2022-2023学年河南省安阳市林州市第一中学高二下学期7月月考数学试题含答案

2022-2023学年河南省安阳市林州市第一中学高二下学期7月月考数学试题

一、单选题

1．已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（ 　）

A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}

【答案】D

【详解】因为A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},所以，3A，9A，

若5∈A，则5∉B，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A={5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理可得：1∉A，7∉A.

故选D．

2．某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为，

要保证税金收入每年不少于万元，可得且，

解得，即实数的取值范围为.

故选：C.

3．在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（    ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小.

【详解】由，则，而，故或，

显然，所得角均满足.

故选：B

4．已知m，n为异面直线，平面，平面，若直线l满足，，，，则（    ）.

A．， B．与相交，且交线平行于l

C．， D．与相交，且交线垂直于l

【答案】B

【分析】设，过空间内一点P，作，，且与确定的平面为，利用线面垂直的判定定理，证得，进而得到，即可求解.

【详解】若，则由平面，平面，可得，

这与与是异面直线矛盾，故与相交，

设，过空间内一点P，作，，与相交于点 ，

设与确定的平面为，

因为，所以，，

因为，，所以，，

所以，，且，平面，所以，同理，

又因为，所以与不重合，所以.

故选：B.

5．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.

【详解】为的垂心    ，

又，

直线斜率存在且，

设，则，解得：    

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.

6．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ）

A．e B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.

【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，

则，解得.

故选：C

7．已知数列中，，，若为等差数列，则（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】A

【解析】利用等差数列的性质可求，从而得到.

【详解】因为，，，故

所以，故.

故选：A.

8．下列问题是排列问题的是（    ）

A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C．集合的含有三个元素的子集有多少个？

D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

【答案】D

【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.

【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；

B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；

C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；

D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．

故选：D

二、多选题

9．已知，则下列不等式成立的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先由，得，再根据不等式的性质，指数函数、幂函数的单调性及特殊值法即可判断．

【详解】由，得．当，时，，故选项A不正确；

，，又在上单调递增，，故选项B正确；

在上单调递增，，，故选项C正确；

当，时，，故选项D不正确．

故选：BC

10．已知，，若圆上存在点满足，实数可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】ABC

【解析】题意等价于以为直径的圆与已知圆有公共点，由此可得的范围，再判断各选项．

【详解】以为直径的圆方程为，

，则，∴在以为直径的圆上．

由题意以为直径的圆与已知圆有公共点，

∴，解得．ABC均满足，D不满足．

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，解题关键是由得，从而在以为直径的圆上．这样得出两圆有公共点．

11．人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个､图片b张，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A错误，B正确；

事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以，则，所以C正确；

由题可知，，，

因为a，，，所以，即，故D错误.

故选:BC.

12．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为

A．直线与是相交直线； B．直线与是平行直线；

C．直线与是异面直线： D．直线与所成的角为.

【答案】CD

【解析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.

【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,

综上正确的结论为C D.

【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.

三、填空题

13．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为           ．

【答案】

【分析】零点问题可以转为为图像交点问题，然后讨论a的取值范围即可.

【详解】有两个零点

有两个根，即图像有两个交点；

①时，设，

若有两个交点，则；

②时，只有一个交点；

③时，设，

若有两个交点，

综上可得，实数a的取值范围为

故答案为：

14．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为            .

【答案】/

【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】从五张卡片中任取两张的所有样本点有，，，，，，，，，，共10种情况，

其中，两张卡片上的数字和为偶数的样本点有，，，，共4种情况，

故两张卡片上的数字和为偶数的概率.

故答案为：.

15．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为          ．

【答案】

【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可.

【详解】由，则，设切点为，切线斜率为，

所以，切线为，即，

由，则，设切点为，切线斜率为，

所以，切线为，即，

根据题设，若它们切线为公切线，则有，即，

又，即且，即，

由上关系式并消去并整理得在上有解，

令，则，

当，则，即，此时递增；

当，则或，即或，此时递减；

又，，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，根据公切线列方程组，注意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题.

16．如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点（不含端点），R是直线AD上的点，满足平面，，则的最小值为            .

【答案】/

【分析】作于点S，证明平面平面，从而得，分别以直线，，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，，则，利用求得，然后计算可得最小值．

【详解】作于点S，则，又平面，平面，所以平面，

又因为平面，，平面，所以平面平面，

因为平面平面，平面平面，所以．

分别以直线，，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，，则，

则，

由得，所以，

于是，时取等号．

故答案为：．

四、解答题

17．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．

(1)求实验室这一天上午8时的温度；

(2)求实验室这一天的最大温差．

【答案】(1)10℃；

(2)4℃．

【分析】（1）由题意，将8代入三角函数中，可得答案；

（2）根据辅助角公式，化简三角函数，结合正弦函数的性质，可得答案.

【详解】（1）.

故实验室上午8时的温度为10℃．

（2），

因为，所以，．

当时，；当时，，

故，于是在上取得最大值12，取得最小值8．

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．

18．如图，在三棱锥中，，底面ABC

(1)证明：平面平面PAC

(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角求解.

【详解】（1）证明：因为，

所以，又底面ABC，

所以，又，

所以平面PAC，

因为平面PBC，

所以平面平面PAC；

（2）如图所示：

作，连接OM，

因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，

 所以平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角，

设，则，

所以，又，

所以，

所以AM与平面PBC所成角的正切值为.

19．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组:[20，25），第二组:[25，30），第三组:[30，35），第四组:[35，40）第五组:[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.

(1)求x;

(2)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）;

(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层随机抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和这5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为，职业组中1~5组的成绩分别为.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差;

②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.

【答案】(1)120

(2)32

(3)①平均数94；方差6.8；②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组的频率，再由频数与频率的关系列方程求解.

（2）设中位数为，根据中位数的定义列方程求解即可.

（3）①求出平均数，再根据方差的定义求方差；②比较平均数与方差即可得出结论.

【详解】（1）根据题中频率分布直方图得第一组的频率为，

所以，

所以；

（2）设中位数为，

则，

所以，

∴抽取的人的年龄的中位数为.

（3）①5个年龄组的平均数为，

方差为，

5个职业组的平均数为，

方差为.

②评价:从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.

20．在数列中，，.

（1）证明，数列是等差数列.

（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.

【分析】（1）根据，变形为，利用等差数列的定义求解.

（2）由（1）得，进而得到，利用，判断数列是递减数列，然后将恒成立，转化为求解.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，

故数列是首项为1，公差为2的等差数列.

（2）由（1）得，则.

因为，

所以，

所以，

则，即数列是递减数列.

故要使恒成立，只需，

因为，

所以，

解得.

故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.

【点睛】本题主要考查等差数列的定义，通项公式以及数列不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

【答案】（1）．（2）．

【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．

【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．

如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，

如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p．

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，

Y＝450×2＝900元，

当温度在[20，25）℃时，需求量为300，

Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，

当温度低于20℃时，需求量为200，

Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，

当温度大于等于20时，Y＞0，

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90﹣（2+16）＝72，

∴估计Y大于零的概率P．

【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

22．设函数．

(1)设，求函数的最大值和最小值；

(2)设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．

【答案】(1)，；

(2)，

【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；

(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.

【详解】（1），

∵，，

∴，

∴函数的最大值为，最小值为．

（2），

∵该函数为偶函数，∴，得，

又∵，∴k取0，，

∴，

令，解得，

从而得到其增区间为．