2022-2023学年河北省邢台市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省邢台市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】设切点为，然后表示出切线方程，再将代入可求出，然后将代入导函数中可求得结果.

【详解】设切点为，由，得

所以切线方程为，即，

将代入得，解得，

所以切线的斜率为.

故选：C

2．已知随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正态分布的对称性和概率和为1可解.

【详解】由，可得，.

故选：A

3．等比数列满足，，则（    ）

A．56 B． C． D．112

【答案】D

【分析】根据等比数列的定义解决问题.

【详解】由题意知，解得，故.

故选：D.

4．8人序号为1，2，3，…，8，从前往后依次排一列，将6，7，8号拉出来插到前面队列中，5号成为末尾，且原来1，2，3，4，5号前后相对次序不变，不同的排法种数为（    ）

A．240 B．210 C．72 D．35

【答案】B

【分析】利用排列组合知识或根据分步计数原理求解.

【详解】方法一：等同于设好8个位置，最后一个位置排5号，然后剩余7位置选三个排6，7，8号，排法有种，最后1，2，3，4号前后相对次序不变排入剩余4位置中，由分步计数原理可知不同的排法种数为210种；

方法二：根据分步乘法计数原理，先排6号，共有5种方法，再排7号，有6种方法，最后排8号，有7种方法，故共有种排法.

故选：.

5．展开式中的常数项为（    ）

A．6 B．15 C．20 D．28

【答案】C

【分析】先将变形，然后转化为求展开式中的系数即可.

【详解】因为，

所以展开式中的常数项即分子展开式中的系数，即.

故选：C

6．将7名同学分为3组，人数比例为，星期日派往3个地方参加义务劳动，则不同的派法种数为（    ）

A．210 B．105 C．630 D．1260

【答案】C

【分析】根据人数比例为分组分配求解即得.

【详解】解：.

故选：C

7．函数的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值.

【详解】函数的定义域为,

且，

因为，所以，

当时，，即在上单调递减，

当时，，即在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，

故的最小值为.

故选：B

8．数列单调递减，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用数列单调递减，可知，可化为，再判断数列

的单调性，即可求出的取值范围.

【详解】∵数列单调递减，∴，

∴，

则，

令，，令，可知在区间上单调递增，则数列为单调递增数列，

对所有的正整数都成立只需时，成立，

即，解得，

∴的取值范围是，

故选：C.

二、多选题

9．一组数据：1，2，4，4，7，10，14.则下列各选项正确的是（    ）

A．该组数据的中位数为4 B．该组数据的平均数为6

C．该组数据的极差为14 D．该组数据的方差为

【答案】ABD

【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的定义求解即可.

【详解】对于A，由中位数的定义可知该组数据的中位数为4，故A正确；

对于B，平均数为，故B正确；

对于C，该组数据的极差为，故C错误；

对于D，方差为 ,故D正确,

故选：ABD.

10．等差数列的前项和为，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于BC选项，结合题干条件，等差中项性质，等差数列的求和公式判断；对于AD选项，根据反证法说明其错误性即可.

【详解】，

根据等差中项可得，，则，B选项正确；

又，C选项正确；

若，注意到，

即，设等差数列的公差为，

于是，

此时等差数列为常数列，设，由，可得，则，

这是不一定的，A选项错误；

若，根据B选项，，故，故，

结合C选项分析可知D选项错误.

故选：BC

11．已知函数，，则下列各选项正确的是（    ）

（参考数据：）

A．在上单调递增

B．有且仅有两个零点

C．，

D．若有两解，，则

【答案】ABC

【分析】利用导数求解导函数的单调性即可判断A，结合零点存在性定理以及导数即可判断BC,利用对数均值不等式即可判断D.

【详解】，记则，

当单调递增，当单调递减，故，故在上单调递增，A正确；

在上单调递增，在上单调递减，

故上单调递增，且，

由零点存在性定理可知在有且仅有1个零点，

在上，，即，

设，，

当单调递增，当单调递减，

当时，取得最小值，故在上，有且仅有1个零点，故B正确；

令，，，

故在上有零点，C正确；

，，，

两式相减得，即，

记，则，故在单调递减，

故,因此，

设则，

所以

因此，则，故D错误.

故选：ABC

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

12．已知均为正数，且满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由，结合基本不等式可知A正确；通过反例可说明B错误；将已知不等式变形后可得，利用基本不等式可求得C正确；利用已知不等式进行放缩可求得的范围，由此可得D正确.

【详解】对于A，，

（当且仅当时取等号），

，A正确；

对于B，当时，满足，，此时，B错误；

对于C，由得：；由得：；

，又（当且仅当时取等号），

，C正确；

对于D，，，；

，，；

，D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据已知不等关系判断所给不等式的正误，解题关键是能够将已知不等式进行合适的等价变形，结合放缩法和基本不等式来进行判断.

三、填空题

13．已知向量，满足，，，则      .

【答案】7

【分析】根据已知条件对平方化简计算，然后再开方即可.

【详解】因为，，，

所以，

所以.

故答案为：7

14．，其中，则      .

【答案】

【分析】在等式中，令，结合已知条件可求得的值，然后在等式中令，可求得所求代数式的值.

【详解】当时，，即，则，

取，则有.

