2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期第一阶段学情测试（月考）数学（文）试题含答案

2022-2023学年青海省西宁市海湖中学高二下学期第一阶段学情测试（月考）数学（文）试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的除法法则化简复数，即可得到对应的坐标.

【详解】

则复数对应的点位于第二象限．

故选：B．

2．硫酸工业在国民经济中占有极其重要的地位，在工业上黄铁矿制取硫酸的工序流程图如图所示，则的下一道工序为（    ）

A．接触氧化 B．吸收塔反应 C． D．硫酸

【答案】B

【分析】根据流程图确定正确选项.

【详解】工序流程图反映的是从开始到结束的全部步骤，根据流程图的流向即可确定的下一道工序为吸收塔反应.

故选：B

3．用“反证法”证明不等式，首先应该（    ）

A．假设 B．假设

C．假设 D．假设

【答案】C

【分析】根据反证法的知识求得正确答案.

【详解】“反证法”是否定结论，

所以“反证法”证明不等式，首先应该假设.

故选：C

4．在下面的图示中，是流程图的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据流程图的定义即可判断.

【详解】A是流程图，B是知识结构图，C是图表，D是韦恩图.

故选：A.

5．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将复数z代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.

【详解】因为，所以．

故选：B．

6．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.经计算，则所得到的统计学结论是：有（    ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将的值与表中数据比较大小可知，由此确定出相应的把握有多少.

【详解】因为，对照表格：，

因为，

所以有把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”.

故选：C.

7．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）

A． B． C． D．4

【答案】B

【分析】本题根据框图不断循环运算即可得到答案.

【详解】解：第一次循环：，；

第二次循环：，；

第三次循环：，；

结束运行，输出为

故选：B.

【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，是基础题.

8．甲､乙､丙､丁四人参加一项有奖活动，他们猜测谁能获奖，对话如下：甲：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，且甲乙丙说的都是正确的，那么没能获奖的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】A

【分析】根据丙的话进行分析得丁一定获奖，进而根据甲获奖，可以推出矛盾，因此可得结论.

【详解】根据甲乙丙说的都是正确的，且只有一个人没有获奖，首先根据丙说的话可以推断：丁一定获奖，否则丁没有获奖丙也没有获奖，这与只有一个人没有获奖矛盾；其次，考虑甲是否获奖，若甲能获奖，那么根据甲说的话可以推断乙也能获奖，根据乙说的话又可以推断丙也获奖，这样四个人都获奖，不可能，故甲不能获奖.因此没有获奖的人是甲.

故选:A

9．已知，为纯虚数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据复数运算化简，再由纯虚数的定义列方程求.

【详解】因为为纯虚数，

所以，且，

所以.

故选：B.

10．某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：

附：，其中.

则下列说法中正确的是（    ）

A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关

B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例

C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关

D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关

【答案】C

【分析】先根据已知完成列联表，再根据已知公式得出，查表即可得出答案.

【详解】列联表如下：

则

对于A：，则有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别有关，故A错误；

对于B：男生不关注卡塔尔世界杯的比例为，女生关注卡塔尔世界杯的比例为，且，

则男生不关注卡塔尔世界杯的比例高于女生关注卡塔尔世界杯的比例，故B错误；

对于C、D；，则在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关.故C正确，D错误.

故选：C

11．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（    ）

A． B． C．0.8 D．0.96

【答案】C

【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.

【详解】由题意可知，，，

将代入，即，解得，

所以，

当时，，

所以该数据的残差为.

故选：C.

12．已知三角形数表：

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，则(    )

A．16 B．32 C．64 D．512

【答案】A

【分析】先确定在数表中的位置，再根据等比数列通项公式即可求解．

【详解】在数表中，第n行有n个数，则前9行共有个数，

则是数表第10行从左到右的第5个数，．

故选：A

二、填空题

13．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：

建立的回归模型拟合效果最好的同学是          .

