2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春外国语学校高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．设集合,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合,再根据交集的定义求解即可.

【详解】因为,

所以,

解得,

即;

因为,

所以,

即,

所以,

即.

故选:C.

2．已知，若集合，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，

若，则或，不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

3．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

5．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（    ）

A．0.01245 B．0.0578 C．0.02865 D．0.03745

【答案】D

【分析】根据题意结合全概率公式运算求解.

【详解】记“某地区的男性”为事件A，“某地区的女性”为事件B，“某地区的色盲”为事件C，

由题意可得：，

所以.

故选：D.

6．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意知：，所以，故，令得所有项系数之和为.

7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，

 这三种情况是互斥的，每一种情况的事件都是相互独立的，

 所以灯泡不亮的概率为，

 所以灯泡亮的概率为，故选D．

8．已知函数有两个不同极值点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点，用导数法，求出相切时对应的，即可根据图形得出范围

【详解】，函数有两个不同极值点有两个不同解有两个不同交点.

如图所示，与切于点，故，又，综上可解得，故当时有两个不同交点，

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值就越接近于1

B．对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越大

C．随机变量，若，，则

D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，

【答案】ACD

【分析】根据相关系数的含义，可判定A正确；根据对于独立性检验的定义，可判定B错误；根据二项分布的期望与方差，列出方程组，求得的值，可判定C正确；经代换后的线性回归方程为，得到且，可判定D正确.

【详解】对于A中，根据相关系数的含义，可得当时，相关性越强，所以A正确；

对于B中，对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越小，可判定B错误；

对C中，由随机变量，因为，，

可得，解得，可判定C正确；

对于D中，以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，

可得且，所以，所以D正确.

故选：ACD

10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列说法不成立的是（    ）

A．若且，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【答案】ACD

【分析】A项，通过设出和的值，即可得出结论；B项，通过作差后与0比较，即可得出结论；C项，通过作差后与0比较，即可得出结论；D项，通过分析已知条件得出和与0的关系，讨论的取值，即可得出结论.

【详解】由题意，

A项，

当，时，满足，但，

∴A错误，

B项，

∵，

∴，

∴，

∴B正确，

C项，

∵，

∴，

∴C错误，

D项，

∵，，

∴，，，

当时，则，

∴D错误，

故选：ACD.

11．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（    ）

A．抽取2次后停止取球的概率为0.6

B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为0.9

C．取球次数的期望为1.5

D．取球3次的概率为0.1

【答案】BCD

【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.

【详解】设 为取球的次数,则可取，

故可知：，

，

，

对于A，抽取2次后停止取球的概率为：，

故A错误；

对于B，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：，

故B正确；

，

故C正确；

取球三次的概率为，

故D正确.

故选：BCD

12．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（    ）

A．当时，

B．当时，

C．当时，Y的均值为

D．当（且）时，

【答案】ABD

【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.

【详解】对于A：当时，，，则，选项A正确；

对于B，当时，由，，可得X=4,Y=1或，，

所以，选项B正确；

对于C，当时，Y的可能取值为1，2，

则，

，则Y的均值为，选项C错误；

对于D，当（且）时，，，则，选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若,,则的取值范围是        .

【答案】

【分析】根据绝对值定义求范围,再根据不等式性质求出结果.

【详解】因为,

所以,

又,

所以,

所以.

故答案为:.

14．已知命题.若为假命题，则的取值范围为     .

【答案】

【分析】首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题，从而转化为恒成立，利用导数研究最值，即可求出的取值范围.

【详解】为假命题

为真命题，故，

令，则，

令解得，令解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以.

故答案为：.

15．甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为，甲在第5局终止比赛并获胜的概率为      .

【答案】

【分析】根据题意，分为前2局均失败，后3局连胜和第1局胜，第2局负，后3局连胜，两类情况，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的加法公式，即可求解.

【详解】因为甲每局获胜的概率为，要使得甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：

①甲前2局均失败，后3局连胜，

则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为；

②甲第1局胜，第2局负，后3局连胜，

则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为；

所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为.

故答案为：.

16．在高三的一个班中，有的学生数学成绩合格，若从班中随机找出10名学生，那么数学成绩合格的学生人数，则取最大值时      .

【答案】

【分析】根据题意得到，得到且，进而求得的值.

【详解】由数学成绩合格的学生人数，可得，

则满足且，

解得且，所以，

所以取最大值时，实数的值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)若不等式的解集为空集，求的取值范围.

(2)若，的解集为，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，结合二次函数的图象和方程的根，即可求解.

（2）根据已知条件，结合韦达定理以及基本不等式，即可求得.

【详解】（1）由题意，函数，不等式的解集为空集，

所以恒成立，即，解得，

故的取值范围.

（2）因为，的解集为,所以有两个不同实根，

即是的两个实根，故，，

故同为负值，所以，，

所以=，

当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为.

18．哈三中高二数学备课组对学生的记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如下表所示：

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；

（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力.

（参考公式：，）

【答案】（1）；（2）判断力为5.4.

【分析】（1）直接利用公式求解即可

（2）把代入回归方程中求解

【详解】解：（1）由表中数据可得，

，

，

所以，

所以，

所以关于的线性回归方程为，

（2）当时，，

所以记忆力为9的学生的判断力约为5.4

19．某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为.

(1)求m，n的值（结果用分数表示）；

(2)完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值的独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？

(3)在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.

附临界值表及参考公式：

，.

【答案】(1)，；

(2)列联表见解析，不能

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据得到被调查的男女上的人数，以及有飞天宇航梦和无飞天宇航梦的男生和女生的认识，进而求得的值；

（2）根据（1）中的数据列出的列联表，求得的值，结合题意，即可得到结论；

（3）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，

男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

所以，.

（2）解：根据（1）中数据填表，

可得

根据小概率的独立性检验，

所以没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关.

（3）解：根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3，

可得，，，

故随机变量的分布列为

所以的数学期望.

20．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则

（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率

（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，

由于与互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故

，

．

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望

【解析】1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．

21．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的极值．

【答案】(1)

(2)极大值，极小值

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）利用导数求得极值点，代入计算，即可求得答案.

【详解】（1）由题意 可得,

则，，

则切线方程为，即.

（2）令或，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故在处取得极大值，在处取得极小值

22．高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．

(1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；

(3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

【答案】(1)

(2)

(3)需要对生产工序进行改良

【分析】（1）先求每个AI芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解；

（2）先求，利用导数判断单调性可求解；

（3）利用条件概率求出AI芯片的合格率，与93%比较可得结论.

【详解】（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则

  .

（2）由题意，

∴

令，则，

当，，为增函数；

当，，为减函数；

所以在处取到最大值．

（3）记事件B＝“人工检测达标”，

则，

又，

所以，

所以需要对生产工序进行改良．