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2022-2023学年陕西省洛南中学高二下学期3月月考数学(理)试题含答案
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这是一份2022-2023学年陕西省洛南中学高二下学期3月月考数学(理)试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省洛南中学高二下学期3月月考数学(理)试题 一、单选题1.在复平面内,复数对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】根据复数的运算法则,求得,结合复数的几何意义,即可求解.【详解】由题意,复数,所以该复数在复平面内对应的点为,在第一象限.故选:A.2.一质点运动的位移方程为,当秒时,该质点的瞬时速度为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】求导后根据导数的物理意义可求.【详解】由求导得所以秒时,该质点的瞬时速度为.故选:C3.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】封闭图形的面积为,利用莱布尼茨公式计算即可.【详解】如图,封闭图形的面积为.故选:B.【点睛】本题考查利用定积分计在平面几何中的应用,在利用定积分求平面图形的面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数,本题是一道基础题.4.函数的极大值点为( )A.1 B. C.2 D.【答案】D【分析】求得,令,根据的正负来判断的单调性,即可求得极大值点.【详解】因为,令,解得,,所以当或时,;当时,,所以在,上单调递增,在上单调递减,故的极大值点为,故选:D5.在中,三条边的长分别为a,b,c,面积为S,则的内切圆半径.类比这个结论,在四面体PABC中,六条棱的长分别为a,b,c,d,e,f,四个面的面积分别为,,,,体积为V,则四面体PABC的内切球半径为( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据类比思想,“边”变为“面”,“内切圆半径”变为“内切球半径”,根据四面体的几何性质,即可得到答案.【详解】设四面体的内切球球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和,即四面体的体积,所以,故选:D6.用数学归纳法证明不等式“”时,由时不等式成立,推证时,左边增加的项数是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】将和分别代入不等式的左边,二者作差,即可求解.【详解】当时,左边,而当时,左边,增加了,共项,故选:C7.已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为,单价p与产量q的函数关系式为,则当利润最大时,( )A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【分析】设利润为y,则,将条件代入,可得为关于的函数,利用导函数判断函数的单调性,进而得到取得最大值时的值.【详解】设利润为y,则,所以.则当时,;当时,,故当利润最大时,,故选:B8.观察下列各式:,,,,…,则的末尾数字为( )A.1 B.3 C.7 D.9【答案】C【分析】根据前几个数找到末位数循环的周期为,即可得答案.【详解】因为,所以末位数循环的周期为,且,所以与的末位数字相同,所以末位数字为.故选:C.9.已知函数的一个极值点为1,则( )A.6 B. C.3 D.【答案】D【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得,而,,再利用导数的定义即可求解.【详解】求导得因为的一个极值点为1,所以,解得当时,,则1是函数的一个极值点.所以,此时.因为而所以故选:D10.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示,则下列结论错误的是( )A.函数在区间单调递增 B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得极小值【答案】D【分析】根据导函数图象可知,的单调性,进而可得的极值,即可得出答案.【详解】解:根据导函数图象可知,在区间,上,,单调递减,在上,,单调递增,所以在处取得极小值,没有极大值,故正确,错误,故选:.11.甲、乙、丙三位教师分别在商洛市的商南、山阳、洛南的三所中学里教授语文、数学、英语,则依据下列说法可以判断乙工作的地方和教的学科分别是( )①甲不在商南工作,乙不在山阳工作;②在商南工作的教师不教英语学科;③在山阳工作的教师教语文学科;④乙不教数学学科.A.商南,语文 B.洛南,英语 C.山阳,数学 D.洛南,数学【答案】B【分析】根据已知进行排除,最终得出结果即可.【详解】由乙不在山阳工作,而在山阳工作的教师教语文学科,则乙不教语文学科;又乙不教数学学科,所以乙教英语学科,而在商南工作的教师不教英语学科,故乙在洛南教英语学科,故选:B.12.已知,且满足,为自然对数的底数,则( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据指数函数的性质得到,再构造函数,利用导函数研究函数的单调性判断即可.【详解】因为在上单调递增,,所以,构造函数,则,令,解得,当时,,单调递增,当时,,单调递减,因为,,即,又,所以,,,,所以,所以,,,即,所以,故A正确.