2022-2023学年贵州省黔东南州高二下学期末文化水平测试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年贵州省黔东南州高二下学期末文化水平测试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省黔东南州高二下学期末文化水平测试数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，然后根据交集的定义求解.【详解】，根据交集的定义，.故选：A.2．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦值和角的范围求出特殊角，再求角的正切.【详解】已知，，则，所以.故选：C3．已知数列的前项和为，且满足，则（    ）A．16 B．18 C．20 D．25【答案】B【分析】利用进行计算.【详解】依题意，.故选：B4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案.【详解】由于，故,故选：C5．根据如图所示的散点图得出的经验回归方程为，则（   ）  A．2.8 B．3.2 C．3.6 D．4【答案】B【分析】计算的值，根据样本中心点在回归直线上，代入计算，可得答案.【详解】由散点图可得，故，故选：B6．函数的导函数为，若，则函数的极大值为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据导函数得到函数的单调性与极大值点，再表示出，由求出解析式，最后代入计算可得.【详解】因为，所以当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，又（为常数）且，所以，解得，所以，则，即函数的极大值为.故选：C7．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（    ）A．108种 B．216种 C．240种 D．252种【答案】D【分析】根据题意，分为：甲乙都未选中、甲选中且乙未选中、甲未选中且乙选中和甲乙都选中，四类情况讨论，结合分类计数原理，即可求解.【详解】根据题意，可分为四类：①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有种；②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有种；③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有种；④当甲乙都选中，则由中选法，先安排甲，再安排乙，若甲去了金华赛区，则有；若甲未去金华赛区，则有，则不同的安排方案有种，由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案.故选：D.8．已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及、，利用余弦定理及中线的向量关系可求得的值.【详解】  在双曲线中，，，则，根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．因为， 所，．在中，，①在中，是中点,则，两边平方可得，所以②所以,,．故选：A. 二、多选题9．下列说法正确的有（    ）A．相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强B．在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关C．决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好D．若随机变量，且，则【答案】BC【分析】由相关系数的含义判断A；根据回归分析的基本思想判断B；根据决定系数的含义判断C；根据正态分布的对称性求值计算，判断D.【详解】对于A，相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强，A错误；对于B，，说明散点图中的点沿向右上方的方向分布，并集中在某条直线附近，故在一元线性回归模型中，若，则两个变量正相关，B正确；对于C，根据回归分析的基本思想可知决定系数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C正确；对于D，随机变量，且，则，则，D错误，故选：BC10．已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则可能是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】将题干条件全部转化成关于的方程，解方程即可.【详解】由题意，，，故，即，故，由等比数列的性质，，约去得到，故，解得或或.故选：ABD11．若长方体的底面是边长为的正方形，高为，是的中点，则（    ）  A．B．C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【分析】根据向量的线性运算可先判断B选项是正确的，然后利用向量数量积计算，看其是否为，从而得出A的判断，对于C选项利用等体积法处理，对于D选项，只需求出到平面的距离即可.【详解】结合几何体可得：，故B选项正确；，结合长方体中的位置关系可知，，，，于是，即不成立，A选项错误；根据长方体中的线面关系，平面，于是，C选项正确；，，，注意到，故为直角三角形，，设到平面的距离为，由，解得，故直线与平面所成角的正弦值为，D选项错误.故选：BC12．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论，则其中正确的结论是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可判定A正确，利用基本不等式可判定B正确，构造函数，得到，化简得到，结合函数的单调性，可判定C错误；构造，结合零点的存在定理和对数的性质，可判定D正确；【详解】对于A中，由直线与垂直，又由函数和的图象关于对称，且与的交点分别为，，所以，关于对称，又由得交点坐标为所以，所以A正确；对于B中，由，因为，所以，所以B正确；对于C中，设，则，所以，由于，因为函数在为单调递增函数，所以，所以不成立，所以C错误.对于D中，直线与联立，可得，即，设函数，易知是增函数，又由，，可得，所以函数在区间上存在唯一零点，即，因为，所以，则，所以，所以D正确；故选：ABD.【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题13．已知，若，则             .【答案】【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由可得，故答案为：14．在的二项展开式中，第4项的系数为          ．【答案】【分析】先求得二项展开式的通项公式，再求第四项的系数.【详解】的二项展开式通项公式为：，所以第4项为：，所以第4项的系数为故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则          .