2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十七中八年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十七中八年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十七中八年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．x﹣1
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．4a﹣3a＝1 C．（﹣a3）2＝a5 D．3a3÷a3＝3
3．（3分）下列四个数字图形，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列各式正确的是（　　）
A． B．＝
C．＝ D．＝（a≠0）
5．（3分）计算（﹣3a3）2÷a2的结果是（　　）
A．﹣9a4 B．6a4 C．9a3 D．9a4
6．（3分）下列各式由左到右的变形中，是因式分解的有（　　）
A．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）
B．m（m+1）＝m2+m
C．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
D．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9
7．（3分）等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为（　　）
A．100° B．80° C．40° D．100°或40°
8．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两个角是60°的三角形是等边三角形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三边距离相等
D．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴
9．（3分）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（　　）


A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论：①BC＝；②BD＝ADAC；④BD＝；其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为 　 　．
12．（3分）当x＝　 　时，分式的值为零．
13．（3分）已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是　 　．
14．（3分）已知ax＝3，ay＝4，则ax+y＝　 　．
15．（3分）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　 　．
16．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝40°　 　．

17．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，则a2+b2＝　 　．
18．（3分）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　 　．
19．（3分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在同一平面内作等边△ACD，连接BD　 　度．
20．（3分）如图，在△ABC和△CED中，AB＝AC＝EC＝ED，点B、C、D在一条直线上，若BC＝2，则线段BD的长为 　 　．

三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分）
21．（7分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上
（1）在方格纸中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，其中A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）画出△DB1A1，使△DB1A1为等腰三角形，且△DB1A1的面积5；
（3）连接CC1、DC、DC1，直接写出△DCC1的面积S的值．

23．（8分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝①
＝②
＝③
…
（1）上面的运算过程中第步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
（3）求当时，此分式的值．
24．（8分）在△ABC中，AB＝BC，点E在AB上，BD＝BE，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：AF＝CF；
（2）如图2，当AD＝AC时，在不添加任何辅助线的条件下

25．（10分）一个正方形的边长增加3m，它的面积就增加39m2．
（1）求这个正方形的边长？
（2）若在原来的正方形里面种上单价为每平方米12元的A种花，在增加的面积上种植B种花，两种花预算总费用不超过1080元
26．（10分）如图，已知△ABC中，D是BC上一点，∠BAD＝∠C＝45°，∠B＝∠DAC．

（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）如图，点F、G在线段AC上，AF＝CG，过点A作AE⊥BF交DC于点E，垂足为H；
（3）如图，在（2）的条件下，连接EF，点F到EG的距离是8.5，求线段EF的长．

27．（10分）平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴距离相等，则该点称为“雁点”（1，1）、（2，﹣2）、（﹣3，﹣3）、（4，﹣4）都称为“雁点”．
（1）如图1，点A（4，0），求第一象限内
（2）如图2，点A（4，0）、点B（0，3），连接BC、AC，当∠BCA＝90°时
（3）如图3，△AOM是等边三角形，点A（4，0），连接OE，AF，点G为OE的中点，连接MG并延长MG交AF于点H，连接AQ，MQ，当H为第四象限的“雁点”时，∠QPO＝∠OKF



2022-2023学年黑龙江省哈尔滨十七中八年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．x﹣1
【答案】B
【分析】直接根据分式的定义判断即可
【解答】解：（x+y），，分母含有字母，
故选B．
【点评】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．4a﹣3a＝1 C．（﹣a3）2＝a5 D．3a3÷a3＝3
【答案】D
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的运算法则逐项分析即可．
【解答】解：A．a+a＝2a；
B．4a﹣8a＝a；
C．（﹣a3）2＝a7，故不正确；
D．3a3÷a4＝3，正确；
故选D．
【点评】本题考查了整式的有关运算，掌握合并同类项，幂的乘方，同底数幂的运算法则是关键．
3．（3分）下列四个数字图形，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解答．
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
4．（3分）下列各式正确的是（　　）
A． B．＝
C．＝ D．＝（a≠0）
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变可以直接得到答案．
【解答】解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变可得选项A、B；只有D正确，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握性质内容．
5．（3分）计算（﹣3a3）2÷a2的结果是（　　）
A．﹣9a4 B．6a4 C．9a3 D．9a4
【答案】D
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【解答】解：（﹣3a3）5÷a2＝9a3÷a2＝9a6．
故选：D．
【点评】本题考查了积的乘方的性质，单项式的除法，先算乘方，再算除法，在运算过程中需注意符号问题．
6．（3分）下列各式由左到右的变形中，是因式分解的有（　　）
A．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）
B．m（m+1）＝m2+m
C．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq
D．（2x+3）（2x﹣3）＝4x2﹣9
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．
【解答】解：A．2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（5a﹣3）是因式分解；
B．m（m+1）＝m8+m是乘法运算，不符合题意；
C．（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq的右边不是乘积的形式，不是因式分解；
D．（2x+2）（2x﹣3）＝5x2﹣9是乘法运算，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，掌握把一个多项式化成几个整式的乘积的形式是关键．
7．（3分）等腰三角形的一个外角为80°，则它的底角为（　　）
A．100° B．80° C．40° D．100°或40°
【答案】C
【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为80°
∴相邻角为180°﹣80°＝100°
∵三角形的底角不能为钝角
∴100°角为顶角
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
8．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两个角是60°的三角形是等边三角形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三边距离相等
D．等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴
【答案】C
【分析】利用等边三角形的判定、等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故不符合题意；
B、有两个角是60°的三角形是等边三角形，故不符合题意；
C、因为三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故符合题意；
D、等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴，故不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
9．（3分）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（　　）