故选:A. 二、填空题13.已知复数,则复数的实部与虚部之和为 .【答案】4【分析】由复数的乘法运算公式求,再算实部与虚部之和.【详解】=实部与虚部之和为故答案为:4 14.已知函数,则 .【答案】【分析】求导后计算即可.【详解】因为,所以.故答案为:15. .【答案】//【分析】利用微积分定理及相关性质和积分的几何意义来求解.【详解】其中,令,则,两边平方得:,所以表示圆心为,半径为1的圆,位于轴上方部分,故表示半径为1的圆,位于轴上方部分与轴围成的面积,所以,故故答案为:16.若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .【答案】【分析】设出切点横坐标,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得的取值范围.【详解】∵,∴,设切点为,则,切线斜率,切线方程为:,∵切线过原点,∴,整理得:,∵切线有两条,∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为: 三、解答题17.已知复数(,是虚数单位).(1)若是纯虚数,求的值;(2)设是的共轭复数,复数在复平面上对应的点位于第三象限,求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)先由复数的除法运算求得,再结合复数的类型列方程组求解即可;(2)先求出,再结合复数在复平面上对应的点位于的象限列方程组求解即可.【详解】解:(1),∵是纯虚数,∴,得.(2)∵,∴,由复数在复平面上对应的点位于第三象限,则,解得,故的取值范围为.【点睛】本题考查了复数的除法运算及共轭复数,重点考查了复数在复平面上对应的点位于的象限,属基础题.18.已知函数,(1)计算函数的导数的表达式;(2)求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据导数的运算法则求导即可;(2)根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.【详解】解: (1)因为,所以.故函数的导数;(2),,函数在上是单调增函数,所以,所以;故函数的值域为.【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.19.(Ⅰ)已知,,用分析法证明:;(Ⅱ)已知,且,用综合法证明:.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【分析】(1)只需按照欲证—只需证—已知的格式进行书写;(2)由,可得,,,相加即可.【详解】(Ⅰ)∵,,要证,只要证,只要证,即证,上式显然成立,且以上每一步均可逆,故原不等式成立.(Ⅱ)∵,∴,同理可得,,∴,∴.【点睛】本题考查利用分析法、综合法证明不等式,考查学生逻辑推理能力,是一道容易题.20.在数列中,,.(1)求,,的值,并猜想的通项公式;(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想.【答案】(1),,.猜想.(2)证明见解析 【分析】(1)分别令,由已知递推式可求出,,的值,从而可猜想的通项公式;(2)根据数学归纳法的步骤结合已知递推式证明即可【详解】(1)解:∵,,∴,,.猜想.(2)证明:①当时,,猜想显然成立;②假设当时,猜想成立,即,则当时,,即当时,猜想也成立.由①②可知,猜想成立,即.21.已知曲线在处的切线方程为.(Ⅰ)求值.(Ⅱ)若函数有两个零点,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)利切点为曲线和直线的公共点,得出,并结合列方程组求出实数、的值;(Ⅱ)解法1:由,得出,将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时,求出实数的取值范围,然后利用导数研究函数的单调性与极值,借助数形结合思想得出实数的取值范围;解法2:利用导数得出函数的极小值为,并利用极限思想得出当时,,结合题意得出,从而得出实数的取值范围.【详解】(Ⅰ),,;(Ⅱ)解法1:,函数有两个零点,相当于曲线与直线有两个交点.,当时,在单调递减,当时,在单调递增,时,取得极小值,又时,;时,,;解法2:,,当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,时,取得极小值,又时,,.【点睛】本题考查导数的几何意义,以及函数的零点个数问题,对于直线与函数曲线相切的问题,一般要抓住以下两点:(1)切点为切线和函数曲线的公共点,于此可列等式;(2)导数在切点处的导数值等于切线的斜率.22.已知函数,其中.(1)讨论的单调性;(2)若,,求的最大值.【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2) 【分析】(1),讨论或判断的单调性;(2)由题意可得:对任意恒成立,即,通过导数求的最小值.【详解】(1),当时,当恒成立,在上单调递增;当时,令,得,令,得,在上单调递增,在上单调递减,综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)依题意得对任意恒成立,即对任意恒成立,令,则,令,则在上单调递增,,当时,,即;当时,,即,在上单调递减,在上单调递增,,,故的最大值为.
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