2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期4月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期4月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知为虚数单位，，则复数（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】由得，故选：D2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集运算求解.【详解】因为，所以，故选:B.3．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，若，因为，则，若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，因为，所以，又，所以，综上若，则，故B正确；对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.故选：B.4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用公式变形化弦为切求出，代入求值.【详解】因为，所以，，故.故选：A5．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（    ）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种.故选：C6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为.故选：D7．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】设，然后可得，然后根据二次函数的知识可得答案.【详解】因为在等腰直角中，斜边，所以，因为、，所以，设，则， 所以当时，取得最小值，故选：B8．已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，利用的单调性判断函数值的大小.【详解】令函数，则，，故函数是定义在上的增函数，，即，故有；同理可得．故选：B 二、多选题9．关于函数的图象，下列说法正确的是（    ）A．由的图象向左平移个单位得到B．对称轴为，C．在区间上单调递增D．在区间上恰有3个零点【答案】BD【分析】根据正弦函数的图象性质一次分析判断各选项即可得答案.【详解】对于A选项，的图象向左平移得的图象，故错误；对于B选项，令，解得，，故正确；对于C选项，时，，此时函数不单调，故错误；对于D选项，时，，恰有对应的三个零点，故正确.故选：BD10．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法【答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.故选：AC11．设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（    ）A．的离心率的取值范围为B．的离心率的取值范围为C．直线斜率的取值范围为D．直线斜率的取值范围为【答案】AC【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.【详解】解：设为的中点，根据重心性质可得，因为，则，因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，解得，当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，所以，，因为在双曲线上，所以，两式相减可得：，即，即有成立，即有，因为不共线，即，即，即，所以的离心率的取值范围为，因为，因为，即，所以，所以.故选：AC【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：（1）设出点的坐标；（2）根据中点坐标建立等式：，；（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；（4）将，及代入等式中即可得出关系.12．关于函数，则下面四个命题中正确的是（   ）A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增C．函数没有最小值 D．函数的最小值为【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.【详解】由，定义域为，且，则，当和时，，故函数在上单调递减，故A错误；当时，，故函数在上单调递增，故B正确；当时，，当时，，作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C正确，D错误，故选：BC 三、填空题13．用排成无重复数字的三位偶数的个数为      【答案】【分析】可以看作是3个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从3个偶数中任选1个填入个位，其它3个数在2个位置上排列即可.【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有3种，其它位数的排列数为，即这样的数有个，故答案为: .14．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，若上存在两点，，使为等边三角形，则      ．【答案】13【分析】根据题意可求出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到点的坐标，进而利用抛物线的定义即可求解.【详解】设在第一象限，由对称性知直线的方程为．由，得，即．因为的准线为，所以．故答案为：13.15．数列满足，前12项和为243，则           .【答案】7【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】解：，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，即，解方程得.所以，故答案为：.16．已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是          ．【答案】【分析】切点为，则求导后可得斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图像交点的个数，结合图像即可得出答案．【详解】设切点为．由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图像交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增当x趋近于正无穷，趋近于0，当x趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图像如下图，且，  要使与的图像有三个交点，则．则m的取值范围是：．【点睛】方法点睛：由函数过某点处的切线条数求参的一般方法如下:（1）首先设切点，求导得切线斜率；（2）切线方程为：；（3）代入点构建方程；（4）利用函数与方程的思想处理由方程解的个数求参. 四、解答题17．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为，；递减区间为(2)最大值为59，最小值为-49 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.【详解】（1）的定义域为R，且，令得，令得，所以递增区间为，，递减区间；(2)x-3(-3，-1)-1(-1，1)1(1，3)3 +0-0+ -49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．条件①：；条件②：．【答案】(1)(2)见解析. 【分析】（1）根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；（2）对于条件①可得，进而或，不符合题意；条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果.【详解】（1）在中，，由及正弦定理得，由余弦定理得，化简得，所以，结合，得．（2）若增加条件①：，．因为，由，得，或，所以不能唯一确定，不合题意．若增加条件②：．将代入，得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．由，得．所以．19．已知数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式．(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）方法一：由之间关系可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式求得；方法二：由已知关系式可证得数列为等比数列，由此可推导求得，利用之间关系可求得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）方法一：当时，由得：，即，又，；当时，，又，满足，即当时，成立，数列是以为首项，为公比的等比数列，.方法二：由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，即，当时，，又满足，.（2）由（1）得：，.20．如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，进而利用面面垂直的判定证明平面平面.（2）以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）取的中点O，连接AO，．∵与均是边长为2的正三角形，∴，，．∴为二面角的平面角．∵，∴．∴，又，， 平面，平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）知，，，．以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．则，，，．，，．设平面的一个法向量为．由得令，得．设平面的一个法向量为．由得令，得．∴．∴所求锐二面角的余弦值为．21．已知椭圆的离心率为，且经过点．(1)求C的方程；(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.（2）当的斜率不存在时，到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题知：，解得.所以的方程为．（2）当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．因为与圆相切，则到的距离为，所以．联立方程，得，则，可得的中点为．则MN的中垂线方程为，即．因此到中垂线的距离为（当且仅当，时等号成立）．综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．22．已知函数，．(1)当时，证明：在上恒成立；(2)若有2个零点，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，对函数求导得，根据指数函数和幂函数的性质知函数在上单调递增且，结合导数研究函数的单调性求出即可；（2）函数有2个零点等价于函数与的图象有2个交点，利用导数讨论函数的单调性，结合图形即可求解.【详解】（1）当时，设，则，设，由函数和在上单调递增，知函数在上单调递增，且，所以当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以即在上恒成立；（2）由，得，令，则有2个零点，等价于函数与的图象有2个交点，令，得，当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，故，且当时，，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，作出函数的大致图象如下：结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，故a的取值范围是．