2022-2023学年广东省广州市越秀区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．记为等差数列的前n项和.若，，则的公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列的求和公式可求得，再根据等差数列性质运算求解.

【详解】由题意可知：，解得，

所以的公差.

故选：B.

2．已知，则的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．和

【答案】B

【分析】利用导数求出函数的单调递减区间作答.

【详解】函数的定义域为R，求导得，

由，解得，

所以的单调递减区间是.

故选：B

3．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近>0，-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x<-2且在-2的左侧附近时，，排除AC，

故选D

4．随着广州的城市生态环境越来越好，越来越多的家庭选择市区景点轻松度周末.现有两个家庭，他们分别从“南沙海滨公园”、“白云山”、“海珠湿地公园”、“大夫山森林公园”、“火炉山森林公园”这5个户外景点中随机选择1个景点度周末.记事件A为“两个家庭中至少有一个家庭选择白云山”，事件B为“两个家庭选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出事件所含有的基本事件数，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】两个家庭选择景点的试验有个基本事件，事件含有的基本事件数为个，

事件含有的基本事件数为个，则，

所以.

故选：C

5．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（    ）

参考数据：若，则，.

A．69 B．81 C．87 D．96

【答案】B

【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.

【详解】由题意可知：，

因为，

所以A等级的分数线应该是.

故选：B.

6．某外贸工厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据如下：

变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为：，则估计10月份该厂的订单数为（    ）

参考数据：，，

参考公式：

A．93.1 B．89.9 C．83.1 D．59.9

【答案】A

【分析】根据给定的数据求出样本的中心点，再利用最小二乘法公式求出经验回归方程作答.

【详解】依题意，，而，，

则，，

因此经验回归方程为：，当时，，

所以估计10月份该厂的订单数为93.1.

故选：A

7．下列说法正确的是（    ）

A．在进行回归分析时，残差平方和越大，决定系数越大

B．随机变量X的方差为2，则

C．随机变量，若，，则

D．安排4名飞行员同时到3所不同的学校作报告，每所学校至少安排一名飞行员，则不同的安排方法有36种

【答案】D

【分析】对于A：根据回归分析的相关概念理解判断；对于B：根据方差的性质分析判断；对于C：根据二项分布的期望和方差的计算公式运算求解；对于D：利用分组分配法即得.

【详解】对于选项A：因为残差平方和越大，决定系数越小，故A错误；

对于选项B：因为，故B错误；

对于选项C：因为，解得，故C错误；

对于选项D：可知必有一个学校安排了两名飞行员，先分组有种不同安排方法，

再分配到3个学校有种不同安排方法，

共有种不同安排方法，故D正确；

故选：D.

8．已知，，，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点

B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点

C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点

D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造函数，把两个函数图象公共点个数转化为函数零点个数求解.

【详解】令，因此函数零点个数即为函数和的图象公共点个数，

求导得，当时，由，得，由，得，

则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，

由求导得：，当时，，函数递减，，

因此当时，，而当，时，函数递减，取值集合是，

则当，时，函数取值集合为，

当，时，，二次函数图象开口向下，

当时，（表示数中最小的），

函数在上的取值集合为，

于是当，时，函数取值集合为，

从而当时，函数的值域为，

由，得，函数有两个零点，A正确；

而，即，显然当或时，函数有两个零点，CD错误；

当时，，函数无零点，B错误.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及两个函数图象交点问题，构造这两个函数的差函数，转化为求函数零点问题即可.

二、多选题

9．下列关于的说法，正确的是（    ）

A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024

C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x

【答案】AD

【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答.

【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确；

对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误；

对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误；

对于D，的展开式的第3项为，D正确.

故选：AD

10．设数列满足，（），则（    ）

A．为等比数列 B．的通项公式为

C．为递减数列 D．的前n项和

【答案】ABD

【分析】对于A、B：根据题意利用构造法结合等比数列的定义运算求解；对于C：检验前两项即可判断；对于D：利用等比数列求和结合分组求和运算求解.

