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2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷
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这是一份2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷
一、选择题
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3
3．（3分）函数中x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
4．（3分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格，如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．（3分）在平行四边形、矩形、菱形和正方形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．8π C．15π D．30π
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相等四边形是矩形
B．对角线相互垂直平分四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
10．（3分）如图，在正三角形ABC中，AC＝2，BD∥AC，则△ABD的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ ．
12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米 ．
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，则AB＝ ．
15．（3分）已知a﹣2b＝﹣2，则4﹣2a+4b的值为 ．
16．（3分）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A＝∠DOE＝90°．∠B＝45°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，AC于点M，N当AN＝4，MN的长为 ．
17．（3分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣4（x+1）2．
19．（1）解方程：x2﹣5x+1＝0；
（2）解不等式组：．
20．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
21．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
22．2022春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中小孙进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）请用树状图或列表等方法求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率（写出分析过程）．
23．在平面直角坐标中，四边形AOBC是矩形，点O的坐标为（0，0）（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB，求点H坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，直接写出S的取值范围．
24．如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．
（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3
【答案】D
【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简，进而求出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、（a2）8＝a6，故此选项错误；
C、a+2无法计算；
D、（ab）3＝a3b3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项和积的乘方运算等知识，正确应用运算法则是解题关键．
3．（3分）函数中x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格，如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、方差发生变化，
中位数不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
5．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可．
【解答】解：设该多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：D．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6．（3分）在平行四边形、矩形、菱形和正方形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：平行四边形，不是轴对称图形；
矩形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．8π C．15π D．30π
【答案】C
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝15π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相等四边形是矩形
B．对角线相互垂直平分四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线相等四边形是矩形；
B、对角线相互垂直平分四边形是菱形；
C、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形；
D、对角线相互平分的四边形是平行四边形；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解矩形和菱形的判定定理，难度不大．
9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y＝上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．
【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝上，
∴x＝，
∴矩形ABCD中心的坐标为（，）
∴BC＝2（）＝，
∵S矩形ABCD＝8，
∴（﹣2m）•n＝8．
6k﹣2mn＝8，
∵点A（m，n）在y＝上，
∴mn＝k，
∴8k﹣2k＝8
解得：k＝5
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在正三角形ABC中，AC＝2，BD∥AC，则△ABD的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作BM⊥AC于M，AN⊥BD于N，DH⊥CB交CB延长线于H，设BD＝x，由直角三角形的性质得到BH＝BD＝x，DH＝x，由勾股定理求出x的值，得到BD的长，由等边三角形的性质求出BM的长，即可得到AN的长，即可求出△ABD的面积．
【解答】解：作BM⊥AC于M，AN⊥BD于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC＝2，
∵BD∥AC，
∴∠DBH＝∠ACB＝60°，
设BD＝x，
∴BH＝BD＝xx，
∴CH＝BH+BC＝2+x，
∵CD2＝CH6+DH2，
∴33＝+，
∴x＝﹣3（舍去负值），
