2022-2023学年河北省保定市六校联盟高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年河北省保定市六校联盟高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】先求解得出，进而根据集合的交集运算，得出答案.

【详解】由已知可得，，

解可得，，所以，

所以，.

故选：C.

2．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若，则，所以，故充分性成立；

若，不妨令，，此时，，满足，

但是，故必要性不成立；

故“”是“”的充分不必要条件．

故选：B

3．函数的图像如图所示，则的解析式可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，根据图像从奇偶性，定义域等去逐个分析判断即可

【详解】选项B，是奇函数，所以不正确；

选项C，当时，，所以不正确；

选项D，定义域为，所以不正确；

故选：A．

4．已知x，y的对应值如下表所示，若y与x线性相关，且回归直线方程为，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据回归直线必定过样本中心，建立方程，可得答案.

【详解】，，

又回归直线方程为，所以，解得．

故选：B．

5．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，（代表万位，千位，百位，十位，个位依次为a，b，c，d，e）其中满足的五位数有n个.则在的展开式中，的系数是（    ）

A．56 B．35 C．20 D．84

【答案】B

【分析】利用组合数求得，再根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.

【详解】因为，所以，剩下4个数有种排法，

所以满足的五位数有6个，即，

所以，

其展开式中，含的系数为.

故选：B.

6．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有

A．72种 B．108种 C．36种 D．144种

【答案】D

【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．

【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，

再与另一个男生排列，则有种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，

利用分步乘法原理，共有种.

故选：D．

【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．

7．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案.

【详解】因为，所以,

因为，所以，

所以,

．

故选：A.

8．若不等式在有解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先得到，不等式变形得到，换元后令，问题转化为存在，使得，求导后得到的单调性，结合，得到当时，，比较端点值得到答案.

【详解】由有意义可知，，

变形为，

即，

令，即有，

因为，所以，

令，问题转化为存在，使得，

因为，

令，即，解得，

令，即，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，

而，所以当时，，

若存在，使得成立，只需且，

解得.

故选：D

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

二、多选题

9．已知正数，满足，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值8

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】ACD

【分析】A由即可确定最大值；B利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；C将代入，利用基本不等式即可求最小值；D将代入，结合二次函数的性质求最值.

【详解】A：，则当且仅当，时取等号，正确；

B：，当且仅当时取等号，错误；

C：，当且仅当时取等号，正确；

D：，故最小值为，正确.

故选：ACD

10．若则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】令，则，再利用赋值法判断A、C，利用展开式的通项判断B，对式子两边求导，再利用赋值法判断D.

【详解】因为，

令，则，

令，可得，故A错误；

令，可得，

令，可得，

两式相加可得，

所以，故C正确；

将两边对求导可得，

再令，可得，故D错误；

二项式展开式的通项为，所以，故B正确；

故选：BC

11．下列命题中正确的为（    ）

A．随机变量，若，，则

B．若将一组数据中的每个数据扩大为原来的2倍，则方差也扩大为原来的2倍

C．随机变量，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大

【答案】ACD

【分析】根据二项分布的计算公式判断即可判断A；利用方差的性质即可判断B；利用正态分布的对称性求值即可判断C；利用二项分布的概率公式计算即可判断D．

【详解】对于A，因为，且，，所以，选项A正确；

对于B，若将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍，则方差随之扩大为原来的4倍，选项B错误；

对于C，因为，且，

所以，选项C正确；

对于D，因为，

所以，，

令，解得，

因为，所以，即时，概率最大，选项D正确．

故选：ACD．

12．已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据，故，利用的对称性结合赋值法可求及，故可判断A的正误，又我们可以得到，赋值后可求，故可判断B的正误，最后再结合的对称性可得的值，故可判断CD的正误.

【详解】因为为奇函数，所以 ①，

的图象关于点对称，则．

而，则，A正确．

因为为偶函数，所以，则，即，

故的图象关于原点对称，．

因为，所以，

，B错误．

因为的图象关于点对称，所以，C正确．

又，

故的图象关于点对称，所以 ②．

由①②可得即，

所以，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．已知奇函数，则      .

【答案】7

【分析】结合分段函数以及函数的奇偶性，求出时，的解析式即可求出结果.

【详解】当时，，，又因为函数是奇函数，所以.

所以.

故答案为：7

14．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则        ．

【答案】

【分析】由点在曲线上得出，切线过点，，得出切线的斜率为，即，继而得出结果.

【详解】因为点在曲线上，

所以，即．

因为切线过点，，

所以这条切线的斜率为．

设，则，

，解得．

故答案为：

15．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是      ．

【答案】266

【分析】这是一道有限制的分配问题，先将6支救援队分成三组，再分到A，B，C三个受灾点，利用排列、组合进行计算求解，再减去不满足的情况数.

