2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二下学期6月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二下学期6月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用交集的定义可求得结果.【详解】由已知可得.故选：A.2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.【详解】解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；对于B：为偶函数，且在上单调递减，故B错误；对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错误；对于D：定义域为，且，故为偶函数，又，所以在上单调递增，故D正确；故选：D3．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由对数函数的单调性判断，再由指数的运算得到，即可判断.【详解】由以及，可得.故选：D.4．在的展开式中，常数项为（    ）A． B．120 C． D．160【答案】C【解析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】展开式的通项 ，令 常数项故选：C．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意,,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.6．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“（）”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】用定义法进行判断.【详解】充分性：若，，此时，而，满足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立；必要性：若，则，此时.故必要性满足.故选：B7．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则的增长率约为（，）（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得结果.【详解】解：当时，，当时，，所以，，故的增长率约为.故选：C.8．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意求得函数是以8为周期的周期函数，进而求得，结合周期性，即可求解.【详解】解：由函数是定义域为的奇函数，可得，又由，可得，所以，可得，所以函数是以8为周期的周期函数，且，因为函数为奇函数，可得，所以，又由，可得，即，，所以，所以 .故选：B.9．已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设，将问题化为在上有实数根，即与的图象在有交点，利用导数研究在的值域，数形结合求参数范围.【详解】关于原点对称的函数为，即，若函数图象上存在关于原点对称的点，则与在上有交点，所以方程在上有实数根，即在上有实数根，即与的图象在有交点，，所以在上单调递增，所以，所以，所以.  故选：D.10．已知函数，给出下列四个结论：①若，则函数至少有一个零点；②存在实数，，使得函数无零点；③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.其中所有正确结论的序号是（    ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】在同一坐标系中作出的图像，利用数形结合法求解.【详解】①当时，，令，得，在同一坐标系中作出的图像，如图所示：由图像及直线过定点（0，3）知函数至少有一个零点，故正确；②当时，作出的图像，由图像知，函数无零点；③当时，在同一坐标系中作出的图像，如图所示：由图像知：函数有三个零点，故错误；④当时，，当时，，当时，由图像知：对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，故正确.故正确为：①②④故选:B. 二、填空题11．不等式的解集是          .【答案】 【分析】进行移项通分，变形成一元二次不等式求解.【详解】.解得或.故答案为： 12．等比数列中，，，成等差数列，若，则公比           ．【答案】【分析】由等差中项的性质以及等比数列的通项列方程即可求解.【详解】因为，，成等差数列，所以，可得，因为，所以，解得：，故答案为：.13．计算：          .【答案】/【分析】化简式子，即可得出式子的值.【详解】由题意，，故答案为：.14．已知正数，满足，若恒成立，写出一个满足条件的值            .【答案】(答案不唯一，大于等于均可)【分析】由基本不等式求出即可得出答案.【详解】正数，，若恒成立，则，因为，所以，当且仅当时取等，所以.故答案为：(答案不唯一，大于等于均可).15．在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论：①数列可能为常数列；②对于任意的，都有；③若，则数列为递增数列；④若，则当时，.其中所有正确结论的序号为      .【答案】①③④【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同号，当时，，②错误；当时，推导出此时为常数列，①正确；作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.【详解】因为，所以，因为任意的都有，所以，所以与同号，当，则时，都有，②错误；当时，，所以，同理得：，此时为常数列，①正确；，由②知：若，则，所以，则数列为递增数列，③正确；由与同号，当，则时，都有，且此时，所以数列为递减数列，综上：若，则当时，，④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点睛：本题解决关键是将递推式变形为，从而结合的取值判断得的取值范围，从而得解. 三、解答题16．已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1），，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此（2），因此17．已知函数，(1)当时①写出函数图象的对称轴方程，顶点坐标；②求解不等式.(2)若，求函数最小值的解析式.【答案】(1)①对称轴方程为，顶点坐标为；②或.(2) 【分析】（1）①当时，将函数的解析式表示为顶点式，可得出函数图象的对称轴方程与顶点坐标；②利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集；（2）对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出在的不同取值下的表达式.【详解】（1）解：当时，.①函数图象的对称轴方程为，顶点坐标为；②由可得，解得或.所以，不等式的解集为或.（2）解：因为二次函数图象的对称轴为直线.①当时，在上单调递增，则；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则；③当时，函数在上单调递减，则.综上所述，.18．某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生.为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，，，，，得到初中生组的频率分布直方图和高中生组的频数分布表.分组区间频数21014122高中生组  (1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记为3人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；(3)若用样本的频率代替概率，用表示高中阅读时间，“”表示阅读时间在情况，“”阅读区间在的阅读情况.相应地，用表示初中组相应阅读时间段的情况，直接写出方差，大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)高中部的学生人数为人，估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数为人；(2)的分布列见解析，；(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图和频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可；（2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可；（3）根据数学期望和方差的定义即可得出答案.【详解】（1）100名学生中高中生有人，初中生有人，设高中部的学生人数为，则有，设100名学生中初中生在小时内的人数为，则有，100名学生中高中生在小时内的人数为人，因此全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数估计为：；（2）课外阅读时间不足10个小时的样本中，初中学生人数为人，高中学生人数为人，所以，因此有，，，所以的分布列如下：的数学期望为；（3），理由如下：，则，，则，，，则，，则，，则.19．已知函数，在点处的切线方程是.(1)求，的值；(2)设函数，讨论函数的零点个数.【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2），求函数的零点个数即与图象的交点个数，对求导，求出的单调性和极值，画出的图象，结合图像即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，又因为在点处的切线斜率为，又，求得：.（2）由（1）知，，令，则，求函数的零点个数即与图象的交点个数，，，令，解得：；令，解得：或，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，的图象如下：  当或，与图象有1个交点，当或，与图象有2个交点，当，与图象有3个交点.20．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上有最小值，求的取值范围；(3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.（2）利用导数分类讨论函数在区间内的最值情况作答.（3）变形不等式，构造函数，利用导数探讨恒成立的k的范围作答.【详解】（1）当时，，求导得：，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2），，函数，求导得：，显然恒有，则当时，，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意；当时，由，得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，函数取得最小值，所以函数在上有最小值，的取值范围是.（3），因为存在，使得当时，恒有成立，则有存在，使得当时，，令，即有，恒成立，求导得，令，，因此函数，即函数在上单调递增，而，当，即时，，函数在上单调递增，，成立，从而，当时，，，则存在，使得，当时，，函数在上单调递减，当时，，不符合题意，所以的取值范围是.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.21．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．(1)分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；(3)已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析； 【分析】（1）根据题中定义判断（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解【详解】（1）数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”．因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，所以数列1，2，3，4，是“数列”；因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以数列2，6，8，12不是“数列”；（2）不是“数列”．假设是“数列”，因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数．所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．综上可得不是“数列”．（3）设等差数列的公差为，则，，假设存在三项使得，成立，即，展开得，当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；所以中存在成等比数列．所以，数列为“数列”．