【答案】选甲　相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．

【分析】相关指数越大，相关性越强，拟合效果越好．根据相关指数的大小即可判断．

【详解】相关指数 越大，相关性越强，回归模型拟合效果越好，所以效果最好的是甲．

【点睛】如果两个变量间的关系是相关关系，相关指数 越大，相关系数 越接近1，残差平方和越接近0，都代表拟合效果越好．

14．在复平面内，复数对应的点位于直线上，则      .

【答案】/-0.5

【分析】化简复数，并将其对应的点代入，解方程可得．

【详解】，又∵复数对应的点位于直线上，∴，解得.

故答案为：.

15．观察下列式子：，，，...，根据以上式子可以猜想第个式子是      .

【答案】

【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分式中的分子与不等式序号的关系是,分母是不等式的序号,由上述分析即可得到第2019个不等式,即可得到结论.

【详解】解：由已知中的不等式

.…

得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号的平方,右边分式中的分子与不等式序号的关系是,分母是不等式的序号,由上述分析即可得到第2019个不等式为:.

故答案为: .

【点睛】本题主要考查了按规律写出不等式,解题的关键是归纳推理其规律.

16．下列说法正确的个数有        

（1）已知变量和满足关系，则与正相关；（2）线性回归直线必过点 ；

（3）对于分类变量与的随机变量，越大说明“与有关系”的可信度越大

（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好.

【答案】3个

【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果．

【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3，则x与y正相关；应该是：x与y负相关．故错误.

（2）线性回归直线必过点，线性回归直线必过中心点．故正确．

（3）对于分类变量A与B的随机变量，越大说明“A与B有关系”的可信度越大．

根据课本上有原句，故正确．

（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句．

故填3个．

【点睛】本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.

三、解答题

17．用适当的方法证明下列命题，求证：

（1）；（）

（2）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）由重要不等式及不等式性质即可证得结果；

（2）利用分析法逐步寻找不等式成立的充分条件，依次推理即可得出结果.

【详解】解（1）证明∵，，，

∴

即．

当且仅当“”时取得等号

（2）要证成立，

即证，即证，

即证，

而显然成立，

故成立；

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．

(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；

(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程中，，．

【答案】(1)

(2)1.7

【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a然后求出线性回归方程；

（2）通过，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄.

【详解】（1）由题意知，，，

∴，∴，

故所求回归方程为；

（2）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.

19．设是实数，复数，（是虚数单位）．

(1)在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；

（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．

【详解】（1），则，解得；

（2），则，，，当时，的最小值为．

20．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据： 

【答案】（1）（2）74 （3）见解析，没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．

【解析】（1）根据各小矩形面积之和为1，即可解方程求出的值；

（2）由频率分布直方图可知，平均成绩为各小矩形的面积与各底边中点值的乘积之和，即可求出；

（3）根据题意填写列联表，计算的观测值，对照临界值即可得出结论．

【详解】（1）由题可得

解得．

（2）平均成绩为：

（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：

∵的观测值，

∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．

【点睛】本题主要考查频率分布直方图和独立性检验的应用问题，意在考查学生的数据处理能力，属于基础题．

21．已知复数在复平面上对应的点在第二象限，且满足.

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积.

【答案】（1）.

(2）.

【详解】分析：（Ⅰ）设，则，由题，列出方程即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到，，在复平面上对应点，，，利用三角形的面积公式，即可求解.

详解：（Ⅰ）设，则，

故.

所以，.

又，，解得，，.

（Ⅱ）由（Ⅰ），得，，.

，，在复平面上对应点，，，如图所示：

故.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

22．观察以下各等式：

tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，

tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，

tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.

分析上述各式的共同特点，猜想出表示的一般规律，并加以证明．

【答案】见解析

【分析】先归纳一般规律是：若A＋B＋C＝π，则tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.再利用正切的和差公式加以证明．

【详解】一般规律是：若A＋B＋C＝π，

则tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

证明：因为tan(A＋B)＝，

所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)．

而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，

于是tanA＋tanB＋tanC＝tan(π－C)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

【点睛】数学归纳法的步骤：先归纳猜想后证明．