∴BD＝﹣1，
∵△ABC是等边三角形，BM⊥AC，
∴BM＝BC＝，
∵BD∥AC，AN⊥BD，
∴AN＝BM＝，
∴△ABD的面积＝BD•AN＝．
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到BH、DH的长，应用勾股定理求出BD的长．
二、解答题
11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【答案】2（x+2）（x﹣2）．
【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣6
＝2（x2﹣5）
＝2（x+2）（x﹣3）；
故答案为：2（x+2）（x﹣4）．
【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米 8.35×103 ．
【答案】8.35×103．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：8350＝8.35×103．
故答案为：2.35×103．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
13．（3分）计算：＝ ．
【答案】．
【分析】异分母分式相减，先通分再相减，可得结果．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的减法，灵活整式的乘法公式是做这类题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，则AB＝ 10 ．
【答案】10．
【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
15．（3分）已知a﹣2b＝﹣2，则4﹣2a+4b的值为 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣2b＝﹣2，
∴5﹣2a+4b＝7﹣2（a﹣2b）＝5+4＝8．
故答案为：7
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
16．（3分）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A＝∠DOE＝90°．∠B＝45°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，AC于点M，N当AN＝4，MN的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接AO，作OH⊥AC于H．首先证明△OMN是等腰直角三角形，求出ON即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AO⊥BC，∠BAO＝∠C＝45°，
∵∠DOE＝∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM＝ON，
∵AN＝4，NC＝2，
∴AC＝2，
∵∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴AH＝HC＝3，OH＝AH＝CH＝3，
∴HN＝AN﹣AH＝3﹣3＝1，
∴ON＝OM＝＝＝，
∴MN＝ON＝2，
故答案为8．
【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（3分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+8a+1＝a（x+2）3+1（a≠0），
∴顶点为（﹣6，1），
过点A（m，3），5）两点，
∴a＞0，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥4，
∴a≥
∴a6+a+1的最小值为：（）2++1＝；
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣4（x+1）2．
【答案】（1）；（2）8x﹣5．
【分析】（1）先计算负整数指数幂，开立方，零指数幂；然后计算加减法；
（2）利用平方差公式、完全平方公式计算括号内的式子，然后去括号．
【解答】解：（1）原式＝+5﹣1
＝；
（2）原式＝4x2﹣5﹣4（x2+6x+1）
＝4x8﹣1﹣4x8﹣8x﹣4
＝﹣7x﹣5．
【点评】本题综合考查了平方差公式，完全平方公式，零指数幂以及负整数指数幂．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．
19．（1）解方程：x2﹣5x+1＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）3＜x≤4．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）分别解两个不等式得到x＞3和x≤4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣5x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，
∴Δ＝（﹣5）2﹣8×1×1＝21＞8，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
解不等式①得x＞7，
解不等式②得x≤4，
所以不等式组的解集为3＜x≤7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．
20．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 36° ；
（4）设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
（2）用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）m＝100﹣25﹣25﹣20﹣10＝20，
∴“书法”的人数为100×20%＝20（人），
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢足球的学生人数为1000×25%＝250（名）．
答：估计该校有250名学生喜欢足球．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
22．2022春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中小孙进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）请用树状图或列表等方法求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率（写出分析过程）．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵共有三位老师测体温，分别是王老师、李老师，
∴由王老师测体温的概率是．
故答案为：．
（2）设王老师、张老师，B，C表示，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中都是王老师测体温的结果有7种，
∴都是王老师测体温的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
23．在平面直角坐标中，四边形AOBC是矩形，点O的坐标为（0，0）（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB，求点H坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，直接写出S的取值范围．
【答案】（1）（1，3）；（2）；（3）．
【分析】（1）先由点A，B的坐标得OA＝5，OB＝3，再根据矩形的性质得OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，再由旋转的性质得AD＝OA＝5，然后在Rt△ACD中由勾股定理得CD＝4，据此可得点D的坐标；
