2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二下学期7月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二下学期7月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二下学期7月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则使成立的实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据集合之间的包含关系，即可列出不等式，求解即可.【详解】若满足，由已知条件得，解得 ，故选：B．【点睛】本题考查由集合之间的包含关系，求参数范围的问题，属基础题.2．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】在关于的不等式展开后可以得到一个一元二次不等式，又因为它的解集是，所以二次项系数应该是小于0的．【详解】因为不等式的解集为所以二次项的系数小于0，【点睛】在计算一元二次不等式时，可根据函数图像性质来推断出二次项系数的大小．3．设 ，则的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，先计算的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.【详解】 ，故，故选：C4．在中，点是上一点，且，又，则的值为A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先由条件以及两个向量的加减法的原则，以及其几何意义，可得，从而得到答案.详解：由题意可得,又，.故选：A.点睛：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．5．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ）A．， B． C． D．【答案】B【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值.【详解】由题可知，则，，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.【点睛】本题考查复数的三角形式，属于基础题.6．在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分组频数126731分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（    ）A．10% B．20% C．30% D．40%【答案】B【解析】由频数分布表可计算得到样本的优秀率，由此可估计得到班级的优秀率.【详解】由表可知：优秀的人数为，则优秀率为：据此估计该班的优秀率约为故选：【点睛】本题考查利用样本估计总体的问题，属于基础题.7．圆：与圆：外切，则m的值为（    ）A．2 B．－5 C．2或－5 D．－1或－2【答案】C【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解的值.【详解】由圆：与圆：，得，，圆的半径为3，圆的半径为2，因为两圆外切，所以，化简得，所以，所以或，故选：C.8．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程.【详解】设线段的中点为，连接，，则轴，则点，故点，所以，直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为．故选：D． 二、多选题9．已知与是共轭复数，以下4个命题一定正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】设，根据复数的运算，可得A正确；分别求出，得到B不正确；根据，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．【详解】设，由，，所以，所以A正确；则，，所以B不正确；由，所以C正确；由不一定是实数，所以D不一定正确.故选：AC10．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为A．直线与是相交直线； B．直线与是平行直线；C．直线与是异面直线： D．直线与所成的角为.【答案】CD【解析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为C D.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.11．若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题意可知是R上的增函数，进而结合导数判断函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知是R上的增函数.对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.故选：BC.12．将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（    ）A．事件与相互独立 B．事件与不相互独立C． D．【答案】BD【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：BD 三、填空题13．已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是        ．【答案】【详解】有三个零点，根据题意可得时，函数有一个零点；时，函数有两个零点.当时，，恒成立，故；当时，，要使得有两个零点，需满足，解得，综上可得，故答案为.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是            ．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是      .【答案】【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.【详解】函数的定义域为，导函数，由已知有两个不相等的正实数根，所以有两个不相等正实数根，令，则，由，得.当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.又，，当时，，当时，，当时，，由以上信息可得，函数的图象大致如下：  所以a的取值范围是.故答案为：.16．在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于        .【答案】【分析】连接交于点，连接、，过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使，证明出平面平面，计算出的面积，即可得解.【详解】如图，连接交于点，连接、.因为且，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面，同理可证平面，因为，、平面，所以，平面平面，故截面平行于平面.过点作与平行的直线分别交、于点、，在上取点使.，，，.