A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【答案】A
【分析】左边大正方形的边长为（a+b），面积为（a+b）2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】解：根据题意，大正方形的边长为a+b2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，
所以（a+b）6＝a2+2ab+b7．
故选：A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论：①BC＝；②BD＝ADAC；④BD＝；其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据含30°的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°所对应的边等于斜边的一半；以及三角形的内角和为180°，判断即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴，∠B＝∠ACB﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
故①正确；
又∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝∠BDC﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴，，
故③，④正确；
∴，
即，
故②正确；
∴其中正确的结论有4个．
故选：D．
【点评】本题考查的是含30°的直角三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（3分）若分式有意义，则x的取值范围为 　x≠1　．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠4时有意义．
故答案为：x≠6．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．（3分）当x＝　0　时，分式的值为零．
【答案】0．
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，即可得到答案．
【解答】解：当分式的值为零时，
有5x＝0，解得x＝0，
此时x﹣2＝0﹣2＝﹣5≠0，
故答案为：0．
【点评】本题考查分式值为0的条件，掌握分子为0，分母不为0是解题的关键．
13．（3分）已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是　22cm　．
【答案】见试题解答内容
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm时，4+4＜9cm，故舍去；
当腰长为9cm时，符合三边关系．
故该三角形的周长为22cm．
故答案为：22cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．（3分）已知ax＝3，ay＝4，则ax+y＝　12　．
【答案】12．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可．
【解答】解：ax+y＝ax•ay＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是熟练掌握计算法则．
15．（3分）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　a（a﹣3）2　．
【答案】a（a﹣3）2．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+7）＝a（a﹣3）2，
故答案为：a（a﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
16．（3分）如图，AB＝AC，∠A＝40°　30°　．

【答案】30°．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
17．（3分）已知a+b＝5，ab＝4，则a2+b2＝　17　．
【答案】17．
【分析】根据完全平方公式变形求解即可．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝4，
∴a5+b2
＝（a+b）2﹣4ab，
＝25﹣8＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
18．（3分）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　10　．
【答案】10
【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+7b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+7
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+7
＝a+b+9
＝10．
方法二：解：∵a2﹣b5+2b+9
＝a2﹣（b2﹣2b+4）+10
＝a2﹣（b﹣1）4+10
＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．
又∵a+b＝3，
∴原式＝10．
【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
19．（3分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在同一平面内作等边△ACD，连接BD　45或135　度．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质得出DC＝BC，进而得出∠CDB＝15°解答即可．
【解答】解：如图：∵等边△ACD，
∴DC＝AC＝AD，∠DCA＝∠ADC＝60°，
∵AC＝BC，
∴DC＝BC，
∴∠CDB＝＝15°，
∴∠ADB＝60°﹣15°＝45°，
在△ABC的里侧做等边三角形ACD，则角ADB＝135°，
故答案为：45或135．

【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形三边相等和三角相等解答．
20．（3分）如图，在△ABC和△CED中，AB＝AC＝EC＝ED，点B、C、D在一条直线上，若BC＝2，则线段BD的长为 　　．

