2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可.

【详解】由得

，

.

故选：D.

2．某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（    ）

参考数据如下：，.

A．低于 B．低于 C．高于 D．高于

【答案】C

【分析】根据临界值表求得正确答案.

【详解】由于，

而，

所以可信度高于.

故选：C

3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.

【详解】解：因为向量，且，那么，

所以向量在向量上的投影向量为，

故选：C.

4．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，即可得到.

【详解】由题意得：，，，

即，，，

因为数列是等比数列，所以，

即，解得：，

故选：C.

5．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】

以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设正八面体的边长为,则

所以，,

设面的法向量为，则，解得，取，即

又，所以，面，即面，①正确；

因为，所以，

又，面，面，则面，

由，平面，所以平面平面，②正确；

因为，则，所以，③正确；

易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

因为，所以平面平面，④正确；

故选：D

6．如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（    ）

A．220 B．200 C．190 D．170

【答案】C

【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.

【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个，

故选：C.

7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

【详解】

因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．

故选：A．

8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（    ）

A．999 B．749 C．499 D．249

【答案】A

【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.

【详解】由得，因此数列为公比为5，

首项为的等比数列，故，进而根据累加法

得，

由于，又，

因此，则，故，

所以，

故选：A

【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

二、多选题

9．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ）

A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则

C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点

【答案】BC

【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.

【详解】A：因为方程表示椭圆，

所以，解得，且，故A错误；

B：因为椭圆的焦点在y轴上，

所以，解得，故B正确；

C：若，则椭圆方程为，

所以，从而，故C正确；

D：若，则椭圆方程为，

点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.

故选：BC.

10．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，取得最大值

C．

D．使得成立的最大自然数是15

【答案】ABC

【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.

【详解】解：因为等差数列中，，，

所以，，，A正确；

当时，取得最大值，B正确；

，C正确；

，，

故成立的最大自然数，D错误．

故选：ABC．

11．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）

A．

B．的展开式中项的系数为56

C．奇数项的二项式系数和为128

D．的展开式中项的系数为56

【答案】AC

【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.

【详解】因为的展开式通项为，

所以的展开式的第项的二项式系数为，

所以，解得，A正确；

的系数为，B错误；

奇数项的二项式系数和为，C正确；

根据二项式定理，表示8个相乘，

所以中有1个选择，1个选择，6个选择，

所以的展开式中项的系数为，D错误；

故选：AC

12．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ）

A．

B．

C．当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为

D．当时，

【答案】BC

【分析】对于AB，确定，即可求出和，对于C，表示一天至少遇到红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将代入即可求得结果，对于D，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，，即可求出.

【详解】对于AB，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他在甲路口遇到红灯的概率为，

则，

所以，，

所以A错误，B正确，

对于C，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为，

则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，

当时，，

所以C正确，

对于D，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，，

所以，

当时，，所以D错误，

故选：BC

三、填空题

13．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______.

【答案】

【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程.

【详解】记圆心为点，点为点，

因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为，

因为圆与直线相切于点，

所以直线与直线垂直，

直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，

所以，

所以圆心为，

圆的半径为，

所以圆的方程为.

故答案为：.

14．已知随机变量,且，若,则的最小值为_________．

【答案】

【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案.

【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，

又，，即．

则，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：.

15．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．

【答案】/

【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得.

【详解】设等差数列的公差为，

依题意，则，

解得，所以，

所以，

通过观察可知，去掉后，

成等比数列，

所以等比数列的首项为，公比为，

所以.

故答案为：

16．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为___________

【答案】

【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集.

【详解】由题意，，

在中，为奇函数且在上单调递减，

∴，，函数在和上单调递减，

∴当和时，；当和时，.

∵，

∴，即，

当时，解得：；当时，解得：，

∴不等式解集为：，

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，，且函数.

(1)求函数的单调增区间；

(2)若中，分别为角对的边，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可；

（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数的性质求解即可.

【详解】（1）因为向量，，且函数

所以

令，解得，

所以，函数的单调增区间为.

（2）因为，

由正弦定理可得：，

即，

因为，

所以，

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，

所以；

所以，的取值范围为.

18．已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据计算即可得解；

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）当时，，

解得，

由当时，，

得当时，，

两式相减得，即，

又，所以，

又适合上式，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以；

（2），

则，

，

两式相减得

，

所以.

19．如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，，，，分别为线段的中点.

(1)证明：平面；

(2)若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定可证得结论；

（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【详解】（1），，，，

即，，，

分别为中点，四边形为平行四边形，，；

，为中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，又平面，；

，平面，平面.

（2）连接，

由（1）知：平面，则与平面所成角为，即，

在中，，，

，解得：，

，；

设，取中点，连接，

分别为中点，，又平面，

平面，又，

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.

20．2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．

(1)甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；

(2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见详解，

【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；

（2）根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可．

【详解】（1）甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，

最终甲以11：9赢得比赛的概率为：．

（2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

，

∴随机变量X的分布列为：

∴．

21．已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）：

经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归方程为.

(1)估计对应的需求量y（结果保留整数）；

(2)若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.

附：相关系数，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入即可；

（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可.

【详解】（1）记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，

由题设知，.

因为回归直线经过样本中心，所以，解得.

即，

所以时对应的需求量（件）.

（2）设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，，，.

所以相关系数.

22．已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；

（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得，即可得到直线过定点坐标.

【详解】（1）解：设，则，

因为，所以，

又，所以，整理得.

（2）证明：设、、，

所以，

所以直线的方程为，

因为点在直线上，

所以，即，解得①，

同理可得直线的方程为，

又在直线上，所以，易得，

解得②，

所以直线的方程为，即③，

将②式代入③式化简得，又，

即，

即，

所以直线恒过定点.