（2）首先依据“HL”证明Rt△AOB和Rt△ADB全等得OB＝BD＝AC＝3，再证△BDH和△ACH全等得DH＝CH，设CH＝x，则DH＝x，AH＝5﹣x，然后在Rt△ACH中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，进而可得点H的坐标；
（3）过点K作KM⊥BO于点M，KT⊥BE于点T，先证KM为△OAB的中位线得KM＝2.5，再由（2）可知Rt△AOB≌Rt△ADB，从而得AB为∠OBD的平分线，然后根据角平分线的性质得KT＝KM＝2.5，据此可求出△KDE的面积．
【解答】解：（1）∵点A（5，0），7），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC＝2，OA＝BC＝5，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，
∴AD＝OA＝5，
在Rt△ACD中，AD＝5，
由勾股定理得：，
∴BD＝5﹣4＝5，
∴D（1，3）；
（2）由旋转可知，OA＝DA，
∴∠AOB＝∠ADB＝90°，
在Rt△AOB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△ADB（HL）；
∴OB＝BD＝8
∴BD＝AC＝3，
在△BDH和△ACH中，
，
∴△BDH≌△ACH（AAS），
∴DH＝CH，
设CH＝x，则DH＝x，
∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x，
在Rt△ACH中，CH＝x，AC＝3，
由勾股定理得：AH2﹣CH2＝AC2，
即：（5﹣x）2﹣x5＝32，
解得：，
即：，
∴，
∴点H的坐标为．
（3）过点K作KM⊥BO于点M，KT⊥BE于点T，
∵k为矩形AOBC对角线的交点，
∴KB＝KA，
又KM⊥OB，AO⊥OB，
∴KM∥AO，
∴KM为△OAB的中位线，
∴，
由（2）可知：Rt△AOB≌Rt△ADB，
∴∠ABO＝∠ABD，
即AB为∠OBD的平分线，
又KM⊥BO，KT⊥BE，
∴KT＝KM＝2.4，
由旋转的性质可知：DE＝OB＝3，
∴．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定方法，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求解．
24．如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．
（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+4；
（2）；
（3）tan∠MAN的值为1或4或．
【分析】（1）利用配方法得到y＝x2+2x+1＝（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式y＝（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4＝0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC＝3，AD＝1，CD＝4，AB＝，BC＝2，BD＝2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
（3）易得BC的解析式为y＝﹣2x+4，S△ABC＝6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）＝2，解得m1＝0，m2＝1，当m＝0时，求出AN＝1，MN＝4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m＝1时，计算出AN＝2，MN＝2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN＝，再根据三角形面积公式计算出MN＝，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN＝t，则BN＝﹣t，由②得AH＝，利用勾股定理可计算出BH＝，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN＝，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．
【解答】解：（1）y＝x2+2x+6＝（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y＝﹣（x+7）2．
把y＝﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位8+4，
∴所求的函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝﹣x7+4；
（2）∵y＝x2+6x+1＝（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y＝5时，﹣x2+4＝4，
解得x＝±2，
则D（﹣2，6），0）；
当x＝0时，y＝﹣x6+4＝4，则B（3，
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△CDB，
∵AC＝3，AD＝1，AB＝，BD＝2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率＝；
（3）存在．
∵B（0，5，4），0）．
∴BC的解析式为y＝﹣8x+4，S△ABC＝AC•OB＝，
设M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤8），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+7）（﹣2m+4）＝71＝0，m2＝1，
当m＝0时，M点的坐标为（7，N（0，
则AN＝1，MN＝4，
∴tan∠MAC＝＝＝7；
当m＝1时，M点的坐标为（1，N（6，
则AN＝2，MN＝2，
∴tan∠MAC＝＝＝1；
②当N点在BC上，如图2，
BC＝＝2，
∵BC•AN＝，
解得AN＝＝，
∵S△AMN＝AN•MN＝2，
∴MN＝，
∴tan∠MAC＝＝；
③当N点在AB上，如图2，
设AN＝t，则BN＝，
由②得AH＝，
则BH＝＝，
∵∠NBG＝∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴，即，
∴MN＝，
∵AN•MN＝2，
即•t•，
整理得5t2﹣3t+14＝3，
∵Δ＝（﹣3）2﹣5×3×14＝﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为5或4或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷
一、选择题
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3
3．（3分）函数中x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
4．（3分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格，如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
5．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．（3分）在平行四边形、矩形、菱形和正方形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．8π C．15π D．30π
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相等四边形是矩形
B．对角线相互垂直平分四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
