2022-2023学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高二下学期4月月考数学（理）试题含答案

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叙州区二中2023年春期高二第二学月考试数学（理工类）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷   选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】首先根据题意得到，再求其虚部即可.【详解】由题知：，，所以的虚部为.故选：A2. 双曲线的渐近线方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，所以双曲线的渐近线方程是，故选：D．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是．3. 在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（    ）A. -32 B. -1 C. 1 D. 32【答案】B【分析】根据二项式系数的和是，可解得，令代入结果即为展开式中各项系数的和．【详解】∵二项式系数的和是32，则，∴令，则展开式中各项系数的和为故选：B．4. 在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.【详解】由题意，在区间内随机取两个数，满足，则不等式组所围成的正方形的面积为，由这两个数和小于，即，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，则阴影部分的面积为，所以这两个数的和小于的概率为.故选：C.5. 给出下列说法：①用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；②两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好；③在残差散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好；④随机变量服从正态分布，若，则.则正确说法的个数是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【分析】由残差的定义、相关系数的定义结合正态分布的性质逐一判断即可.【详解】对于①：越小说明拟合效果越差，故①错误；对于②：根据残差的定义可知，两个模型中残差平方和越小的模型的拟合效果越好，故②正确；对于③：根据残差的定义可知，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，故③正确；对于④：，则，即，故④正确；故正确说法的个数是3.故选：C6. 已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】求出函数的导数，判断出函数极小值点，即最小值点，列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，，当或时，，当时，，故是函数极小值点，也是最小值点，故要使函数在区间上有最小值，需满足且 ，解得 且 ，解得 ，故选：A7. 迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（　　）．（本题中取进行计算）A. 6 B.  C. 3 D. 9【答案】B【分析】根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.【详解】圆弧的半径为，则，．所以周长，面积．所以．当且仅当，时等号成立．故选：B8. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】先求出函数的对称中心，然后根据函数图像的变换求出过原点时函数的解析式即可．【详解】，该函数是由（该函数图像关于原点对称，即为奇函数）向右平移2个单位，然后再沿轴向下平移1个单位得到的，故将的图像向左平移2个单位，然后再沿轴向上平移1个单位得到关于原点对称的奇函数的图像，可知．故选：D．9. 小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有个且是种口味的小笼包，这种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为（    ）．A. B. C. D. 【答案】B【分析】利用排列数可得到满足题意的情况种数和总体情况种数，根据古典概型概率公式可计算得到结果.【详解】将这种口味的小笼包排成一排，共有种排法，人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有种排法，故所求概率为：．故选：B.10. 已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】D【分析】由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由得．因为两圆的半径均为1，则，则，即．所以点P的轨迹方程为．故选：D11. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【分析】设椭圆右焦点，连接，，由椭圆对称性可知四边形为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.【详解】设椭圆右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则．因为，可得．所以，则，．由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率，故选：C．12. 若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】A【分析】因为，结合条件整理得，令，结合单调性即可求解．【详解】因为，所以，同取对数得，因为，所以，即令，，所以在（0，e）上单调递增，在上单调递减，因为，只需考虑和的大小关系，因为，，所以所以只需，即，故最小值为6.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题．第II卷  非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.故答案为：814. 的值为___________．【答案】【分析】由微积分基本定理求得结果即可.【详解】故答案为：15. 如图所示，正方形的边长为，已知， 将直角沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中与所成角的正切值为_____．