2022-2023学年贵州省六盘水市高二下学期期末教学质量监测数学试题含答案

2022-2023学年贵州省六盘水市高二下学期期末教学质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数的值为（    ）

A．或3 B． C．3 D．或3或6

【答案】A

【分析】根据子集关系结合集合中元素的互异性即可求解.

【详解】由得，所以或，

故选：A

2．已知复数（是虚数单位，，），则（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数相等的充要条件可得，进而利用复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.

【详解】由得，

所以，

故选：B

3．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A．1 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由共线向量基本定理求解.

【详解】由题意，由，得，

解得，选项A正确.

故选：A

4．已知一个球的体积与表面积的数值之比为2∶1，则其半径（    ）

A．12 B．6 C．3 D．

【答案】B

【分析】由球的体积和表面积公式即可求解.

【详解】球的体积为，表面积为，

依题意有，即，解得.

故选：B

5．红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”．据统计，六盘水市某种植基地红心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布，则单果重量在的概率约为（    ）（附：若，则，，）

A．0.9545 B．0.6827 C．0.2718 D．0.1359

【答案】D

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.

【详解】根据正态分布可知，

所以,

故选：D

6．第八届中国凉都·六盘水夏季马拉松将于2023年7月16日在六盘水市开跑．本次赛事以“清凉马拉松·激情六盘水”为主题，设有马拉松（42.195公里）、半程马拉松（21.0975公里）、大众健身跑三个项目．现从六盘水市某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务一个项目，每个项目至少安排一个志愿者，则不同的分配方案有（    ）种．

A．12 B．24 C．36 D．72

【答案】C

【分析】按先分组再分配的方法求解即可.

【详解】可将这4名志愿者先分成3组，每组至少1个志愿者，共有种分法，

再将这3组志愿者分配给三个项目，每个项目分配1组志愿者，共有种分配法，

故不同的分配方案有种.

故选：C

7．已知数列的前项和（为常数），则“为等比数列”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】因为数列的前项和（为常数），

所以当时，，

当时，，

若数列为等比数列，则，解得，

当时，，满足，此时数列是以6为首项，3为公比的等比数列，

所以“为等比数列”是“”的充要条件，

故选：C

8．已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点，若的面积为，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】联立方程得根与系数的关系，求导得切线方程，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积.

【详解】由得，．

因为，，，故．

由，则，抛物线经过点的切线方程是，

将代入上式整理得，同理得到抛物线经过点的切线方程是．

解方程组得，所以．

所以到直线的距离，

的面积，

所以

故选：A

二、多选题

9．已知数列，，下列说法正确的有（    ）

A．若是等差数列，则 B．若，，则为等比数列

C．若，则为递减数列 D．若是等比数列，且公比，则

【答案】AB

【分析】由等差数列的通项公式即性质判断选项A、C；由等比数列的定义及性质判断选项B、D.

【详解】若是等差数列，

由，得，故选项A正确；

若，，则，

由等比数列的定义可知为等比数列，故选项B正确；

若，则为首项为4，公差为3的等差数列，是递增数列，

故选项C错误；

若是等比数列，且公比，但首项时，，

故选项D错误.

故选：AB

10．下列说法正确的有（    ）

A．若变量关于的经验回归方程为且，，则

B．若随机变量，则

C．在回归模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好

D．若随机变量的方差，则

【答案】AC

【分析】根据回归直线经过样本中心即可判断A，根据二项分布的期望公式即可判断B，根据决定系数的定义即可判断C，根据方差的性质即可判断D.

【详解】对于A,将，代入得，故A正确，

对于B, ,则，故B错误，

对于C，在回归模型中，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，故C正确，

对于D，,故D错误，

故选：AC

11．现有来自某校高三年级的3袋专项计划审查表，第一袋有4个男生和2名女生的高校专项审查表，第二袋有5名男生和3名女生的国家专项审查表，第三袋有3名男生和2名女生的地方专项审查表．现从3袋中随机选择一袋，再从中随机抽取1份审查表，设“抽到第袋”（，2，3），“随机抽取一份，抽到女生的审查表”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】对于选项A和B，利用古典概率公式即可判断出结果的正误；对于选项C，利用条件概率公式即可求出，从而判断出结果的正误；选项D，先求出，，，再利用全概率公式即可求，从而判断出结果的正误.

【详解】选项A，易知，故选项A正确；

选项B，因为，故选项B错误；

选项C，因为，所以，故选项C正确；

选项D，因为，，，

所以，

故选项D正确.

故选：ACD.

