2022-2023学年山东省德州市第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省德州市第一中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合A，计算与集合B的交集即可.

【详解】由题意可得，则.

故选：B.

2．已知a为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由，即或，解得或，

所以由“” 可以推出“”，故充分性成立，

由“”不能推出“”，故必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】的定义域为，

又与在上单调递增，

所以在上单调递增，

又，

所以，

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，

故选：C.

4．已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.

【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，

由解析式，作出的图像如图

从而可得图像为B选项.

故选：B.

5．某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：

根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（    ）

A．没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”

B．有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”

C．在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”

D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”

【答案】D

【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断.

【详解】解：

A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；

D.因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确；

故选：D

6．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月（参考数据：）

A．20 B．28 C．32 D．40

【答案】C

【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率与时间（月）近似地满足关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.

【详解】由题意得，，解之得，则

则由，可得，

两边取常用对数得，，

则

故选：C

7．已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由时， ，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.

【详解】解：当时，，

则在上递增，在上递减，且，

由知：时，，

时，，且在上递增，在上递减，

因为，当时， ，

因为，

所以，

令，解得，

所以满足，的t的最大值是，

故选：C

8．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.

【详解】，当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，

又，，，

由“稳定函数”定义可知：，即，

解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．若，则

B．命题“，”的否定为“，”

C．若幂函数在区间上是减函数，则

D．方程有一个正实根，一个负实根，则

【答案】BCD

【分析】对于A，举例判断即可，对于B，改量词否结论，对于C，由题意可得，且，从而可求出的值，对于D，由题意得，从而可求出的范围.

【详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误，

对于B，命题“，”的否定为“，”，所以B正确，

对于C，因为幂函数在区间上是减函数，

所以，且，解得，所以C正确，

对于D，因为方程有一个正实根，一个负实根，

所以，解得，所以D正确，

故选：BCD

10．（多选）设函数，对任意的，，以下结论正确的是

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用指数幂的计算法则判断A，B的对错；利用负整数指数幂的计算法则判断C的对错；D中需要分两种情况分析.

【详解】A．不恒成立，错误；

B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；

C．由，可知，正确；

D．当时，，当时，，所以 ，错误；

故选BC.

【点睛】本题考查指数幂的计算法则以及指数函数的函数值判断，难度较易.

（1），，；

（2），当时，若则，若则；当时，若则，若时则.

11．已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知得到，再利用基本不等式依次判断各选项即可．

【详解】正实数a，b满足，则，

，当且仅当，时取等号，A正确，

，，当且仅当，时取等号，，B错误，

，当且仅当时取等号，C正确，

由，有，则，由，有，所以，当且仅当，时取等号， D正确.

故选：ACD

12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（    ）

A．

B．

C．

D．数列的前2n项和的最小值为2

【答案】ACD

【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求得，在逐项判断即可.

【详解】令且，

当时，①；

当时，②，

由①②联立得.

所以，

累加可得.

令(且为奇数)，得.

当时满足上式，

所以当为奇数时，.

当为奇数时，，

所以，其中为偶数.

所以，故C正确.

所以，故A正确.

当为偶数时，，故B错误.

因为，

所以的前2n项和

，

令，

因为数列是递增数列，所以的最小项为，

故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.

故选:ACD.

【点睛】数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

三、填空题

13．已知，，则      ．

【答案】/0.36

【分析】由指数与对数的运算性质求解

【详解】因为，所以，又，所以，

所以，，

故答案为：

14．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数           ．

【答案】（答案不唯一）

【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.

【详解】取，则定义域为R，且，

，，满足.

故答案为：.

15．已知正实数，满足，且有解，则的取值范围      ．

【答案】

【分析】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.

【详解】由题知，因为，

所以，，

若有解，则即可，

因为，都是正数，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

故.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，则函数的零点有      个；关于的方程的实根个数构成的集合为      ．

【答案】     2    

【分析】首先根据函数函数表达式，直接在定义域内解方程即可判断根的个数；首先根据表达式，画出函数的图像，再对以及进行分类讨论，结合图像，判断函数交点的个数，最后用列举法求出函数的解的个数的集合.

【详解】函数的图像如下,

根据函数零点可得，，当时，解得，此时，符合；当时，解得或，由于，故舍去，所以得零点有2个，为和.

令，则

当时，如下图，此时，则此时与有2个交点，即有2个解.

当时，此时，解得或，此时有一个解，有两个解，则总的有3个解.

当时，如下图，有三个解，分别记作，则此时与的交点为4个.即有4个解.

当时，，解得，此时共有7个解，即即有7个解.

当时，此时有4个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为8个，即有8个解.

当时，即，解得或或，则此时共有6个解，即有6个解.

当时，如下图，此时有2个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为4个，即有4个解.

综上所述解的个数组成的集合为

故答案为：2；

【点睛】本题考查了方程的根的问题，其中包含了一个复合函数，属于综合题，难度较大；关键点在于通过换元将复合函数简化，借助外层函数的图像，对参数进行分类讨论，确定交点个数，再画出内层函数的图像，结合图像确定交点个数即可求解.

五、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的补集和交集的定义即可求解；

（2）根据（1）的结论及真命题的定义，结合子集的定义即可求解.

【详解】（1）当时，

，则  .

（2）由（1）知，，，

由命题P：“，”是真命题可知：

故或，解得：或

实数a的取值范围为或．

18．已知函数（且）的图象过点.

(1)求实数的值；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点代入函数即可求解；

（2）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解

【详解】（1）由题设条件可知，，

即，解得，

∴

（2）∵的定义域为，并在其定义域内单调递增，

∴⇔，解得，

∴不等式的解集为.

19．已知数列满足.

(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)若__________，求数列的前项和.

（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.

【详解】（1）∵，则，即

故数列是首项和公差都为2的等差数列，

∴，即

（2）选①：

∵，

∴.

选②：

∵，则有：

当时，；

当时，；

∴.

选③：

∵，

∴.

20．某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：

表中，．

若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．

(1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

【答案】(1)选择模型②，理由见解析；

(2)6.

【分析】（1）根据已知，根据的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；

（2）与可用线性回归来拟合，有，求出系数，得到回归方程，即可得到成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，代入，即可求出结果.

【详解】（1）应该选择模型②.

由题意可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.

（2）由已知，成本费与可用线性回归来拟合，有.

 由已知可得，，

所以，

则关于的线性回归方程为.

成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，

当（吨）时，（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.

21．已知函数是定义在上的偶函数，其中．

(1)求a的值；

(2)若关于x的不等式对都成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由偶函数的定义求解参数；

（2）不等式等价于对恒成立，通过换元和基本不等式求算式的最小值即可.

【详解】（1）因为是偶函数，所以，则，

所以对任意实数x都成立，所以，解得．

（2）由（1）知，，

因为关于x的不等式，即对恒成立，

因为，所以，

原问题转化为对恒成立，

设，则对任意的恒成立，

因为，其中，

而，当且仅当时，即时等号成立，

所以时，取最小值．

所以．因此实数m的取值范围是．

22．设函数，，．

(1)时，求在处切线方程；

(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.

（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.

【详解】（1）时，，

∵，∴，

∵，则切线方程为，即.

（2）设函数，则，

令，则，

当，即时，，即，

即，

所以成立，此时符合题意；

当，即时，令，解得，

所以在区间上单调递减，

又由，此时在上单调递减，

所以，显然不满足题意，

综上可得，实数a的取值范围为.

（3）取，由（2）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，

因为，令，代入得到，

即，且，

令，，即，

代入化简得到，

所以成立．

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.