2022-2023学年湖南省部分学校高二下学期期中模拟数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省部分学校高二下学期期中模拟数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省部分学校高二下学期期中模拟数学试题 一、单选题1．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（    ）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k【答案】C【分析】根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选：C.2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（    ）  A． B．C． D．【答案】B【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断.【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快，故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大，因为，所以.故选：B.3．若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】可设，结合求出的值，即可得解.【详解】因为，可设，则，解得，因此，.故选：B.4．正弦曲线y=sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是    A．[0，]∪[，π) B．[0，π)C．[，] D．[0，]∪[，]【答案】A【解析】先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．【详解】由函数，得.设，则以点P为切点的切线l的斜率为.设以点P为切点的切线l的倾斜角为，则.由，得故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，根据斜率的范围求倾斜角的范围，考查了学生对基础知识的灵活运用．属于基础题.5．若数列中，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】推导出对任意的，，可知数列的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，即可求得的值.【详解】因为，，可得，所以，，故对任意的，，所以，数列的奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，因此，.故选：C.6．已知函数在处的导数为2，则A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】根据题意，由极限的性质可得的值，结合导数的定义分析可得答案．【详解】根据题意，，又由函数在处的导数为2，即，故；故选：C.【点睛】本题考查函数导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．7．定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用“均倒数”的定义，求得的表达式，代入，利用裂项求和法求得所求的数值.【详解】根据“均倒数”的定义，有，故，故，，两式相减得，当时，也符合上式，故.所以，注意到，故，故选C.【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，考查运算求解能力.属于中档题.8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（    ）A． B． C．4 D．2【答案】B【分析】求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可．【详解】（1），，所以，，，所以， 故；故选：B【点睛】本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率． 二、多选题9．过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ）A．B．C．D．【答案】AB【分析】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐标写出切线方程，再将点P的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.【详解】∵.设曲线的切点为，则，.∴切线方程为.又切线经过点，则，解得或，∴切点为时，切线方程为；切点为时，切线方程为.故选：AB.10．记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（    ）A． B．的最大值为 C． D．【答案】AC【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由，所以，所以A正确；因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；由，所以，所以C正确；因为，所以，即，所以D错误.故选:AC.11．（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围.【详解】因为，所以．因为，所以（当且仅当，即时取等号），所以，所以．又因为，所以．故选：CD．12．已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用导数的几何意义及求导的基本运算即可求解.【详解】解：对A，由题知，点在上，所以，故A正确；对B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；对C，，虽然满足，，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为，也满足，，故C错误；对D，由题得，所以，故D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知函数的导函数，若，则        .【答案】【分析】根据导数运算法则可求得，代入即可构造方程求得结果.【详解】，，解得：.故答案为：.14．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝        .【答案】21【详解】在点处的切线方程为：，当时，解得，所以，，故答案为21. 15．设，，，……，，，则          .【答案】【分析】根据正余弦函数的导数求法，求的导数，并确定变化周期，即可求的解析式.【详解】由题设，，，，，，…，∴的变化周期为4，而.故答案为： 四、双空题16．已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为        时，最小，此时最小值为        ．【答案】          【分析】通过图像可知当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值，利用导数几何意义可构造方程求得，利用点到直线距离公式求得最小值.【详解】如图所示，当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值．令，解得：，，.故答案为：；. 五、解答题17．已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时，求得，当时，递推作差得，即，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得，得到，利用分组求和，即可求解．【详解】（1）当时，，所以，当时，因为，所以，两式作差得，即，因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；（2）令，则，，所以数列的公差，故，所以，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．【答案】或．【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l的方程（），利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，得到直线l的方程.【详解】∵，∴，∴曲线在点（0，1）处的切线的斜率为，其方程为，即．又∵直线l与平行，∴直线l的方程可设为（）．由得：或．∴直线l的方程为或．19．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二] ：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论. 20．已知曲线在点处的切线与曲线相切，求的值.【答案】【分析】求出的导数，求得切线的斜率可得切线方程，再由切线方程与曲线方程联立，根据得到的值.【详解】∵，，∴曲线在点处的切线方程为，即，又∵直线与曲线相切，当时，曲线变为直线，与已知直线平行，∴，可得，消去得，由得.21．已知函数，的导函数为，且满足，，求在处的切线方程.【答案】【分析】令，结合已知可得，则的解析式，由求参数，进而可得的解析式，最后应用导数的几何意义求在处的切线方程.【详解】令，则，所以，(为常数)，则，又，可得．所以，故，所以，又，所求切线方程为，即．22．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．