因为平面，平面，所以，平面，又因为，平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，易得，故，因为，易知是边长为的等边三角形，所以，，因此，.故答案为：. 四、解答题17．已知数列的首项（1）若，求证是等比数列并求出的通项公式；（2）若对一切都成立，求的取值范围.【答案】（1） ；（2）.【分析】（1）根据条件取倒数，变形可得，即可证得数列是等比数列，从而可求数列的通项公式，即可求的通项公式；（2）由知，故，得，根据数列的通项公式，可得不等式，从而可求的取值范围．【详解】（1） 由题意知，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列； ， （2）由（1）知，由知，故得即得，又，则.【点睛】由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造新数列.18．如图，三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）【分析】（）方法一：作交于，连接，由题意可知平面，即有，根据勾股定理可证得，又，可得，，即得平面，即证得；（II）方法一：由，所以与平面所成角即为与平面所成角，作于，连接，即可知即为所求角，再解三角形即可求出与平面所成角的正弦值．【详解】（）[方法一]：几何证法作交于，连接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱台的定义可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系方法作交于O．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.设OC=1,∵，，∴,∴，∴,,,∴BC⊥BD,又∵棱台中BC//EF,∴EF⊥BD；[方法三]：三余弦定理法∵平面ACFD平面ABC，∴,∴，又∵DC =2BC．∴,即,又∵，∴．（II）[方法一]：几何法因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．作于，连接，由（1）可知，平面，因为所以平面平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面内的射影为，即为所求角．在中，设，则，，∴．故与平面所成角的正弦值为．[方法二]【最优解】：空间向量坐标系法设平面BCD的法向量为,由（）得,,∴令,则,,,，,由于，∴直线与平面所成角的正弦值为． [方法三]：空间向量法以为基底,不妨设，则(由（）的结论可得）．设平面的法向量为，则由得取，得．设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角也为，由公式得．[方法四]：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分线上．设直线与平面所成角为，则与平面所成角也为．由由（）的结论可得，由三余弦定理，得，从而．[方法五]：等体积法设H到平面DBC的距离为h，设,则,设直线与平面所成角为，由已知得与平面所成角也为．由，,求得，所以．【整体评价】（）的方法一使用几何方法证明，方法二利用空间直角坐标系方法，简洁清晰，通性通法，确定为最优解；方法三使用了两垂直角的三余弦定理得到，进而证明，过程简洁，确定为最优解（II）的方法一使用几何做法，方法二使用空间坐标系方法，为通性通法，确定为最优解；方法三使用空间向量的做法，避开了辅助线的求作；方法四使用三余弦定理法，最为简洁，确定为最优解；方法五采用等体积转化法，避免了较复杂的辅助线.19．已知直线和圆.(1)求证：对任意实数，直线和圆总有两个不同的交点；(2)设直线和圆交于，两点.①若，求的倾斜角；②求弦的中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析(2)①或；②，其中 【分析】（1）解法1，联立消元，根据，即可得证；解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数，即可得解；【详解】（1）解法1：将代入，得，因为，故直线和圆C总有两个不同的交点.解法2：圆心到直线的距离，于是直线和圆C总有两个不同的交点.解法3：由已知，直线，令，解得，所以直线恒过定点，因为，所以点P在圆C内，于是直线和圆C总有两个不同的交点.（2）①圆心到直线的距离，由弦长公式，即，解得，即直线的斜率为，于是的倾斜角为或.②将代入，得，设，，显然，所以，则，则，，所以，消去得，即，其中.20．某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.(1)求该段抛物线的方程；(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？【答案】(1)(2)20米 【分析】(1)，把两点坐标代入求解即可；(2)，由梯形的面积公式，可得梯形的面积为，构造函数，求导可知当时，该函数有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.【详解】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，所以，解得，故该段抛物线的方程为.（2）由（1）可设，所以梯形的面积，设，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.21．设函数．(1)设，求函数的最大值和最小值；(2)设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．【答案】(1)，；(2)， 【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数的图像特性即可求其最大值和最小值；(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.【详解】（1），∵，，∴，∴函数的最大值为，最小值为．（2），∵该函数为偶函数，∴，得，又∵，∴k取0，，∴，令，解得，从而得到其增区间为．22．已知函数(其中…为自然对数的底数).（1）求证：当时，；（2）若不等式对成立，求实数a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用导数判断单调性，求出的最小值，再证明其大于；（2）令，先讨论，与题意不符；当时：先求出，，，，分类讨论：①若， ，使得，在上单调递减，与题意不符；②若， ，使得，在上单调递增，与题意不符；③若，判断在上单调递减，在上单调递增，恒成立，符合题意.【详解】解：（1），当时，，，∴，当时，，，∴，故当时，，单调递增.，而，故；（2）令，即对成立，若，则，与题意不符；故只需考虑的情况：，，，，显然当时，，∴在上单调递增，①若，则，，故，使得，在上单调递减，∴，与题意不符，舍；②若，则，当时，，，故，单调递增，又，故，使得，在上单调递增，∴，与题意不符，舍；③若，则，当时，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，∴恒成立.综上，.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（3）利用导数证明不等式.