2022-2023学年福建省三明市四地四校高二下学期期中联考协作数学试题含答案

2022-2023学年福建省三明市四地四校高二下学期期中联考协作数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，

因此，.

故选：D.

2．函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数乘法运算规则即可求得函数的导数.

【详解】由，可得

故选：D

3．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正态分布的性质即可求得的值.

【详解】随机变量服从正态分布，若，则

故选：B

4．现给定两个命题：命题：对任意的，；命题：存在，使.则（    ）

A．命题，都是真命题 B．命题，都是假命题

C．命题是真命题，命题是假命题 D．命题是假命题，命题是真命题

【答案】C

【分析】根据三角函数的有界性，判断出命题是真命题；根据二次函数的配方法，判断出命题是假命题，即可得到答案.

【详解】因为对任意的，，

所以命题是真命题；

因为，

所以命题是假命题.

故选：C.

5．若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二项展开式各项系数和为可求出的值，然后写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】展开式的各项系数和为，解得，

则的展开式通项为，

令，可得，因此，展开式中的常数项为.

故选：A.

6．具有线性相关关系的两变量，满足的一组数据如下表，若与的回归直线方程为，则的值为（    ）

A．6 B．5 C． D．4

【答案】A

【分析】通过表格数据求出中心点，再将其带入与的回归直线方程中计算即可.

【详解】由表格数据可求得，

，

因为与的回归直线方程为且其必过点，

故将代入可得，

故选：A.

7．永沙高级中学学生会有8位学生春游，其中高一学生2名､高二学生3名､高三学生3名.现将他们排成一列，要求2名高一学生相邻､3名高二学生相邻，3名高三学生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（    ）

A．288种 B．144种 C．72种 D．36种

【答案】B

【分析】先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，排成一排，然后3名高三学生去插空即可.

【详解】根据题意，分2步进行：

第一步，先将2名高一学生看成整体，3名高二学生看成整体，然后排成一排有种不同的排法，

第二步，将3名高三学生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法，

根据分步原理，共有种不同的排法，

故选：B

8．从标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中每次取出1张卡片，抽出的卡片不放回，事件A：“第一次抽出的卡片上的数是质数”，事件B：“第二次抽出的卡片上的数是偶数”，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概型求出第一次抽出的卡片上的数是质数、第一次抽出的卡片上的数是质数且第二次抽出的卡片上的数是偶数的概率，再用条件概率公式计算作答.

【详解】标有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中，

其中卡片上的数是质数的有2，3，5，7，卡片上的数是偶数的有2，4，6，

所以，，

所以.

故选：B

二、多选题

9．若，，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项.

【详解】因为，，

对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，当时，，C错；

对于D选项，，则，D对.

故选：ABD.

10．如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．当时，取得极小值． D．当时，取得极大值

【答案】BD

【分析】根据导函数的符号逐项分析.

【详解】当时，的符号有正有负，不是单调的函数，A错误；

当时，是减函数，B正确；

，不是极值点，C错误；

当时，单调递增，当时，单调递减，

在处，取得极大值，D正确；

故选：BD.

11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（    ）

A．，，是两两互斥的事件

B．事件B与事件相互独立

C．

D．

【答案】ACD

【分析】由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断A；直接利用条件概率公式求出，可以判断C;利用全概率公式求出，即可判断D；利用可以判断B.

【详解】解：由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故A正确；

，，.

所以.故C正确；

同理，可得，

所以.故D正确；

因为,而，

所以,

所以事件B与事件不是相互独立事件.故B错误.

故选：ACD.

12．对于任意实数，有，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据二项式定理展开式的特征可判断AB，由赋值法即可求解CD．

【详解】，

则的展开式的通项公式为：，

当时，，故A正确；

当时，，故B正确；

当时，，，

当时，，即，所以，故C正确；

当时，，即，故D错误．

故选：ABC．

三、填空题

13．随机变量的分布如下表，则    .

【答案】

【分析】先求得参数a的值，再求得，进而求得的值.

【详解】由，可得，

则，

则

故答案为：

14．曲线在点处的切线方程为        .