10．（3分）如图，在正三角形ABC中，AC＝2，BD∥AC，则△ABD的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ ．
12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米 ．
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，则AB＝ ．
15．（3分）已知a﹣2b＝﹣2，则4﹣2a+4b的值为 ．
16．（3分）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A＝∠DOE＝90°．∠B＝45°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，AC于点M，N当AN＝4，MN的长为 ．
17．（3分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣4（x+1）2．
19．（1）解方程：x2﹣5x+1＝0；
（2）解不等式组：．
20．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
21．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 ；
（4）设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
22．2022春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中小孙进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）请用树状图或列表等方法求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率（写出分析过程）．
23．在平面直角坐标中，四边形AOBC是矩形，点O的坐标为（0，0）（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB，求点H坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，直接写出S的取值范围．
24．如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．
（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
2023年江苏省无锡市梁溪区辅成实验学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a2）3＝a5 C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3
【答案】D
【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简，进而求出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；
B、（a2）8＝a6，故此选项错误；
C、a+2无法计算；
D、（ab）3＝a3b3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项和积的乘方运算等知识，正确应用运算法则是解题关键．
3．（3分）函数中x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（3分）李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格，如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
平均数
中位数
众数
方差
8.5分
8.3分
8.1分
0.15
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、方差发生变化，
中位数不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
5．（3分）如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可．
【解答】解：设该多边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：D．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
6．（3分）在平行四边形、矩形、菱形和正方形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：平行四边形，不是轴对称图形；
矩形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形；
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7．（3分）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．6π B．8π C．15π D．30π
【答案】C
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝15π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
8．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相等四边形是矩形
B．对角线相互垂直平分四边形是菱形
C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、对角线相等四边形是矩形；
B、对角线相互垂直平分四边形是菱形；
C、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形；
D、对角线相互平分的四边形是平行四边形；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解矩形和菱形的判定定理，难度不大．
9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y＝上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．
【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝上，
∴x＝，
∴矩形ABCD中心的坐标为（，）
∴BC＝2（）＝，
∵S矩形ABCD＝8，
∴（﹣2m）•n＝8．
6k﹣2mn＝8，
∵点A（m，n）在y＝上，
∴mn＝k，
∴8k﹣2k＝8
解得：k＝5
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在正三角形ABC中，AC＝2，BD∥AC，则△ABD的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作BM⊥AC于M，AN⊥BD于N，DH⊥CB交CB延长线于H，设BD＝x，由直角三角形的性质得到BH＝BD＝x，DH＝x，由勾股定理求出x的值，得到BD的长，由等边三角形的性质求出BM的长，即可得到AN的长，即可求出△ABD的面积．
【解答】解：作BM⊥AC于M，AN⊥BD于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC＝2，
∵BD∥AC，
∴∠DBH＝∠ACB＝60°，
设BD＝x，
∴BH＝BD＝xx，
∴CH＝BH+BC＝2+x，
∵CD2＝CH6+DH2，
∴33＝+，
∴x＝﹣3（舍去负值），
∴BD＝﹣1，
∵△ABC是等边三角形，BM⊥AC，
∴BM＝BC＝，
∵BD∥AC，AN⊥BD，
∴AN＝BM＝，
∴△ABD的面积＝BD•AN＝．
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到BH、DH的长，应用勾股定理求出BD的长．
