选项C，1dx＝x1﹣0＝1，满足题意；

选项D，dxx0，不满足题意；

故选C．

【解析】定积分及运算．

5．使成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解．

【详解】由得，不等式解集为，

充分不必要条件需要找解集的真子集，只有B选项符合，即．

故选：B．

6．函数，，定义域内任取一点，使的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解不等式，求出解集，根据与长度有关的几何概型，即可求出结果.

【详解】由得，解得，

所以从定义域内任取一点，使的概率是.

故选：B.

【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

7．如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：当时，该程序框图所表示的算法功能为： ，故选D.

【解析】程序框图.

8．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题可得恒成立，由即可求出.

【详解】因为命题“，使”是假命题，

所以恒成立，所以，解得，

故实数的取值范围是．

故选：B．

9．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意构造函数，利用导数求出其单调区间，然后逐个分析判断即可.

【详解】令（），则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

对于A，因为，所以，所以，所以，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，所以，所以，所以C错误，

对于D，因为，所以，所以，所以，所以D错误，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查比较大小，解题的关键是构造函数，利用导数求出函数的单调区间，然后利用函数的单调性比较大小，属于中档题.

10．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则π可求．

【详解】圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆＝π•r2；

正方形边长为acm，面积为S正方形＝a2．

在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是

p1，

所以π．

故选：A．

【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11．已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】函数在R上单调递减，于是有和，从而得解．

【详解】设函数，由，可得，

所以在R上单调递减，

则，得，即，

则，得，即.

故选：D

12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对任意的，恒成立对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，参变分离得到恒成立，再根据对勾函数的性质求出在上的最小值即可．

【详解】解：

对任意的，，即恒成立

对任意的，恒成立，

对任意的，恒成立，

恒成立，

又由对勾函数的性质可知在上单调递增，，

，即．

故选：．

【点睛】本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．

二、填空题

13．将五进制数转化为十进制数为        ．

【答案】24

【分析】用所给的五进制的数字最后一个数字乘以5的0次方，前一个数字乘以5的1次方，最后求和得到结果

【详解】五进制数转化为十进制数为：．

故答案为：24

14．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为      

【答案】

【分析】先求5个点中任取2个点的基本事件总数，再求这2个点的距离不小于该正方形边长包含的基本事件数，由古典概型概率公式计算即可.

【详解】从正方形四个顶点A,B,C,D及其中心O这5个点中，任取2个点，

有AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO共10种情况，

这2个点的距离不小于该正方形边长的有AB,BC,CD,AD,AC,BD共6种情况，

∴这2个点的距离不小于该正方形边长的概率 ．

故答案为．

【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，属于基础题．

15．若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围为        ．

【答案】

【分析】令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】令，其中，则，令，可得，列表如下：

作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是        ．

【答案】

【分析】结合所给不等式，构造函数，可证明在时单调递减，根据为偶函数且，可得单调性的示意图，结合函数图像即可求得使成立的的取值范围.

【详解】令，则

由题意可知当时，，不等式两边同时乘以可得，

即，所以在时单调递减，

因为定义在上的为偶函数，

所以为定义在上的奇函数，

且，所以，由奇函数性质可得函数图像示意图如下图所示：

所以当时，的解集为，当时，的解集为，

综上可知，的解集为

故答案为：.

【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，构造函数判断函数的单调性，数形结合法解不等式，属于中档题.

三、解答题

17．已知命题：“存在，使函数在上单调递减”，命题：“存在，使，”．若命题“”为真命题，求实数的取值范围．

【答案】

【分析】命题“”为真命题，则命题、都为真，分别求这两个命题为真的条件，取交集即可.

【详解】若为真，则抛物线对称轴在区间的右侧，即，∴；

若为真，则方程无实数根，

∴，∴，

∵命题“”为真命题，∴命题、都为真，

则有，   解得．

故实数的取值范围为．

18．函数，若在点处的切线方程为．

(1)求，的值

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调递增区间是，单调递减区间是，．

【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，由切线方程可求，的值；

（2）利用导数求函数单调区间.

【详解】（1），

∴，又，

∴在处的切线方程为，即，

∴，解得．

（2）∵，，

∴，

当或时，；当时，，

故的单调递增区间是，单调递减区间是，．

19．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．

试题解析：（1） 所有的可能结果共有种，

而满足的有、、共计3个

故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为

（2） 所有的可能结果共有种

满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个

故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为

所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为

【解析】独立事件的概率．

【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．

20．已知函数，．

(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；

(2)记函数，若的最小值是，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分析可知在区间内恒成立，由参变量分离法可得在区间内恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围；

（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最小值可求得实数的值.

【详解】（1）解：因为，则，

由题意知在区间内恒成立，

所以，在区间内恒成立．

令，，因为恒成立，

所以在区间内单调递减，

所以，所以，即实数的取值范围为．

（2）解：，其中．

因为，

①当时，对任意的恒成立，

所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；

②当时，令，则或（舍去），

当时，；当时，.

所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，

则是函数的极小值点，也是最小值点，

所以，

解得，合乎题意.

综上所述，.

21．某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S =" x" + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(1) 用产品编号列出所有可能的结果;

(2) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

【答案】(Ⅰ) 0.6 (Ⅱ) (1) 15种(2)

【详解】试题分析：（1）首先将3项指标相加，求出综合指标S.然后找出其中的产品，便可估计出该批产品的一等品率.（2）（1）根据（1）题结果可知，、、、、、为一等品，共6件.从这6件一等品中随机抽取2件产品的所有可能结果为：，，，，共15种.（2）在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为、、、，则事件B发生的所有可能结果为共6种.由古典概型概率公式可得事件B发生的概率.

试题解析：（1）10件产品的综合指标S如下表所示：

其中的有、、、、、，共6件，故该样本的一等品率为，从而可估计该批产品的一等品率为.

（2）（1）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，共15种.（2）在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为、、、，则事件B发生的所有可能结果为共6种.所以.

【解析】1、频率；2、基本随机事件；3、古典概型.

22．已知函数．

（）求函数的极值点．

（）设函数，其中，求函数在上的最小值．

【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析

【详解】分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数，求导得，再根据零点 与区间 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法.                   

详解：解：（）函数的定义域为，，

∴令，得，令，得，

∴函数在单调递减，在单调递增，

∴是函数的极小值点，极大值点不存在．

（）由题意得，

∴，

令得．

①当时，即时，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴在上的最小值为；

③当，即时，在区间上单调递减，

∴在上的最小值为，

综上所述，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为．

点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.