12．若，，，则（        ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】记，，利用导数判断函数的单调性，从而可得，， ，由此能判断，，的大小关系．

【详解】记则，所以在单调递增，

故，

记，则，

令，解得，故在上单调递减，

故,即，即，

故，

记，

则，

故当时，，故在上是增函数，

故，即，故，

故，

故选：BD

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式大小问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

三、填空题

13．已知的展开式中，各项系数之和为243，则二项式系数之和为            ．

【答案】32

【分析】令可得展开式各项系数之和，即可求出，从而得到其二项式系数之和.

【详解】令可得的展开式中，各项系数之和为，解得，

所以二项式的展开式中，二项式系数之和.

故答案为：

14．已知圆：，直线：，则圆上的点到直线的距离最小值为            ．

【答案】/

【分析】由圆心到直线的距离减去半径可得结果.

【详解】由，得圆心，半径，

圆心到直线的距离，

所以圆上的点到直线的距离最小值为.

故答案为：.

15．已知，其中，则            ．

【答案】

【分析】设，结合，两式平方相加，化简即可得答案.

【详解】因为，所以，

设①

②，

①的平方与②的平方相加可得：

，

解得，因为，

所以，即，

故答案为：

16．若有且只有1个零点，则实数            ．

【答案】

【分析】先讨论函数的零点情况，再由，令得，结合的零点情况即可求解.

【详解】设，则，

①当时，显然恒成立，无零点；

②当时，令，得，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以恒成立，无零点；

③当时，，令，得，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以恒成立，当且仅当时取等号，有唯一零点；

④当时，时，，单调递减，

时，，单调递增，

由③可知，即恒成立，可得，即恒成立，

所以，

又因为，，

所以分别在，上存在唯一零点，此时共有两个零点；

综上所述，当时，无零点；

当时，有唯一零点为1；

当时，有两个零点.

令，得，

即，令，则，

因为有且只有1个零点，由上分析可知，

只有且方程只有一个实根满足题意，即有唯一实根，

令，，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以恒成立，当且仅当时，

所以只有时满足题意.

故答案为：

四、解答题

17．已知的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求；

(2)若，且，，成等差数列，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可求出，再根据的范围即可得到答案；

（2）根据等差数列定义得，再利用正弦定理进行角换边得，结合余弦定理即可求出，最后即可求出周长.

【详解】（1）由，得，

又由，得，

所以或，因为，

所以，所以．

（2）因为，，成等差数列，

所以，

由正弦定理可得：

①

由余弦定理可得：

②

由①②可得，

所以

所以.

所以的周长为．

18．“村”后，贵州“村超”又火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事——榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．为了解外地观众对“村超”赛事的满意度，从中随机抽取了200名进行调查，得到满意率为80%．

(1)根据所给数据，完成2×2列联表；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？

附，．

【答案】(1)答案见解析

(2)小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．

【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求.

（2）计算卡方，与临界值比较即可求解.

【详解】（1）成2×2列联表如下

（2）零假设：性别与满意度无关联

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．

19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．

(1)求的标准方程；

(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将已知点代入方程，再由离心率的定义可求方程；

（2）因为直线过原点，设，，，由斜率公式化简可得.

【详解】（1）依题意得：

，

解得．

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为直线过原点，设，，．

所以，，

所以

又因为，，

所以

所以是定值．

20．如图，在长方体中，，，点在长方体内（含表面）且满足．

(1)当时，证明：平面；

(2)当时，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在， 点为的中点

【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而得到点在，即可得到，从而得证；

（2）依题意可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以点在，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为，

所以，

所以，

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，．

所以，，，，

，

设平面的法向量为，则，所以，

取，则，所以平面的一个法向量为．

又因为直线与平面所成角的正弦值为，

所以

所以，解得或，

因为点在长方体内，所以，所以，

所以，存在点为的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知函数的最小值为1．

(1)求实数的值；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）函数的定义域为，且，

当时，，则函数在上单调递增，不存在最小值．

当时，令，则，

所以时，；时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

设，

则，

令，即；令，即，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又，所以.

（2）由（1）知，所以，

令，则，

所以，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

又，

所以，即，

由（1）知，，且当时等号成立，

所以，当时等号成立，

所以，此时.

22．已知数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可得答案；

（2）由（1）可知，设的前项和为，利用错位相减可得，再求出等比数列的前项和可得答案.

【详解】（1）当时，；

当时，

所以，

又，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以；

（2）由（1）可知，

设的前项和为，则

，

，

两式相减得，

，

，

两式相减得，

，

，

又因为的前项和是，

所以．