【答案】

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出时的函数值，利用直线方程的点斜式得答案．

【详解】由，得，

，又时，，

曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：．

15．已知实数，，则的最小值是      .

【答案】3

【分析】构造成对勾函数的形式,结合基本不等式来解.

【详解】,令,则,

当且仅当即时等号成立.故的最小值为3.

故答案为：3

16．若函数有两个零点，则实数的取值范围是       .

【答案】

【分析】令可得，其中，令，则问题转化为：直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.

【详解】因为，由可得，其中，

令，则直线与函数的图象有两个公共点，

且，令可得，列表如下：

当时，；当时，，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式化简 ,即可由集合的交运算求解，

（2）将转化为，列不等式即可求解.

【详解】（1）∵当时，，或，    

所以，

（2）或，，

因为，，所以,

所以，解得.            

所以满足，的实数的取值范围是.

18．已知，函数的单调递减区间为，区间.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)“”是“”的充分条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数导数，令即可求出单调递减区间；

（2）由题可得，列出不等式组即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

由，有，得，

所以的单调递减区间为；

（2）因为，有得，

又“”是“”的充分条件，可知，

有，得，故实数的取值范围为.

19．为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球获得一等奖，恰好取到两个红色球获得二等奖，恰好取到一个红色球获得三等奖.

(1)若取球过程是无放回的，求“获得三等奖”和“获得二等奖以上”的概率；

(2)若取球过程是有放回的，取到红色球的个数记为，求的概率分布列及数学期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，

【分析】（1）取到红色球的个数记为，由古典概率的公式求解即可.

（2）因为 ，利用二项分布的概率公式求出的概率分布列，再求出数学期望.

【详解】（1）取到红色球的个数记为，获得一、二、三等奖分别对应于、、

根据超几何分布可知：；

法一：

.

法二：.

故“获得三等奖”的概率为，“获得二等奖以上”的概率为；

（2）随机变量的可能取值为：；且        

，

的分布列如下：

所以

20．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：

(1)根据以上数据，求关于的线性回归方程；

(2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少.

附：参考公式：回归方程，

其中，.

参考数据：，.

【答案】(1)

(2)该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元.

【分析】（1）计算相关数据代入回归方程公式中计算即可；

（2）设工厂获得的利润为万元，写出关于单价的二次函数，求出最大利润即可.

【详解】（1）因为，

，

所以.

则，

因此回归直线方程为.

（2）设工厂获得的利润为万元，

则，

所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元.

21．下表是某省的A市的某种传染病与饮用水卫生程度的调查表：

(1)依据的独立性检验，能否认为某省A市得这种传染病与饮用不干净水有关；

(2)已知某省A市、B市和其它县市人口占比分别是20%、15%、65%，以调查表数据的频率估计A市得某种传染病的概率，经过深入调查发现B市和其它县市得某种传染病的概率分别为12%、15%，从该省中任意抽取一人，试估计这个人得某传染病的概率.

附表及公式：，其中.

临界值表：

【答案】(1)有关系

(2)

【分析】（1）根据题意，利用公式求得的值，结合临界值表，即可得到结论；

（2）结合题意，利用全概率公式即可求解.

【详解】（1）零假设得这种传染病与饮用水独立，既得这种传染病与饮用不干净水没有关系.

由表中数据可得，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，既认为得这种传染病与饮用不干净水有关系，此推断犯错误的概率不大于.

（2）设“任意抽取一人，此人得某种传染病”，记“任意抽取一人来自A市”，“任意抽取一人来自B市”，“任意抽取一人来自其他县市”，

则，且，，两两互斥.

根据题意得，，

，，

由全概率公式得

所以从该省中任意抽取一人，这个人得某传染病的概率为.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．

【答案】(1)极小值是，无极大值.

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，列出，，的变化情况表，求出单调区间及函数的极值；

（2）令的导数在上大于零恒成立，分离出参数，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令大于等于最小值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为．

当时，.

当x变化时，和的值的变化情况如下表：

由上表可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

极小值是，无极大值.

（2）由题知，得．   

若函数为上的单调增函数，

则在上恒成立，即不等式在上恒成立．

也即在上恒成立．         

令，则．

当时，，

在上为减函数，

， 所以．

∴的取值范围为．