【答案】【分析】连接，根据平行关系可知即为与所成角；根据线面垂直的性质和判定定理可证得，从而可求得，利用同角三角函数可求得结果.【详解】连接，如下图所示：四边形为正方形    ，与所成角即为与所成角，即点在平面上的射影为点    平面又平面    平面，    平面平面        即与所成角的正切值为本题正确结果；【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，涉及到立体几何中的翻折变换问题，关键是能够通过平行关系将异面直线成角转变为相交直线所成角，从而根据垂直关系在直角三角形中来进行求解.16. 抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则______．【答案】49【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点在曲线上，所以，则双曲线的方程为，即，则，所以抛物线方程为，准线方程为，设，则，由，得，所以处的切线方程为，即，即，将点代入可得，同理可得，所以直线的方程为，联立抛物线的方程，可得，所以，所以.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程，，从而可得切点弦的方程为，考查计算能力，属于较难题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17. 已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）分别在、和三种情况下讨论，去掉绝对值求得结果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：且；利用绝对值三角不等式求得，解不等式求得结果.【详解】（Ⅰ）当时，不等式为当时，，解得：；当时，，显然不等式不成立；当时，则，解得：综上可得，不等式的解集为：或（Ⅱ）不等式的解集不是空集，则，且    ，即又    ，解得：实数的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式求最值、恒成立思想的应用等知识，关键是能够将不等式解集不是空集转化为参数与函数最值之间的比较，从而利用绝对值三角不等式求得最值，属于常考题型.18. 甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选.（1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数的分布列及数学期望；【答案】（1）    （2）分布列见解析，【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解即可；（2）易得乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，再根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而求得数学期望即可【小问1详解】甲在备选的10道题中，答对其中每道题的概率都是，答错的概率为∴选中4个题目甲恰有2个题目答对的概率..【小问2详解】由题意知乙答对的题目数的可能取值为2，3，4，，，，的分布列为：23419. 已知曲线.（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）对任意x∈[1，+∞)，都有，求实数a的取值范围.【答案】（1）y=2x-1；（2）a≤2.【分析】（1）代入，对函数求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）分离参量后，构造新函数，对新函数求导计算出最值，即可得到的取值范围.【详解】（1）函数f(x)的定义域为{x|x>0}，当a=1时，，，，所求切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.（2）由题意对于有则可得，x∈[1，+∞).设，x∈[1，+∞)，，x∈[1，+∞)再设m(x)=x2-lnx，x∈[1，+∞)，，m(x)在[1，十∞)上为增函数，m(x)≥m（1）=1，即g'(x)>0，g(x)在[1，+∞)上为增函数，g(x)≥g（1）=2，即a≤2.【点睛】思路点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后解答，需要注意分类讨论.20. 如图所示，在菱形中，，对角线与相交于点，现沿着对角线折成一个四面体，如图所示．（1）在图中，证明：；（2）若图中，点是线段的三等分点（靠近点），求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证，即证明平面，通过，即可得到；（2）先证明出平面，建立空间直角坐标系，求余弦值即可．【详解】（1）证明：是菱形，点是中点，，，又，平面，平面，．（2）和是等边三角形，边长为，点是中点，，，，则．又，，平面．如图，建立空间直角坐标系，，，，，．设平面的法向量为，，平面的法向量为，，由图知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求证:为定值．【答案】（1）；（2）定值1【分析】（1）由题意可得，从而可得到椭圆的标准方程；（2）依题意得直线l的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可得到结论.【详解】（1）由题意有，∴椭圆C的标准方程为．（2）由（1）可知，依题意得直线l的斜率存在，设其方程为，设，，，联立方程，消去y并整理可得，, ，=为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线的斜率及韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.22. 已知函数．（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．【答案】（1）；（2）,证明见解析.【分析】（1）在处切线的斜率为，即，得出，计算f(e)，即可出结论（2）①有两个极值点得=0有两个不同的根，即有两个不同的根，令，利用导数求其范围，则实数a的范围可求；有两个极值点，利用在(e,+∞)递减，，即可证明【详解】（1）∵，∴，解得， ∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为． （2），令=0，得．令，则，且当时，；当时，；时，．令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以． 所以当时，有一个极值点； 时，有两个极值点；当时，没有极值点．综上，的取值范围是． （方法不同，酌情给分）因为是的两个极值点，所以即…①不妨设，则，，因为在递减，且，所以，即…②．由①可得，即，由①，②得，所以．