故答案为：.

15．已知，，，则，，的大小关系是            .（用“”连接）

【答案】

【分析】利用换底公式，结合指数幂运算与对数函数的性质判断即可.

【详解】因为，所以，

因为，则，所以，

综上：.

故答案为：.

16．如图，正方体的棱长为2，，，，分别为，，，的中点，沿平面，，，截去4个小三棱锥，则多面体的外接球表面积为      .

【答案】

【分析】由题意可知球心在MN上，构造直角三角形列式求解即可.

【详解】设正方形的中心为，正方形的中心为，

连接，则多面体外接球的球心在上.

设该几何体外接球的半径为，，则，

连接,,,,

在△中，,在△中，,

则，解得，

故，.

故答案为：.

四、解答题

17．西部某村在产业扶贫政策的大力支持下，用2000亩地发展中药材的种植，中药材的平均亩产量（单位：千克/亩）主要是开花结果时节，受当地7月底~8月初的平均气温（单位：℃）的影响，下表是该村所在县20年来当地7月底~8月初的平均气温.

在当地7月底~8月初的平均气温的影响下，中药材的平均亩产量如下表.

将上表平均亩产量的频率作为概率.若中药材的平均亩产量不低于30千克/亩，则称为“高产量”，计划种植3年中药材，设这3年中药材获得“高产量”的年数为.

(1)求的分布列；

(2)求的数学期望及方差.

【答案】(1)分布列见解析；

(2).

【分析】（1）先根据图表计算每年药材获得“高产量”的概率，因为3年中药材获得“高产量”的年数，再根据二项分布的概率公式分别求出的概率，列出分布列即可；

（2）根据数学期望和方差的计算公式求解.

【详解】（1）计划种植3年中药材，这3年中药材获得“高产量”的年数的可能取值为，

每年中药材获得“高产量”的概率为，

则，

，

，

，

的分布列为

（2）由题意知，则，.

18．已知函数在时取得最大值.

(1)求；

(2)在中，内角的对边分别为，且，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据辅助角公式先确定函数的最大值，然后代入计算；

（2）先求出，然后根据余弦定理，结合二次函数的性质求解.

【详解】（1），

其中，，故为的最大值，

故，解得.

（2），

，

由，故只有，

由余弦定理及，得，

所以，当且仅当，时，取得最小值.

19．已知数列的前项和为，且，.

(1)证明：为等比数列；

(2)若，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先计算时，当时，分析并化简，从而可得，利用等比数列的定义可判断得数列是首项为，公比为的等比数列；

（2）由（1）可得，再计算时，当时，计算得，经检验满足后得数列的通项公式，从而表示出数列，并利用裂项相消法求数列的和.

【详解】（1）证明：当时，，

当时，

，

故是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）知，当时，，

当时，，

且满足，

故对恒成立，

所以

故

.

20．乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”.有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，打100个球，若有大于90个打到对方球台的指定位置，则称为“优秀”，否则称为“一般”，在练球时，打球动作有“规范动作”和“不规范动作”两种，且在接受训练的学员中，将训练满10次而不满20次记为1组，训练满20次而不满30次记为2组，如此，，训练满次而不满次记为组.某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在“规范动作”和“不规范动作”的两群体中，在组数15组中各随机抽取10人，即两群体中各抽取50人，进行测试得出的关于“优秀”、“一般”的表1和表2如下.表1：

有“规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）

表2：有“不规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）

(1)填写以下表格，依据小概率值的独立性检验分析，推断“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”是否有关.

(2)在有“规范动作”的学员测试结果中，表示组数，表示“优秀”个数，由表1求平均值和及关于的经验回归方程.

参考数据及公式：，.

，，，.

【答案】(1)表格见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”有关

(2)，

【分析】（1）由题意完善表格，求出与所给数据比较即可得出答案；

（2）先求出，再由公式求出，，即可求出关于的经验回归方程.

【详解】（1）填写的表格如下.

因为，

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”有关.

（2），

，

故所求经验回归方程为.

21．椭圆的两焦点为，，且椭圆过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)是坐标原点，是椭圆上两点，是平行四边形，求以为直径的圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点坐标求得椭圆的方程；

（2）根据点差法求出直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长得到圆的直径，以的中点为圆心，得出圆的方程.

【详解】（1）

，

则，又，所以，故椭圆的方程为.

（2）的中点为，设，，

则，，

两式相减整理得，其中，

，，

故，则.

故的方程为，即，

代入椭圆方程整理得

得，，所以，

故所求圆的方程为.

22．已知函数.

(1)若为增函数，求；

(2)若，有两个零点，，且，证明：.

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件找到函数的极值点，利用可导函数的的极值点必是导数为零的点列方程求解即可；

（2）由已知得，构造函数，使得，找到时函数的零点，利用两个函数零点的的关系建立不等式证明即可.

【详解】（1）恒成立，

而，故是的最小值，即是函数的极小值点，

令，则，

故，则，即，

检验知符合题意，故.

（2）证明：当时，，

令， ，令解得，

由于，则，

构造函数，则，

故为增函数，，即，

所以，

当时，有唯一零点，

故，

即，

所以，

，故.

【点睛】解决含参数的极值点偏移问题通常用构造函数的方法来解决.