二、解答题
11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【答案】2（x+2）（x﹣2）．
【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：2x2﹣6
＝2（x2﹣5）
＝2（x+2）（x﹣3）；
故答案为：2（x+2）（x﹣4）．
【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式和公式法因式分解是解答本题的关键．
12．（3分）无锡市高浪路快速化改造一期工程西起蠡湖大道学府立交，东至高浪路大桥西侧桥台，路线全长8350米 8.35×103 ．
【答案】8.35×103．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：8350＝8.35×103．
故答案为：2.35×103．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
13．（3分）计算：＝ ．
【答案】．
【分析】异分母分式相减，先通分再相减，可得结果．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的减法，灵活整式的乘法公式是做这类题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，则AB＝ 10 ．
【答案】10．
【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
15．（3分）已知a﹣2b＝﹣2，则4﹣2a+4b的值为 8 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣2b＝﹣2，
∴5﹣2a+4b＝7﹣2（a﹣2b）＝5+4＝8．
故答案为：7
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
16．（3分）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A＝∠DOE＝90°．∠B＝45°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，AC于点M，N当AN＝4，MN的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，连接AO，作OH⊥AC于H．首先证明△OMN是等腰直角三角形，求出ON即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AO⊥BC，∠BAO＝∠C＝45°，
∵∠DOE＝∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴OM＝ON，
∵AN＝4，NC＝2，
∴AC＝2，
∵∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴AH＝HC＝3，OH＝AH＝CH＝3，
∴HN＝AN﹣AH＝3﹣3＝1，
∴ON＝OM＝＝＝，
∴MN＝ON＝2，
故答案为8．
【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（3分）已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，则代数式a2+a+1的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x＝代入代数式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+8a+1＝a（x+2）3+1（a≠0），
∴顶点为（﹣6，1），
过点A（m，3），5）两点，
∴a＞0，
∴对称轴为直线x＝﹣2，
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥4，
∴a≥
∴a6+a+1的最小值为：（）2++1＝；
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣4（x+1）2．
【答案】（1）；（2）8x﹣5．
【分析】（1）先计算负整数指数幂，开立方，零指数幂；然后计算加减法；
（2）利用平方差公式、完全平方公式计算括号内的式子，然后去括号．
【解答】解：（1）原式＝+5﹣1
＝；
（2）原式＝4x2﹣5﹣4（x2+6x+1）
＝4x8﹣1﹣4x8﹣8x﹣4
＝﹣7x﹣5．
【点评】本题综合考查了平方差公式，完全平方公式，零指数幂以及负整数指数幂．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．
19．（1）解方程：x2﹣5x+1＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）3＜x≤4．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）分别解两个不等式得到x＞3和x≤4，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）x2﹣5x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，
∴Δ＝（﹣5）2﹣8×1×1＝21＞8，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
解不等式①得x＞7，
解不等式②得x≤4，
所以不等式组的解集为3＜x≤7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式组．
20．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了 100 名学生；
（2）求m的值并补全条形统计图；
（3）在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为 36° ；
（4）设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；
（2）用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用360°乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
【解答】解：（1）学校本次调查的学生人数为10÷10%＝100（名），
故答案为：100；
（2）m＝100﹣25﹣25﹣20﹣10＝20，
∴“书法”的人数为100×20%＝20（人），
补全图形如下：
（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为360°×10%＝36°，
故答案为：36°；
（4）估计该校喜欢足球的学生人数为1000×25%＝250（名）．
答：估计该校有250名学生喜欢足球．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
22．2022春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温（每个通道一位老师），周一有小卫和小孙两学生进校园，可随机选择其中的一个通过．
（1）其中小孙进校园时，由王老师测体温的概率是 ；
（2）请用树状图或列表等方法求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率（写出分析过程）．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵共有三位老师测体温，分别是王老师、李老师，
∴由王老师测体温的概率是．
故答案为：．
（2）设王老师、张老师，B，C表示，
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中都是王老师测体温的结果有7种，
∴都是王老师测体温的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