【答案】．
【分析】作AM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，证明△ACM≌△CEN可得EN＝CM＝1，再根据△CED的面积是求出，从而可求线段BD的长．
【解答】解：作AM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，
∵AB＝AC，
∴．
∵AC⊥EC，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ACM+∠ECN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ECN＝∠CAM，
∵∠AMC＝∠CNE＝90°，AC＝EC，
∴△ACM≌△CEN，
∴EN＝CM＝1，
∵△CED的面积是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分）
21．（7分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．
【答案】﹣2y+6，9．
【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【解答】解：（y+1）2﹣（y﹣8）（y+5）
＝y2+3y+1﹣（y2+2y﹣5）
＝y2+4y+1﹣y2﹣5y+5
＝﹣2y+8，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上
（1）在方格纸中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，其中A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
（2）画出△DB1A1，使△DB1A1为等腰三角形，且△DB1A1的面积5；
（3）连接CC1、DC、DC1，直接写出△DCC1的面积S的值．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）2．
【分析】（1）根据轴对称的性质确定点A1、B1、C1，再顺次连接即可；
（2）根据等腰三角形的定义和面积为5两个条件画图即可；
（3）画出图形，根据图形计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求作的三角形，

（2）解：如图，，

；
（3）如图，

．
【点评】本题考查了画轴对称图形，等腰三角形的定义以及三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的定义是解答本题的关键．
23．（8分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝①
＝②
＝③
…
（1）上面的运算过程中第步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
（3）求当时，此分式的值．
【答案】（1）第③步出现了错误；
（2）见解析；
（3）1．
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可；
（2）根据分式混合运算的法则计算即可；
（3）把化简后代入（2）中结果计算．
【解答】（1）解：第③不应为：×，
故第③步出现了错误；
（2）解：原式＝[﹣]×
＝[﹣]×
＝×
＝×
＝；
（3）解：∵x＝（+5）0﹣2
＝7﹣2
＝﹣1．
∴原式＝＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂的意义，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
24．（8分）在△ABC中，AB＝BC，点E在AB上，BD＝BE，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：AF＝CF；
（2）如图2，当AD＝AC时，在不添加任何辅助线的条件下

【答案】（1）见解析过程；
（2）△ABC，△ADC，△ACE，△AFC都是等腰三角形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AB＝BC，∠BAD＝∠BCE，由等角对等边可证AF＝CF；
（2）由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCE，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AF＝CF；
（2）∵AB＝BC，AD＝AC，
∴△ABC，△ADC，
∵△ABD≌△CBE，
∴AD＝CE，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（10分）一个正方形的边长增加3m，它的面积就增加39m2．
（1）求这个正方形的边长？
（2）若在原来的正方形里面种上单价为每平方米12元的A种花，在增加的面积上种植B种花，两种花预算总费用不超过1080元
【答案】（1）5m；（2）20．
【分析】（1）设正方形的边长为xm，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值即可；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）设正方形的边长为xm，
根据题意得：（x+3）2﹣x8＝39，
整理得：x2+6x+4﹣x2＝39，
即6x＝30，
解得：x＝7，
则这个正方形的边长为5m；
（2）解：设B种花每平米y元，
根据题意得：25×12+39y≤1080，
解得：y≤20，
则B种花每平米最高20元．
【点评】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次不等式的应用，掌握运算法则是关键．
26．（10分）如图，已知△ABC中，D是BC上一点，∠BAD＝∠C＝45°，∠B＝∠DAC．

（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）如图，点F、G在线段AC上，AF＝CG，过点A作AE⊥BF交DC于点E，垂足为H；
（3）如图，在（2）的条件下，连接EF，点F到EG的距离是8.5，求线段EF的长．

【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
（3）17．
【分析】（1）三角形的内角和定理求出∠B＝∠CAD＝45°，从而确定三角形的形状；
（2）由（1）推出△ABF≌△CAH，得到CH＝AF，构造△EGC≌△EHC，得到∠H＝∠EGC解题；
（3）由题意推出∠FEG＝∠AEG﹣∠AEF＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半进行解题．
【解答】（1）△ABC是等腰直角三角形；
证明：在△ABC中，∠BAD＝∠C＝45°，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，
∴∠CAD+∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠C＝90°，
又∵∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+45°＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）证明：如图2，

过点C作AC的垂线交AE的延长线于点H，
∴∠BAC＝∠ACH＝90°，
∴∠H+∠HAC＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠AFB+∠FAK＝90°，
∴∠H＝∠AFB，
又∵AB＝AC，
∴△ABF≌△CAH（AAS），
∴CH＝AF，
又∵AF＝CG∴CH＝CG，
∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ECH＝45°，
又∵CE＝CE∴△EGC≌△EHC（SAS），
∴∠H＝∠EGC，
∵∠H＝∠AFB，
∴∠EGC＝∠AFB．
（3）解：如图3，