【详解】因为，则，

整理得，且，

所以是以首项，公比的等比数列，故A正确；

可得，解得，故B正确；

因为，即，所以不是递减数列，故C错误；

因为，所以的前n项和，故D正确；

故选：ABD.

11．费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（    ）

A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为

C．过点作，垂足为K，则 D．点Q的坐标为

【答案】BD

【分析】对于A、B：根据双曲线的渐近线和点的坐标求双曲线的方程，进而可得离心率；对于C：根据题意结合双曲线的定义运算求解；对于D：根据导数的几何意义运算求解.

【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，

代入点，可得，

所以双曲线方程为，可得，

所以离心率为，故A错误，B正确；

因为，

设，

因为，且为的角平分线，

所以，且，故C错误；

因为，当时，整理得，

则，可得，

即切点坐标为，切线斜率，

则切线方程为，

令，整理得，

又因为，可得，

所以点Q的坐标为，故D正确；

故选：BD.

12．已知函数，下列选项正确的是（    ）

A．有最大值

B．

C．若时，恒成立，则

D．设为两个不相等的正数，且，则

【答案】ACD

【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.

【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，

令，解得；令，解得；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以有最大值，故A正确；

对于选项B：因为，

则，

所以，故B错误；

对于选项C：构建，则，

因为，且当时，恒成立，

则，解得，

若，则当时恒成立，

则在上单调递减，则，符合题意

综上所述：符合题意，故C正确；

对于选项D：因为，

整理得，即，

由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，

当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，

不妨设，

构建，

因为在上恒成立，

则在上单调递增，可得，

所以，即，

可得，

注意到在上单调递减，且，

所以，即，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数；

（3）利用导数研究的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．

三、填空题

13．展开式中的系数是      .

【答案】

【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】因为的展开式的通项公式为，

令，可得；

令，可得；

所以的系数是.

故答案为：.

四、双空题

14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误的接收为1或0.已知发送信号0时，接收到0和1的概率分别为0.9和0.1；发送给信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率是      ；若已知接收的信号为1，则发送的信号是1的概率是      .

【答案】     /    

【分析】空1：由全概率公式概率公式计算；空2：由贝叶斯概率公式计算．

【详解】设 “发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，

则 “发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．

由题意可知：，

空1：可得；

空2：可得.

故答案为：；.

五、填空题

15．已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是      .

【答案】

【分析】将x换为可得，可得，再根据导数的几何意义求解即可

【详解】因为，

则，

解得，可得，

则，

即切点坐标为，切线斜率为，

所以切线方程为，即.

故答案为：.

16．已知数列满足，若，则数列的前n项和      .

【答案】

【分析】变形给定的等式，利用数列前n项和与第n项的关系求出，再利用裂项相消法求和作答.

【详解】数列中，由，

得，

当时，，

两式相减得，整理得，而满足上式，

因此，，

所以.

故答案为：

【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

六、解答题

17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.

(1)求△ABC的面积；

(2)若，求b.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合余弦定理可得，进而可求面积；

（2）根据题意结合正弦定理运算求解.

【详解】（1）因为，即，

可得，即，

可知角B为锐角，可得，

即，解得，

所以△ABC的面积.

（2）设△ABC的内切圆半径为，

由正弦定理可得，则，

所以，

即，解得，

所以.

18．已知数列满足，.

(1)记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求的前2n项和.

【答案】(1)证明见详解，

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；

（2）利用（1）中的结果求数列的通项公式，并结合并项求和运算求解.

【详解】（1）由题意可知：，

且，

所以数列是以首项，公比的等比数列，

可得.

（2）由（1）可知：，

当为偶数时，；

当为奇数时，；

综上所述：.

可得当为奇数时，，

则

，

所以.

19．为了有针对性提高学生体育锻炼的积极性，某校需了解性别因素对本校学生体育锻炼的经常性是否有影响，调查团队对学校内的学生进行简单随机抽样调查，得到如下列联表：

(1)根据以上调查结果，采用样本量比例分配的分层随机抽样，在经常进行体育锻炼的学生中抽取8人，再从这8人中随机选取4人访谈，记参与访谈的女生人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，分析体育锻炼的经常性是否与性别有关.

