2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期第一阶段考试（月考）数学（理）试题含答案

2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期第一阶段考试（月考）数学（理）试题

一、单选题

1．若复数为纯虚数，且满足，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可设，由复数相等即可求得

【详解】设，则，

所以

所以有复数相等可得

故选D.

【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题．

2．甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】分别假设甲､乙､丙､丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.

【详解】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；

若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；

故选：A

3．设的导函数为，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导，再将代入即可得解.

【详解】解：.

故选：C.

4．下列推理是归纳推理的是

A．为定点，动点满足，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；

B．由求出猜想出数列的前项和的表达式；

C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积；

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用归纳推理的定义逐一判断作答.

【详解】对于A，利用双曲线定义，是一般到特殊的推理，A不是；

对于B，计算出前3个特殊情况，是特殊到一般的推理，B是；

对于C，由圆面积猜想椭圆面积，是类比推理，C不是；

对于D，演绎推理，D不是.

故选：B

5．已知，则等于（    ）

A．11 B．10 C．8 D．1

【答案】A

【分析】求导得，则，解得的值，代入即可求得结果.

【详解】，求导得，

则，解得，

故，

，

故选：A.

6．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】求导，进而得到，然后根据在点处的切线与直线平行求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

因为在点处的切线与直线平行，

所以，

解得，

故选：A

7．函数在上的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出导数，由导数值为正确定增区间．

【详解】由题意，由，又，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，属于基础题．

8．已知z为复数，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义可知复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，进而利用点与点之间的距离来求解.

【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，所以的最小值是，最大值是，故的取值范围是.故选:C.

法二：因为复数z满足，不妨设，,则.因为，所以，所以的取值范围是.

故选:C.

9．若是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数可判断其单调性，又可判断该函数为奇函数，从而可求不等式的解.

【详解】设，则的定义域为

而，故为上的奇函数，

且，

当时，因为，故，

故在上为减函数，故为上的减函数，

而，故，所以

又即为，故或，

故或，

故或，

故选：C.

10．图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用定积分可计算得出阴影部分区域的面积.

【详解】由图可知，阴影部分区域的面积为.

故选：C.

11．若恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由参变量分离法得出恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最大值，进而可求得实数的取值范围.

【详解】由题意得恒成立，设，令，则，

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

所以，，故.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于中等题.

12．函数恰有一个零点，则实数的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】函数恰有一个零点等价于在上有且只有一个根.令，由导数法求得，结合的图象变化即可得结果.

【详解】∵函数恰有一个零点，∴方程在上有且只有一个根，即在上有且只有一个根.

令，则，

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. ∴.

∴当，令，即，则，由函数性质可得，即；又当.

故若使函数恰有一个零点，则.

故选：D.

【点睛】函数零点个数问题，可转化为两个函数图象的交点个数问题，此时需要明确函数图象的变化趋势，尤其对于指数、对数函数等复杂函数，才能由数形结合判断交点个数.

二、填空题

13．已知，其中、，为虚数单位，则的值为        .

【答案】

【分析】利用复数相等可求得、的值，进而利用复数的模长公式可求得的值.

【详解】，，，因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.

14．观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为           .

【答案】

【详解】试题分析：这是一个归纳推理的问题，要想从一部分个体具有的性质来猜想一般情形具有的性质，需要对给出的等式进行认真观察，发现其中变化的规律，从而作出正确的猜想，等式左边第一部分与9相乘的数从0开始逐渐增加1，等式左边的第二部分从1开始逐渐增加1，等式右边从1开始，逐渐增加10，所以可猜想第个等式为.

【解析】归纳推理.

15．                 ．

【答案】

【分析】根据微积分基本定理计算即可

【详解】（x2+2x+1）dx．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了微积分基本定理，关键是找到原函数，属于基础题．

16．已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.

【详解】由，得，

当在内为减函数时，则在内恒成立，

所以在内恒成立，

当在内为增函数时，则在内恒成立，

所以在内恒成立，

令，因为在内单调递增，在内单调递减，

所以在内的值域为，所以或，

所以函数在内单调时，a的取值范围是，

故在上不单调时，实数a的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题

17．在中，点A，B，C分别对应复数，，，求点D对应的复数．

【答案】

【分析】求出点坐标后可得其对应的复数．

【详解】由题意，设，

因为是平行四边形，所以，解得，即，

所以点对应复数为．

18．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值和最小值；

【答案】(1)

(2)最小值1，最大值

【分析】（1）先求出在处的导数，再根据点斜式直线方程求解；

（2）求导，判断导数的符号，求出的单调性，根据单调性求解；运用同构的思想构造函数，根据单调性证明.

【详解】（1），，，

在点处的切线方程为.

（2）∵，

∴是偶函数，

，令，

则，

∴单调递增，

∵，

∴，，

，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，取最小值1，

当或时，取最大值

19．，复数，为的共轭复数；

（1）若的实部与虚部互为相反数，求的值；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用复数的除法求出，再根据的实部与虚部互为相反数可求的值.

（2）根据可得关于的不等式，从而可求的取值范围.

【详解】（1），

因为的实部与虚部互为相反数，所以；

（2），

故，所以.

【点睛】本题考查复数的除法以及共轭复数，前者运算时需分子分母同时乘以分母的共轭复数，而，本题属于基础题.

20．已知函数（a为常数）

（1）讨论函数的单调性；

（2）不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即得解；

（2）问题转化为，，，令，求出的最大值，从而求出的范围即得解．

【详解】解：（1）函数的定义域为，，

①当时，，，，

在定义域上单调递增．

②当时，若，则，在上单调递增；

若，则，在上单调递减．

综上所述，当时，在定义域上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，，

不等式在，上恒成立，

，，，

令，，，，

在，上单调递增，

（1），，

的范围为，．

21．已知函数的一个极值点是.

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)极小值为，极大值为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据有一个极值点求出，再利用导数确定单调区间，即可求出极值；

（2）由（1）根据函数的单调性求出最值.

【详解】（1），

有一个极值点是，

即又，

当时，有极小值，极小值为；

当时，有极大值，极大值为；

（2）由（1）知，在上递减，上递增，上递减，

又，

在上的最大值为，

在上的最小值为.

22．已知函数，.

（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；

（Ⅱ）若在区间上单调递增, 求的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数的零点个数.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得，即可解得，注意检验；（Ⅱ）由条件可得，在区间上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到的范围；（Ⅲ）令，求出导数，求出单调区间和最值，即可得到零点的个数.

【详解】（Ⅰ）因为，

由已知在处取得极值，所以.解得，

当时，在处取得极小值.所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立.

即在区间上恒成立. 所以，故.

（III）因为，所以，.

令得， 令，.

.

当时，，在上单调递增，且

时，，在上单调递减.

所以.

综上：当时，函数无零点，

当或时，函数有一个零点，

当时，函数有两个零点.

【点睛】本题主要考查的是导数的运用，利用导数求函数的单调区间和极值，最值，同时考查函数的单调性的运用和函数的零点的个数，运用参数分离和分类讨论思想方法.

求函数零点的常用方法：

分离参数法；先将参数分离出来，转化成一个具体函数的值域问题，

分类讨论法；利用导数确定函数的单调性，

数形结合法，对解析式进行变形，构造两个函数，在同一直角坐标系中画两个函数的图象，利用图象的交点情况来分析问题.