2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二下学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.2．如图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（    ）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】由题可得，可得为直径时最大.【详解】因为，A，B是单位圆上的动点，所以的最大值为2，此时与反向.故选：D.3．已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据复数的除法运算以及复数相等的条件求出即可得解.【详解】由，得，得，得，得，所以.故选：C4．已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.【详解】，即或，又是的充分不必要条件，所以，即的取值范围是.故选:A.5．函数的图像最有可能的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的函数，判断其奇偶性，再利用奇偶性及在上的零点个数判断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，D不正确；当时，由得：，而，因此，解得，于是得在上有且只有一个零点，B，C不正确，A正确.故选：A6．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，将问题转化为在有两个零点，列出不等式求得的取值范围.【详解】当时，，因为在上有且仅有2个零点，所以在有两个零点，    则有，解得.故选：D7．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：  等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B. 8．已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.【详解】，当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立，当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴，∵恒成立，∴，∴，∴，令，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴．故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合构造新函数法是解题的关键. 二、多选题9．已知、是随机事件，则下列结论正确的是（    ）A．若、是互斥事件，则B．若、是对立事件，则、是互斥事件C．若事件、相互独立，则D．事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率【答案】BD【分析】利用互斥事件的定义可得出，进而可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式以及独立事件的概率公式可判断C选项；列举两个事件所包含的基本情况，可判断D选项.【详解】对于A选项，若、是互斥事件，则，则，A错；对于B选项，若、是对立事件，则、是互斥事件，B对；对于C选项，若事件、相互独立，则，C错；对于D选项，事件、至少发生一个包含三种情况：、、，事件、恰好发生一个包含两种情况：、，因此，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，D对.故选：BD.10．已知，则在二项式的展开式中，正确的说法是（    ）A． B．常数项是第3项C．各项的系数和是1 D．第4项的二项式系数最大【答案】ACD【分析】先求出值，再写出二项式的展开式的通项公式，根据选项逐一检验即可．【详解】由得对；二项式的展开式通项，令，可得，故常数项是第4项，B错；二项式中，令，可得各项的系数和是正确·；由可得，二项式展开式共有7项，第4项的二项式系数最大，正确．故选：．11．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（    ）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列【答案】ABC【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，；当为奇数时，，，最大；综上所述：数列的最大项为，A正确；对于B，当为偶数时，，，最小；当为奇数时，；综上所述：数列的最小项为，B正确；对于C，，，，，，，数列为递增数列，C正确；对于D，，，；，，，又，，数列为递减数列，D错误.故选：ABC.12．已知，且，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，直接利用基本不等式判断；对于B，利用“1”的代换，再利用基本不等式判断；对于C，由判断；对于D，由得到，再利用函数的单调性判断.【详解】对于A，，当且仅当时取“=”，A正确；对于B，，当且仅当，即时取“=”，B不正确；对于C，因，则有，即，当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，，C正确：对于D，由得，，而函数在上单调递增，因此，不正确.故选：AC 三、填空题13．计算：      .【答案】1【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，求解即可得出结果.【详解】根据指数幂以及对数的运算性质，可知.故答案为：1.14．写出命题“”的否定：          .【答案】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“”的否定为.故答案为：.15．假设某市场供应的口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他市场占有率优质率在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌，表示买到的是优质品，则          .【答案】【分析】根据题意，由全概率公式求出，由概率乘法公式可得，进而由贝叶斯公式计算可得答案.【详解】由全概率公式得：，由贝叶斯公式得.故答案为：16．如图所示，已知双曲线和椭圆有共同的右焦点，记曲线为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若，分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则周长的最小值等于          ．【答案】2【分析】根据双曲线和椭圆定义，表示出周长与、的关系，根据三角形性质——两边之差小于第三边得出当，，三点共线时周长最小的结论，即可求出答案.【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为，根据双曲线和椭圆定义可知，，得周长为：根据三角形性质可知，当，，三点共线时取最大值，此时周长最小，当，，三点共线时，最小周长为故答案为：2 四、解答题17．已知数列是公差不为的等差数列.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)16 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列前项和公式即可得解；（2）根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可.【详解】（1）因为，所以公差，所以；（2）设等差数列的公差为，则，因为，所以，即，则，所以，所以，解得.18．已知函数.(1)若，求函数在处的切线方程；(2)求函数的最大值.【答案】(1)(2)当时，函数无最大值；当时， 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）对求导，分类讨论和，判断与的大小，即可求出的单调性和最大值.【详解】（1）当时，，，又则函数在处的切线方程为：；（2）当时，，此时函数在上单调递增，无最大值；当时，由可得.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.综上，当时，函数无最大值；当时，.19．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.  (1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）如图，连接，由题意知为的直径，所以，  因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面；（2）由（1）知两两相互垂直，如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，由（1）知平面，故平面的法向量可取为.设平面的法向量为，由，，则有，可取设二面角的平面角为，则，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.  20．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．(1)当时，求OP的长；(2)当面积最大时，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.【详解】（1）由题意，在中，，，，∴为等腰直角三角形，∴在以为直径的圆上，取的中点，连接，∴，，在中，，，由正弦定理，，解得：（2）由题意及（1）知，，，在中，，，由余弦定理，，即，即，∴，当且仅当时，等号成立，又，∴当且仅当时，的面积最大，此时，∴．21．已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.(1)求的方程；(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解；（2）设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明．【详解】（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，  最小值为，又，解得，所以的方程为.（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立得，则，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），即，所以，所以，又，所以为定值.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．利用韦达定理化简，准确计算是解题的关键.22．某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：组别号12345678910111213男同学得分5455455444554女同学得分4345554555535分差1110-101-1-1-102-1 组别号141516171819202122232425 男同学得分434444555433 女同学得分534543553455 分差-100-1010020-2-2 （I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P，.试问该课题研究小组是否会接受该模型.0.100.050.0102.7063.8416.635参考公式和数据：，；若，有，.【答案】（I）列联表见解析，没有把握；（Ⅱ）第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.【分析】（I）由已知可得列联表，再利用卡方公式计算即可；（Ⅱ），由题知，而，故不存在 而满足的i的个数为3，算出的概率为0.043，从服从总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，再利用二项分布概率公式计算即可.【详解】（I）由表可得 男同学女同学总计该次大赛得满分101424该次大赛未得满分151126总计252550所以，所以没有90%的把握说“该次大赛是否得满分”与“同学性别”有关；     （Ⅱ）由表格可得；   由题知，而，故不存在 ，而满足的i的个数为3，即当设从服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于的个体数为Y，则，所以，，综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.【点晴】本题考查独立性检验与正态分布的综合应用，涉及到正态分布的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.