【详解】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A，B，C三个受灾点，

共有种不同的安排方法，

其中甲、乙去同一个地方的有种，

所以有N1＝30－12＝18种不同的安排方法；

若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A，B，C三个受灾点，

共有种不同的安排方法，

其中甲、乙去同一个地方的有种，

所以有N2＝240一64＝176种不同的安排方法；

若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A，B，C三个受灾点，

共有种不同的安排方法，

其中甲、乙去同一个地方的有种，

所以有N3＝90－18＝72种不同的安排方法．

故共有N＝N1＋N2＋N3＝266种不同的安排方法．

故答案为：266.

16．对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“准奇点”．已知函数，若函数存在5个“准奇点”，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】由题意可得：，所以是函数的一个“准奇点”，其余还有两对，函数

关于原点对称的图象恰好与有两个交点，即

有两个正根，即有两个正根，构造函数求导判断单调性即可求解.

【详解】因为，所以是函数的一个“准奇点”．

若函数存在5个“准奇点”，原点是一个，其余还有两对，

即函数关于原点对称的图象恰好与有两个交点，

而函数关于原点对称的函数为，

即有两个正根，即有两个正根，

令，，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，当无穷大时，无穷大，

所以，所以

实数的取值范围为，

故答案为：

四、解答题

17．已知命题：“，不等式恒成立”为真命题．

(1)求实数取值的集合；

(2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，设，由恒成立可知，利用二次函数的性质结合条件即可求解；

（2）根据题意，分析可得是的真子集，化简得，利用真子集的关系即可求解.

【详解】（1）法一：设，

若，恒成立，则，

解得或，

即；

法二：设，

则的对称轴为，

，

当时，，

或，或，

当时，，

或.

综上所述，；

法三：，

当时，，

恒成立，

，

当时，，

恒成立，，

综上所述，.

（2）根据题意，

若是的必要不充分条件，则是的真子集，

，

，

或，或.

.

18．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．

附参考数据：若，则①；②；③．

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析；期望为

【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；

（2）依据，利用正态分布的对称性计算即可；

（3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.

【详解】（1）根据频率分布直方图得：

．

（2）由题意知，即，

所以．

（3）由题意可知，和的频率之比为：，

故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，

随机变量的取值可以为，

，，

，，

故的分布列为：

所以.

19．已知．

(1)求的单调区间；

(2)若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．

【答案】(1)的单调减区间为，的单调增区间为

(2)

【分析】（1）求导函数，利用导数的正负求解函数的单调性；

（2）先求导函数则有两个不等的正根，可得，令，构造函数，利用函数的单调性求解即可.

【详解】（1），（x＞0），令，则，

当时，，的单调减区间为．

当时，，的单调增区间为．

综上所述，的单调减区间为，的单调增区间为．

（2），，（x＞0），

∵，为两个极值点，∴有两个不等的正根，，

∴，，，，得，

，

令，（t＞1），得，

，因为t＞1，则，则，

∴在（1，＋∞）单调递减，∴，

即的取值范围为．

20．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

(1)求b、c、e、f、n的值，并依据小概率值的独立性检验，能否认为球队胜利与甲球员参赛有关；

(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2、0.5、0.2、0.1，当乙球员出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4、0.2、0.6、0.2．

①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；

②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；

③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？

附表及公式：

，其中．

【答案】(1)，，；认为球队胜利与甲球员参赛有关；

(2)①0.32；②；③应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次．

【分析】（1）利用卡方计算公式代入数据判断即可；

（2）利用条件概率和全概率公式计算即可.

【详解】（1）由列联表中的数据可得，，，

零假设：球队胜利与甲球员参赛无关，

，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为球队胜利与甲球员参赛有关．

（2）①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，

则

；

故球队某场比赛输球的概率为0.32.

②；

故在球队输了某场比赛的条件下，乙球员担当前锋的概率为.

③因为，

，

，

所以，

所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次．

21．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；

(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；

(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可；

（2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可；

（3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可.

【详解】（1）用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”.

依题意知，事件A和事件B相互独立，

因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为.

（2）用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件.

由于，，，之间相互独立，

所以与（i，，且）之间也相互独立.

由于，

所以，

故

.

所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.

（3）用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，

则，且与是互斥事件.

由于，，，之间相互独立，

所以与（i，，且）之间也相互独立.

因为，

所以，

故

.

所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.

22．已知函数.

(1)若，判断在上的单调性；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)函数在上单调递增

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，判断与的正负，即可判定函数单调性；

（2）求得，，再分，两种情况讨论求解即可.

【详解】（1），

∵，∴，，∴，

∴当时，，∴函数在上单调递增.

（2）由题意得，，，则.

令，则，∴，.

（ⅰ）当，即时，令

，∴在上单调递增，则，

∴在上单调递增，∴，∴符合题意；

（ⅱ）当，即时，

①当时，，

故在区间上单调递减，∴，这与题设矛盾；

②当时，有，又，，令

，∴在上单调递增，

由零点存在性定理，知在上存在唯一零点，

∴当时，，此时，故与题设矛盾.

综上所述，的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立问题，属于较难题，不等式在上恒成立，求的取值范围，只需求得，，再分，两种情况讨论求解即可.