参考公式和数据如下：，

【答案】(1)分布列见详解，

(2)学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联

【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；

（2）根据题意求，并与临界值对比分析.

【详解】（1）根据题意可知：抽取8人中有名男生，名女生，

则X的可能取值为，可得：

，

所以X的分布列为

期望.

（2）零假设为：学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

因为，

根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联.

20．如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，，M是上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMC⊥平面AMD；

(2)当三棱锥的最大体积为时，求直线DM与平面MAB所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据题意结合空间中垂直关系分析证明；

（2）根据题意分析可得点为的中点，三棱锥的体积最大，再利用等体积法求点到平面的距离为d，结合线面夹角的定义运算求解.

【详解】（1）因为，平面ABCD⊥平面CDM，平面ABCD平面CDM，平面ABCD，

所以平面CDM，且平面CDM，则，

又因为，，平面，

所以平面，且平面，

所以平面AMC⊥平面AMD.

（2）因为平面ABCD⊥平面CDM，平面ABCD平面CDM，

则点M在平面ABCD上的投影均在直线CD上，

且的面积为定值，

可知三棱锥的最大体积，即三棱锥的高最大，

此时点为的中点，三棱锥的高为，

则，解得，

可得，

在中，边上的高，

设点到平面的距离为d，直线DM与平面MAB所成角为，

因为，即，解得，

则直线DM与平面MAB所成角的正弦值，

所以直线DM与平面MAB所成角的余弦值.

21．随着社会快速发展，学生的成长环境也不断发生变化，学生的心理健康越来越受到全社会的关注.某高校为了了解学生的心理健康情况，在全校大学生中开展了心理健康测试（满分100分），随机抽取了50名学生的测试成绩，按照分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

(1)用样本的频率估计概率，从该高校所有学生中随机抽取2名学生的成绩，记成绩在的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)为了促进在校大学生的心理健康，该校开设了心理健康教育课程，课程中有一项传彩球的活动，甲、乙、丙三人传彩球，第一次由甲将彩球传出，每次传出时传球者都等可能地将彩球传给另外两个人中的任何一人.

①求第二次传球后彩球在乙手上的概率；

②记第i次传球后彩球在乙手上的概率为，求.

【答案】(1)分布列见详解，

(2)

【分析】（1）根据题意结合二项分布求分布列和期望；

（2）根据题意分析可得，利用构造法结合等比数列运算求解.

【详解】（1）由题意可知：该高校所有学生中随机抽取1名学生的成绩，成绩在的概率为，

可知，且的可能取值为，则有：

，

所以X的分布列为

期望.

（2）①若第二次传球后彩球在乙手上，则第一次传球后彩球在丙手上，第二次由丙传球给乙，

所以第二次传球后彩球在乙手上概率为；

②第i次传球后彩球在乙手上的概率为，

即第i次传球后彩球在甲、丙手上的概率为，再由甲、丙传球给乙，

所以第次传球后彩球在乙手上的概率为，

可得，且，

所以数列是以首项，公比的等比数列，

则，可得.

22．已知函数，，其中a为实数，e是自然对数的底数.

(1)若时，证明：，；

(2)若在上有唯一的极值点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值，并结合正项函数的性质分析判断；

（2）根据题意分析可得原题意等价于有唯一变号零点，参变分离，利用导数判断的单调性，结合图形分析求解.

【详解】（1）因为若时，则，且，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，

所以对，均有，当且仅当时，等号成立，

又因为对，均有，当且仅当时，等号成立，

所以对，.

（2）因为，则，

原题意等价于有唯一变号零点，

令，整理得，

构建，则与有唯一交点，

因为，

且，则，

当，即时，则，可得；

当，即时，则，可得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

且，

可得，解得，

所以实数a的取值范围.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．