【答案】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，表示出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径求的值.【详解】圆，圆心，半径，抛物线的焦点坐标为，依题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由直线与圆相切，有圆心到直线距离等于半径，即，解得.故答案为：.16．在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为            .【答案】【分析】依题意可得，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将角化边即可求出，结合正弦定理将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出最大值.【详解】因为，，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（负值舍去），根据正弦定理，可得，，所以，其中，因为，当时，的最大值为.故答案为： 四、解答题17．已知等差数列满足：①，②成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知条件列方程组求出数列的首项与公差，可求通项公式；（2）由数列的通项，利用裂项相消法求前项和.【详解】（1）设等差数列公差为，依题意有，解得，所以.（2），.18．在四棱锥中，底面是矩形，分别是棱的中点.  (1)证明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接、，即可证明，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）如图，取中点，连接、，根据题意，因为点为中点，所以且，又因为四边形为矩形，为的中点，所以且  所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，显然二面角为锐二面角，设其平面角为，则，所以二面角的余弦值为.19．黔东南州某高中举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图：  (1)求出的值并计算这1000名学生的平均得分；(2)若成绩不低于80分的为“优良”，①请补充完善下面列联表，②依据的独立性检验，能否认为这次党史知识竞赛男女生的优良率存在差异？性别党史知识竞赛成绩合计非“优良”“优良”男  500女280  合计   参考公式：，其中.参考数据：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)(2)列联表见解析；能 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，列式计算，求得x的值；根据平均数的计算方法可求得平均数；（2）由频率分布直方图可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论.【详解】（1）由频率分布直方图可得，则；这1000名学生的平均得分为.（2）由题意可得列联表：性别党史知识竞赛成绩合计非“优良”“优良”男320180500女280220500合计600400100则，故依据的独立性检验，能认为这次党史知识竞赛男女生的优良率存在差异.20．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.歌曲猜对的概率0.60.50.3获得的公益基金额/元100020003000(1)该嘉宾从三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率.(2)若猜歌名的规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额的分布列及均值.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据全概率公式计算可得；（2）依题意的可能取值为、、、，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【详解】（1）分别用、、表示猜对歌曲、、歌名的事件，则、、相互独立，用表示事件“该嘉宾从、、随机选择一首歌曲，且猜对歌名”，用表示事件“该嘉宾选择歌曲”， 用表示事件“该嘉宾选择歌曲”，用表示事件“该嘉宾选择歌曲”，则，，，，所以.（2）依题意的可能取值为、、、，所以，，，，所以的分布列如下：所以.21．已知直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于不同两点，当直线分别与轴、轴垂直时，线段的长分别为2、4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作轴的垂线交椭圆于点（异于点），直线与轴交于点，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意可得、，即可求出、，从而得解；（2）依题意直线的斜率存在且不为，设，，，则，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再表示出直线的方程，从而求出点坐标，根据椭圆的性质求出面积的最大值.【详解】（1）依题意，即，在中，令得，所以，则，所以椭圆的方程为.（2）依题意直线的斜率存在且不为，设，，，则，由，消去整理得，显然，所以，，所以，所以，所以直线的方程为，令得，所以点的坐标为，即直线恒过定点，所以当点位于椭圆的上、下顶点时的面积最大，此时.  【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，设，求证：函数存在极大值点，且.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可判断函数单调性；（2）求出函数的导数，由此构造函数，利用导数判断其单调性，确定函数的极值点，并判断其范围，进而化简的表达式，即可证明结论.【详解】（1）由函数的定义域为，则，当时，，在上单调递减；当时，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；故当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，故；故当时，，则，令，则，仅当时等号成立，故在上单调递增，且，即存在唯一，使得，当时，；当时，；则当时，；当时，，当时，，即在单调递增，在单调递减，在单调递增，故函数存在极大值点，即为；由，即，故，由于，故，且，即.【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用问题，涉及到判断函数的单调性以及函数极值问题，解答的难点在于第二问证明不等式，解答时要注意零点问题的解决，并判断零点.