2022-2023学年甘肃省庆阳第二中学高二下学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年甘肃省庆阳第二中学高二下学期第一次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省庆阳第二中学高二下学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量基本定理求解即可.【详解】设向量在基底下的坐标为，则，又向量在基底下的坐标为，则，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐标为.故选：C.2．函数的单调递增区间是（    ）A． B．和C． D．【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为 ，，当时，解得，故函数的单调递增区间是，故选：A3．定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据逐个答案进行分析求解即可.【详解】对于A选项，，则，由，即，，因此，不存在“自足点”，故A不满足易于题意；对于B选项，，则，由，得，又，所以无解，所以不存在“自足点”，故B不满足题意；对于C选项，，则，其中，所以，又，故函数存在“自足点”，C选项满足题意；对于D选项，，则，由，得，所以，即，因为，，所以无解，D选项不满足题意.故选：C.4．设函数，则（    ）A．-6 B．-3 C．3 D．6【答案】C【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.【详解】解：根据导数的定义：，故选：C.【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.5．设，，，则、、的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数，其中，则，当时，，所以，函数在上单调递增，因为，则，即，即，所以，，因为，故，即，即，因此，.故选：D.6．已知空间向量，且，则x=（    ）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】利用向量平行列方程直接求得.【详解】因为空间向量，且，所以，解得：.故选：C7．如图，空间四边形中，，，，且，，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可.【详解】由题意知，故选：C.8．已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由分离常数，结合导数研究的图象与性质，从而求得的取值范围.【详解】依题意，函数恰有3个零点，由，即与有个交点.对于函数，当时，，所以在区间递增；在区间递减..当时，，所以在区间递减；在区间递增.，当时，.所以所以的取值范围是.故选：D 二、多选题9．下列求导运算正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】利用导数的运算求解判断.【详解】A. 因为，所以，故正确；B.因为，所以，故错误；C. 因为，所以，故正确；D. 因为，所以，故正确.故选：ACD10．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法中正确的有（    ）  A．冰块最大体积为B．冰块的最大体积为C．冰块体积达到最大时，冰块的高度为D．冰块体积达到最大时，冰块的高度为【答案】BC【分析】求出该圆锥的轴截面三角形的边长，设圆柱的底面半径为r，高为h，建立出体积的函数，利用导数求出最大值．【详解】由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示，  即圆锥母线长，高和底面半径，设冰块的底面半径为，高为，由，冰块体积要最大，此时冰块的高度，故圆柱的体积为，其中；则有，，解得；，解得，则在区间单调递增，在区间单调递减，所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度.故选：BC.11．已知函数，则（    ）A．函数f（x）为偶函数B．函数f（x）的定义域为C．函数f（x）的最小值为2D．函数f（x）在（0，＋∞）单调递减【答案】ABC【分析】对于A：根据偶函数的定义即可判断；对于B：分母不为0即可判断；对于C：根据基本不等式即可判断；对于D：求导即可判断.【详解】对于A：的定义域为，关于原点对称，而，所以为偶函数.故A正确；对于B：，的定义域为.故B正确；对于C：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2.故C正确；对于D：，当时，令即，解得，令即，解得，在上单调递减，在上单调递增.故D错误.故选：ABC.12．已知正四面体的棱长为2，、分别是和的中点，下列说法正确的是（    ）A．直线与直线互相垂直B．线段的长为C．直线与平面所成角的正弦值为D．正四面体内存在点到四个面的距离都为【答案】ACD【分析】取的中点，连接，证明平面，即可判断A；根据空间向量基本定理及数量积的运算律计算即可判断B；连接交于点，则点为点在平面上的投影，则即为直线与平面所成角的平面角，求出即可判断C；利用等体积法求出正四面体的内切球的半径即可判断D.【详解】对于A，取的中点，连接，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，，，则，故B错误；对于C，连接交于点，连接，则为的中心，则点为点在平面上的投影，即平面，则即为直线与平面所成角的平面角，在中，，，则，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；对于D，设正四面体的内切球的半径为，则，所以，所以正四面体内存在点到四个面的距离都为，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．写出一个满足导数为的函数          .【答案】(答案不唯一)【分析】由基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解.【详解】由基本初等函数的导数公式可知，满足导数为，则可得函数（为实数），答案不唯一.故答案为：(答案不唯一)14．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为      .【答案】【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，在区间递减，；在区间递增，.所以的解集.故答案为：15．若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为        .【答案】3【分析】首先求导，根据题意得到在有解，再设，，根据求解即可.【详解】，因为曲线存在与直线平行的切线，所以在有解.即在有解.设，，则，当且仅当，即时等号成立，即.所以，即的最大值为.故答案为：316．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为         ．【答案】【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.【详解】解：因为成立，所以共面，即平面，如图，取中点，连接、、，根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，由勾股定理得，故答案为：. 四、解答题17．已知函数.(1)若在处的切线与直线3x－y＋1＝0平行，求a；(2)当a＝1时，求函数的极值.【答案】(1)(2)极小值1，无极大值 【分析】（1）根据导数的几何意义，，求；（2）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值.【详解】（1），由导数的几何意义可知，，即，得.（2）当时，，，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得极小值，无极大值.18．已知向量，，.(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；(2)当时，求证：向量与向量，共面.【答案】(1)；；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.【详解】（1）因为,所以，解得，因为，向量与垂直，所以，∴，∴；所以实数和的值分别为和；（2）当时，，设（），则，，解得，即，所以向量与向量，共面.19．如图，在平行六面体中，，且，(1)试用表示向量.(2)若，，，求的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由三角形法则以及数乘运算得出；（2）计算，得出的长.【详解】（1）（2）即，∴.20．已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时，证明【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.【详解】（1）解：函数的定义域为， ，∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；（2）证明：因为时，证明，只需证明，由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；所以.令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以.所以时， ，所以当时，21．已知函数，.(1)若曲线在点处的切线经过点，求a的值；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，根据已知可得，又，即可解出a的值；（2）不等式可化为对恒成立. 设，，则只需即可.求出，利用导函数研究单调性，求出即可得到结果.【详解】（1）.根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线的斜率，又，切线过，则，所以，，所以.（2）当时，恒成立，所以恒成立，即对恒成立.设，，则只需即可.又，设，则在上恒成立，即在上递减.又，则当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减．，，即实数a的取值范围是.22．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【答案】(1)(2)在上单调递增.(3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证.【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，    所以，令，则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）解：原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.