2022-2023学年河北省武强中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河北省武强中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断.

【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，

故选：B.

3．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．设函数,

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【详解】.故选C.

5．函数在的图像大致为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．

【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】因为函数的定义域为，对于函数，

则有，解得或.

因此，函数的定义域为.

故选：A.

7．已知函数，且关于的方程有两个实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，当时，，由题意可得，函数与直线有两个交点，数形结合求得实数的范围．

【详解】当时，，当时，．

所以，由图象可知当要使方程有两个实根，

即函数与直线有两个交点，所以，由图象可知，

故选：A．

【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

8．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【详解】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

二、多选题

9．下列四组函数中，不表示同一函数的一组是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的定义域、值域、对应关系等知识确定正确答案.

【详解】A. ，这两个函数的定义域不相同，所以不表示同一函数.

B.，且定义域相同，两个函数表示同一函数.

C.对于，故，所以的定义域是，

而的定义域是，所以不表示同一函数.

D.的定义域是，的定义域是，所以不表示同一函数.

故选：ACD

10．下列叙述中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．已知，则“”是“”的必要不充分条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】ABC

【分析】根据自然数集的定义判断A，根据交集、并集的定义判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，根据全称量词命题的否定判断D；

【详解】解：对于A：因为，所以且，故A正确；

对于B：根据，所以且，所以，故B正确；

对于C：由，即，即，即，

当时，，，，所以，即，故必要性成立，

由不一定得到，如时也成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对于D：命题“，”的否定是“，”，故D错误；

故选：ABC

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.

12．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（   ）

A．当时，

B．的图像关于点对称

C．

D．函数有3个零点

【答案】CD

【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定选项A和C正确，对于选项B，先假设成立，从而得到，再利用函数性质可得出结论不成立，进而判断B选项错误，结合图像可得选项D正确，

【详解】已知是定义在上的偶函数，且，所以，即该函数周期为4，

选项A，因为时，，

当时，，，所以A选项错误；

选项B，假设的图像关于点对称，则，

又因，与矛盾，所以选项B错误；

选项C，因为，所以C选项正确；

选项D，如图作出函数的图像，

由图即可得到，函数有个零点，所以D选项正确.

故选：CD.

三、填空题

13．已知函数是偶函数，则         .

【答案】

【分析】根据偶函数的性质进行判定求解.

【详解】因为函数是偶函数，且定义域为,

所以,

恒成立，

.

故答案为：2.

14．设，，若，则实数组成的集合     ．

【答案】

【分析】先求出A的元素，再由B⊆A，分和B≠φ求出a值即可.

【详解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，

∴A＝{3，5}

又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，

∴①时，a＝0，显然B⊆A

②时，B＝{}，由于B⊆A

∴

∴

故答案为{}

【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．

15．已知, 则的解析式为         .

【答案】

【分析】利用换元法设t2（t≥2），则t﹣2，代入求出即可．

【详解】设t2（t≥2），则t﹣2，即x＝（t﹣2）2，

∴f（t）＝（t﹣2）2+4（t﹣2）＝t2﹣4，

∴f（x）＝x2﹣4（x≥2）．

【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题．

16．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则的取值范围是      .

【答案】

【解析】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，构造函数，，可知，函数与的图象有个交点，分和两种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，

令，，

则函数与的图象有个交点.

当时，函数的零点为，如下图所示：

此时，函数与的图象有个交点，合乎题意；

当时，函数的零点为，

则函数与在轴左侧的图象没有交点，

所以，函数与在轴右侧的图象必有个交点，

则直线与有两个交点，联立，可得，

则方程在上有两个不等的实根，可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

四、解答题

17．已知指数函数（且）经过点.

(1)求的解析式及的值；

(2)若，求x的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将点代入到，解得a的值，即可求出解析式，由此可求出的值；

（2）根据指数函数为增函数，转化为不等式，解之即可.

【详解】（1）因为（且）经过点，

所以，所以，

所以，

所以；

（2）因为，即，

又在R上为增函数，

所以，

∴x的取值范围为：.

18．已知全集，集合，.

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   （2）

【分析】（1）先确定集合的元素，然后按集合运算法则计算；

（2）则有，然后分和讨论。

【详解】解：（1）若，则，

则；

则；

（2）若，

则，

①若，即，得，此时满足条件，

②当，则满足，得，  

综上．

【点睛】本题考查集合的运算，考查集合间的包含关系。在集合包含关系中要注意空集是任何集合的

子集，因此要分类讨论。

19．已知，为常数，

(1)若是的充要条件，求的值；

(2)若是的必要不充分条件，求的范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）化简得，，是的充要条件则，即可列式求解；

（2），是的必要不充分条件，则真包含于，即可列式求解

【详解】（1）由得，

由得，

故若是的充要条件，则；

（2），若是的必要不充分条件，即真包含于，则有或，即或，

故的范围为

20．已知是定义在上的偶函数，且时，.

（1）求；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【分析】（1）根据偶函数定义及时的解析式，即可求得的值．

（2）令，结合偶函数定义可求得的解析式，进而写出整个定义域内的解析式．

（3）根据函数单调性及，解关于的不等式即可得的取值范围．

【详解】（1）∵ 是定义在R上的偶函数， 时，，

∴

；

（2）令，则 ，

∴ 时， ，

则．

（3）∵在 上为增函数，

∴ 在 上为减函数

∵

∴ ，

∴或

【点睛】本题考查了函数奇偶性的定义，根据奇偶性求函数解析式，根据单调性求参数取值范围，属于基础题．

21．设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（0）；

（2）证明f（x）是奇函数；

（3）解不等式f（x2）—f（x）＞f（3x）．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5}

【详解】试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等的解集即可．

试题解析：（1）令，得，

∴

定义域关于原点对称

，得，

∴∴是奇函数

，

即

又由已知得：

由函数是增函数，不等式转化为

∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．

【解析】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．

【方法点睛】解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；

2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；

3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；

4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；

5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；

6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；

7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：

22．设函数．

(1)解不等式；

(2)已知对任意的实数恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据的范围分类讨论，由函数单调性解不等式

（2）由题意得出的单调性，转化为不等式恒成立问题

【详解】（1）当时，

由，得，

解得，即；

当时，

由，得，解得，即．

综上可知，．

（2）由于，

且恒成立，可知为增函数．

，

即，

则有在上恒成立，

即在上恒成立，

令，设

在上单调递增，

则，即．

又由于时，恒成立，

解得：，

综上，．