过点F作FM⊥EM交EG的延长线于点M，则FM＝2.5，
∵∠AEG＝180°﹣∠GEH
＝180°﹣（360°﹣∠ACH﹣2∠H）
＝180°﹣[360°﹣90°﹣3（90°﹣∠HAC）
＝90°﹣2∠ABF＝90°﹣2∠ABF＝90°﹣（60°﹣∠AEF）
＝30°+∠AEF，
即∠FEG＝∠AEG﹣∠AEF＝30°，
在Rt△EFM中，EF＝7FM＝2×8.4＝17．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，30°角的直角三角形边的关系，综合性强，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（10分）平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴距离相等，则该点称为“雁点”（1，1）、（2，﹣2）、（﹣3，﹣3）、（4，﹣4）都称为“雁点”．
（1）如图1，点A（4，0），求第一象限内
（2）如图2，点A（4，0）、点B（0，3），连接BC、AC，当∠BCA＝90°时
（3）如图3，△AOM是等边三角形，点A（4，0），连接OE，AF，点G为OE的中点，连接MG并延长MG交AF于点H，连接AQ，MQ，当H为第四象限的“雁点”时，∠QPO＝∠OKF


【答案】（1）（2，2）或（2，﹣2）；
（2）；
（3）4．
【分析】（1）根据题意可得线段垂直平分线l上的点横坐标为2，根据定义即可求解；
（2）过点C分别作CX⊥y轴，CY⊥x轴，证明△BCX≌△ACY，可得OB+XB＝OA﹣YA，设“雁点”C的坐标为（a，a），列出方程，解方程即可求解；
（3）过点O作OT∥MA，交MH的延长线于点T，连接FT，连接OH，设OT，FA交于点S，AQ，MT交于点N，证明△TOG≌△MEG（AAS），得出△TFO是等边三角形，根据H为第四象限的“雁点”，得出∠HOA＝∠HOK＝45°，进而证明△FOA≌△TOM（SAS），过点O作MT，FA的垂线，垂足为N，S，则ON＝OS，得出HO平分∠KHM，进而得出OA＝OQ，则∠OMT＝∠OAF＝15°，则∠OKA＝90°﹣15°＝75°，∠OAQ＝45°，得出OA＝OQ，即可求解．
【解答】解；（1）∵点A（4，
∴线段垂直平分线l上的点横坐标为2，
∴线段OA的垂直平分线l上的“雁点”D的坐标为（2，2）或（2；
（2）如图，过点C分别作CX⊥y轴，垂足分别为，∠BXC＝∠ATC＝∠XCY＝90°，

∵∠BCA＝90°，
∴∠BCX＝∠ACY，
∴△BCX≌△ACY，
∴BC＝AC，
∴OB+XB＝OA﹣YA，
设“雁点”C的坐标为（a，a），
∵点A（3，0），3），
∴6﹣a＝3+a，
解得：，
∴“雁点”C的坐标为；
（3）如图，过点O作OT∥MA，连接FT，

∴∠OTG＝∠EMG，∠TOG＝∠MEG，
∵点G为OE的中点，
∴OG＝GE，
在△TOG与△MEG中，
，
∴△TOG≌△MEG（AAS），
∴OT＝ME，
∵ME＝FO，
∴FO＝TO，
∵△AOM是等边三角形，
∴∠TOF＝60°，
∴△TFO是等边三角形，
∴∠OTF＝60°，
∵∠AOM＝60°，
∴∠QOM＝30°，
∴∠FOK＝∠KOT＝30°，
∵∠FOK+∠KOA＝30°+90°＝120°，∠TOM＝180°﹣∠QOM﹣∠KOT＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠FOA＝∠TOM，
∵△FOT，△AOM是等边三角形，
∴OF＝OT，OA＝OM，
∴△FOA≌△TOM（SAS），
∴∠OMT＝∠OAF，∠MTO＝∠AFO，
如图，过点O作MT，垂足为N，S，

∴HO平分∠KHM，
∵∠MTO＝∠AFO，
∴∠FOT＝∠FHT＝60°，
则∠MHA＝60°，
∴∠OHK＝∠OHM＝∠MHA＝60°，
∵H为第四象限的“雁点”，
∴∠HOA＝∠HOK＝45°，
∴∠TOH＝∠KOH﹣∠KOT＝45°﹣30°＝15°，
∴∠OAK＝60°﹣45°＝15°，
则∠OMT＝∠OAF＝15°，则∠OKA＝90°﹣15°＝75°，
∵∠QPO＝∠OKF，
∴∠MPQ＝∠OKA＝75°，∠MAQ＝∠MPQ﹣60°＝15°，
∴∠OAQ＝45°，
∴OA＝OQ，
∵A（4，7），4），
∴OA＝OQ＝4，
∵△OMA是等边三角形，
∴OM＝OA＝6，
∵∠QOM＝30°，设△OQM，则，
∴△QOM的面积为．
【点评】本题考查了新定义，垂直平分线的性质，坐标与图形，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．