2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省武威市凉州区高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．函数在区间上的平均变化率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平均变化率的定义即可求得本题答案.【详解】因为，所以，所以在区间上的平均变化率.故选：B2．已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解.【详解】因为点，所以点A关于原点的对称点的坐标为，故选：D3．函数在点处切线的斜率为(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义求切线斜率.【详解】由题设，则，所以处切线的斜率为2.故选：D4．空间两点，之间的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间两点间距离公式进行求解.【详解】.故选：B.5．给出下列五个导数式：①；②；③；④；⑤.其中正确的导数式共有（  ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】由初等函数的导数公式求各项对应函数的导函数，即可判断它们的正误.【详解】由，①正确；由，②错误；由，③正确；由，④错误；由，⑤错误；正确的共有2个.故选：A6．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ）A．－6 B．6C．3 D．－3【答案】B【分析】由和的数量积为0，解出k的值.【详解】由题意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故选：B.7．如图，在四面体OABC中，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量基本定理求解出，从而求出.【详解】因为，所以，又，所以．故选：D8．函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据单调性与导数的关系判断．【详解】由题意，知的解集即的单调递减区间，故的解集为．故选：A． 二、多选题9．一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则（    ）A．该质点在前2秒内的平均速度为24m/sB．该质点在第1秒的瞬时速度为12m/sC．该质点在第2秒的瞬时加速度为D．该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒【答案】BCD【分析】A首先求出2秒内的位移，即可得平均速度；B利用导数求第1秒的瞬时速度；C、D应用二阶导数的物理意义判断.【详解】因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s， A错误．因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为， B正确．设，则，所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；当时取得最小值，D正确．故选：BCD10．已知函数，则（    ）A．的极小值为2B．有三个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】，，令，解得：或，时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增；的极小值为：，的极大值为：，有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误；对C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，故C正确；对于D，，解得：，当时，， 切线方程为：，即，故D正确.故选：.11．关于空间向量，以下说法正确的是（    ）．A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是钝角C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面【答案】AC【分析】根据空间向量共面的性质判断选项A；利用向量夹角的取值范围判断选项B；根据基底的定义判断选项C；根据空间向量共面的充要条件判断选项D．【详解】选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；选项B，若，则是钝角或者，错误；选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；选项D，对空间中任意一点，有，，四点不共面，错误；故选：AC12．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的为（    ）A． B．C． D．为平面的一个法向量【答案】BC【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、.对于A选项，，，则，A错；对于B选项，，，则，B对；对于C选项，，故，C对；对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.故选：BC. 三、填空题13．已知向量 ， 若 ，则实数        ．【答案】【分析】利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故答案为：.14．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是        ．(填“平行”或“相交”)【答案】相交【分析】通过平面的法向量和直线的方向向量的特征，利用向量与的数量积判断两向量是否垂直，进而可得到直线与平面的位置关系.【详解】因为，，所以，从而直线与平面不平行且，故直线与平面相交.故答案为：相交.15．函数在点处的切线的方程为           .【答案】【分析】求出，求导，得到即切线斜率，用点斜式求出切线方程，化为一般式即可.【详解】，，，所以在点处的切线的方程为：，整理得：故答案为：16．设，则满足在上恒正的是          .（填写序号）①；②；③；④.【答案】①③【分析】求导，根据题意逐项分析运算.【详解】对①：，则，故在上恒成立，①成立；对②：，则，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；对③：，则，故在上恒成立，③成立；对④：由，解得，故的定义域为，则，故在上恒成立，④不成立；故答案为：①③. 四、解答题17．在中，已知，，且，，求，.【答案】，【分析】利用转化法，结合平面向量的数量积运算法则即可得解.【详解】在中，，，且，，所以，，，故，则，，则.18．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义可求得切线方程；（2）利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）令，得或，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.19．已知正方体的棱长为1，如图以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.分别是的中点.(1)求直线的一个方向向量；(2)证明：平面.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据空间点的坐标即可得向量坐标，进而根据方向向量的定义即可求解，（2）根据平面法向量和直线方向向量垂直，即可求值.【详解】（1），因此,则直线的一个方向向量为，（2）平面，平面,则 ，又因为,,平面,故平面，因此取平面的法向量为，由于则，而平面，因此//平面.20．设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值.【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答.【详解】（1）函数，求导得：，则有，而，于是得，即，所以曲线在点处的切线方程是.（2）函数，求导得：，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，.21．如图，在正方体中，为棱的中点．求证： （1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明，可得出平面；（2）结合（1），平面的法向量是，然后求出平面的法向量，进而可证明，从而可知平面平面.【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，所以，，，，设平面的法向量，则，取，得．因为，所以，所以平面；（2）设平面AEC的法向量，则，取，得，，平面平面.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.22．已知函数.(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义，列出方程，求解即可得出答案；（2）根据的范围讨论，求出导函数，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间.【详解】（1）由已知可得，.根据导数的几何意义可知，，即，所以.（2）由（1）知，，的定义域为.当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，由可得，.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.综上所述，当时，则在上单调递增；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.