2022-2023学年广西壮族自治区河池市高二下学期期末教学质量检测数学试题含答案

2022-2023学年广西壮族自治区河池市高二下学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．过点且斜率为3的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可.

【详解】根据题意可得直线为，化简得，

故选：

2．2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名．现有甲､乙､丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（    ）

A．4种 B．6种 C．8种 D．9种

【答案】C

【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，每人选择的方式有种，根据分步计数原理，可得总共有种．

故选：C．

3．下列说法中正确是（    ）

A．相关系数越大，则两变量的相关性就越强

B．回归方程不一定过样本中心点

C．对于经验回归方程，当变量增加1个单位时，平均增加3个单位

D．对于经验回归方程，变量与变量负相关

【答案】D

【分析】根据相关系数、回归直线方程的特征，以及回归系数的含义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，相关系数的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，所以A错误；

对于B中，由回归方程一定过样本中心点，所以B错误；

对于C中，根据经验回归方程可知增加1个单位时，平均增加2个单位，所以C错误；

对于D中，由回归系数，可得，变量与变量负相关，所以D正确．

故选：D.

4．已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解.

【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形，

则椭圆的离心率为.

故选：A.

5．已知函数，则函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的导数与函数单调性的关系，即可求得答案.

【详解】由题意知，定义域为，

得，令，即或，

结合函数定义域可得，

故函数的单调递减区间为，

故选：C．

6．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据圆的直径得出垂直关系，再根据正弦值得出边长，结合双曲线定义可得2a，计算渐近线即可.

【详解】  

因为线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点

所以，

则渐近线方程为．

故选:B．

7．已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ）

A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2

【答案】C

【分析】根据题意，先求出，近而可得的值，结合正态分布的性质可得关于的方程，解出即可.

【详解】因为随机变量，

所以，

又所以，

当时，，

解得或2，

故选：C．

8．已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由数列递推式求出的表达式，设，可求得其表达式，根据的最大值仅为，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案.

【详解】由题意，

令，

即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则，

解得，

故选：C．

二、多选题

9．已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据期望及方差的性质即可求解.

【详解】，则,故A正确，B错误；

，则，故C正确，D错误.

故选：AC

10．关于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A．各项的系数之和为 B．二项式系数的和为512

C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大

【答案】BC

【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可.

【详解】由，令得：，

即各项的系数之和为0，故A错误；

由二项式系数的和为：，

故B正确；

因为，

所以当时，不符合题意，

所以无常数项，故C正确；

在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，

故D错误．

故选：BC．

11．已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为

C．直线的斜率范围为

D．以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为

【答案】AC

【分析】首先判断点在圆外，则，即可判断A，根据判断B，设直线，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得的取值范围，即可判断C，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求出公共弦方程.

【详解】圆的圆心，半径，

又，所以，即点在圆外，

所以，故A正确；

，当且仅当在线段与圆的交点时取等号，故B错误；

设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；

设的中点为，则，又，

所以以为直径圆的方程，显然圆与圆相交，

所以公共弦方程为，故D错误．

故选：AC．

12．已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．准线方程为

C．以线段为直径的圆与的准线相切

D．直线的斜率之积为定值

【答案】ACD

【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确.

【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，

因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A正确；

对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；

对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，

过点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；

对于D中，设，联立方程组，

整理得，可得，则，

所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知等差数列，且，则数列的公差为          ．

【答案】/0.5

【分析】根据等差数列的性质计算求得，结合，即可求得答案.

【详解】因为数列为等差数列，则，

又，设公差为d，所以公差，

故答案为：

14．已知函数，则在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】根据题意，结合导数的几何意义，即可求得切线方程.

【详解】由函数，可得，

可得，则切线方程为，

即切线方程为.

故答案为：.

15．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为          ．

【答案】/

【分析】根据全概率公式结合题意，即可求解.

【详解】设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，

则，

，

所以

．

故答案为：.

16．已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行检验可得结果.

【详解】，

由题意在上有解，则，

当时，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，取极小值，即函数在上存在极值点.

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等比数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式求解，进而可得结果；

（2）根据题意可得，利用错位相减法运算求解.

【详解】（1）因为数列为等比数列，且，

，解得，

所以.

（2）由（1）可得：，

则，

可得，

两式相减得

，

所以．

18．生态环境部､工业和信息化部､商务部､海关总署､市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准阶段，禁止生产､进口､销售不符合国六排放标准阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：

(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；

(2)以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．

附：

参考公式：，其中．

【答案】(1)认为对此公告的了解情况与性别有关，理由见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论；

（2）由样本数据可知，“了解”的概率为，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：假设为：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，

由题意，可得，

所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

（2）解：由样本数据可知，“了解”的概率为，

设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件，则．

19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，．点是棱的中点．

(1)证明：；

(2)求平面与平面所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理以及线面垂直判定定理，可得：平面，结合菱形的对角线性质以及线面垂直判定定理，可得平面，利用线面垂直性质定理，可得答案；

（2）根据题意，建立空间直角坐标新，求得法向量，结合夹角的向量公式，可得答案.

【详解】（1）证明：连接．

在菱形中，，所以．

在中，，所以，所以．

在中，，所以，所以．

又，平面，所以平面．

又平面，所以；

因为四边形是菱形，所以．又，平面，所以平面．

又平面，所以.

（2）记，连接是中点，是中点，

，由（1）知平面，平面，

以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则．

所以．

设平面的一个法向量为．

则，即，令，解得，

所以平面的一个法向量为．

，又平面，

平面的一个法向量为．

所以，即平面与平面所成的角为．

20．为深人学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名．

(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；

(2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事件的概率计算公式，可得答案；

（2）根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案.

【详解】（1）推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数，

这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，

设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”，

表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”，

互斥，且，，，

选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为；

（2）由于从6名老师中任选3名的结果为

从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人，

恰有名数学老师的概率为，

所以，

，

．

21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程；

（2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，

所以椭圆的方程为.

（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，

联立方程组，整理可得，

由判别式，解得，

设，则，

可得

，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

所以所求直线的方程为或．

22．已知函数．

(1)求函数的最小值；

(2)求证：．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；

分析要证，只需证，

令，利用导数求得即可.

【详解】（1），

，

设

在上为单调递增函数，

，当时，，

当时，，在上单调递减；在上单调递增，

则；

（2）证明：，

只需证，即，

令，则，

当时，令，

则在上单调递增，

即在上为增函数，

又因为，

所以存在，使得，

由，

得，即，即，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，

令，

则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，

所以，

即．