23．在平面直角坐标中，四边形AOBC是矩形，点O的坐标为（0，0）（5，0），点B的坐标为（0，3），以点A为中心，得到矩形ADEF，点O，B，E，F．
（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；
（2）如图②，当点D落在线段BE上时，连接AB，求点H坐标；
（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，直接写出S的取值范围．
【答案】（1）（1，3）；（2）；（3）．
【分析】（1）先由点A，B的坐标得OA＝5，OB＝3，再根据矩形的性质得OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，再由旋转的性质得AD＝OA＝5，然后在Rt△ACD中由勾股定理得CD＝4，据此可得点D的坐标；
（2）首先依据“HL”证明Rt△AOB和Rt△ADB全等得OB＝BD＝AC＝3，再证△BDH和△ACH全等得DH＝CH，设CH＝x，则DH＝x，AH＝5﹣x，然后在Rt△ACH中由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，进而可得点H的坐标；
（3）过点K作KM⊥BO于点M，KT⊥BE于点T，先证KM为△OAB的中位线得KM＝2.5，再由（2）可知Rt△AOB≌Rt△ADB，从而得AB为∠OBD的平分线，然后根据角平分线的性质得KT＝KM＝2.5，据此可求出△KDE的面积．
【解答】解：（1）∵点A（5，0），7），
∴OA＝5，OB＝3，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC＝2，OA＝BC＝5，
∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，
∴AD＝OA＝5，
在Rt△ACD中，AD＝5，
由勾股定理得：，
∴BD＝5﹣4＝5，
∴D（1，3）；
（2）由旋转可知，OA＝DA，
∴∠AOB＝∠ADB＝90°，
在Rt△AOB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△ADB（HL）；
∴OB＝BD＝8
∴BD＝AC＝3，
在△BDH和△ACH中，
，
∴△BDH≌△ACH（AAS），
∴DH＝CH，
设CH＝x，则DH＝x，
∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x，
在Rt△ACH中，CH＝x，AC＝3，
由勾股定理得：AH2﹣CH2＝AC2，
即：（5﹣x）2﹣x5＝32，
解得：，
即：，
∴，
∴点H的坐标为．
（3）过点K作KM⊥BO于点M，KT⊥BE于点T，
∵k为矩形AOBC对角线的交点，
∴KB＝KA，
又KM⊥OB，AO⊥OB，
∴KM∥AO，
∴KM为△OAB的中位线，
∴，
由（2）可知：Rt△AOB≌Rt△ADB，
∴∠ABO＝∠ABD，
即AB为∠OBD的平分线，
又KM⊥BO，KT⊥BE，
∴KT＝KM＝2.4，
由旋转的性质可知：DE＝OB＝3，
∴．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定方法，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求解．
24．如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．
（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN？若存在，求tan∠MAN的值，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+4；
（2）；
（3）tan∠MAN的值为1或4或．
【分析】（1）利用配方法得到y＝x2+2x+1＝（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式y＝（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4＝0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC＝3，AD＝1，CD＝4，AB＝，BC＝2，BD＝2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
（3）易得BC的解析式为y＝﹣2x+4，S△ABC＝6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）＝2，解得m1＝0，m2＝1，当m＝0时，求出AN＝1，MN＝4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m＝1时，计算出AN＝2，MN＝2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN＝，再根据三角形面积公式计算出MN＝，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN＝t，则BN＝﹣t，由②得AH＝，利用勾股定理可计算出BH＝，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN＝，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．
【解答】解：（1）y＝x2+2x+6＝（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y＝﹣（x+7）2．
把y＝﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位8+4，
∴所求的函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝﹣x7+4；
（2）∵y＝x2+6x+1＝（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y＝5时，﹣x2+4＝4，
解得x＝±2，
则D（﹣2，6），0）；
当x＝0时，y＝﹣x6+4＝4，则B（3，
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△CDB，
∵AC＝3，AD＝1，AB＝，BD＝2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率＝；
（3）存在．
∵B（0，5，4），0）．
∴BC的解析式为y＝﹣8x+4，S△ABC＝AC•OB＝，
设M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤8），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+7）（﹣2m+4）＝71＝0，m2＝1，
当m＝0时，M点的坐标为（7，N（0，
则AN＝1，MN＝4，
∴tan∠MAC＝＝＝7；
当m＝1时，M点的坐标为（1，N（6，
则AN＝2，MN＝2，
∴tan∠MAC＝＝＝1；
②当N点在BC上，如图2，
BC＝＝2，
∵BC•AN＝，
解得AN＝＝，
∵S△AMN＝AN•MN＝2，
∴MN＝，
∴tan∠MAC＝＝；
③当N点在AB上，如图2，
设AN＝t，则BN＝，
由②得AH＝，
则BH＝＝，
∵∠NBG＝∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴，即，
∴MN＝，
∵AN•MN＝2，
即•t•，
整理得5t2﹣3t+14＝3，
∵Δ＝（﹣3）2﹣5×3×14＝﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为5或4或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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