2022-2023学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二下学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省镇江市丹阳高级中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知等差数列的公差为，且成等比数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据成等比数列，和等差数列的公差为先求出，再求即可.【详解】由题意：，可得， 所以，故选：C2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则运动员在时瞬时速度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．【详解】解：因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.3．袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球，则，，因此，.故选：D.4．设，则=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二项展开式的通项公式可求的值.【详解】的二项展开式的通项公式为，令，故，故，故选：A.5．设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分布列的性质可判断A，根据数学期望公式可判断B，根据方差的性质可判断C，根据期望公式可判断D.【详解】由，得，故A错误；，故B错误；，因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.6．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算种算法的相关资料，要求每种算法安排一人，但甲不收集九宫算的资料，乙不收集运筹算的资料，则不同的分配方案种数有（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】就甲是否收集运筹算的资料分类讨论后可求不同的分配方案数.【详解】如果甲收集运筹算的资料，则其余4人共有种分配方案数.如果甲不收集运筹算的资料，则收集运筹算资料可安排其余3人，而甲可安排收集了知算、成数算、把头算的资料，有3种安排方法，其余的3人有种安排方法，故共有种分配方案数，综上，共有种不同的分配方案数.故选：D.7．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ）A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层【答案】D【分析】设该塔共有层，根据等差数列的求和公式计算即可.【详解】设该塔共有层，则，即，解得或（舍），即该塔共有层.故选：D8．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案.【详解】由得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得.因为不等式恒成立，所以恒成立.，设，则，故在上单调递增，所以，由题意恒成立，所以.因此实数t的取值范围是.故选：B 二、多选题9．设等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ）A． B．C．数列单调递减 D．对任意，有【答案】BCD【分析】由已知根据等差数列前项和公式与等差中项得出，即可根据等差数列性质对选项一一验证.【详解】，，，故B正确；而，故无法判断的正负，故A错误；，数列单调递减，C正确；当时，有最大值，即，D正确．故选：BCD10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（    ）A．每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同B．任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75C．任取一个零件，它是次品的概率小于0.06D．如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是【答案】BC【分析】由条件概率公式计算后判断．【详解】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥，由题意，，，，，由全概率公式第1次抽到次品的概率，第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是，A错；任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B正确；由A选项计算结论知C正确；，D错；故选：BC．11．关于及其展开式，下列说法错误的是（    ）A．该二项式展开式中二项式系数和是B．该二项式展开式中第项为C．当 时，除以的余数是D．该二项式展开式中共有有理项是项【答案】ACD【分析】利用二项式系数的性质可判断A的正误，利用二项展开式的通项公式可判断BD的正误，利用二项展开式结合整数的性质可判断C的正误.【详解】的二项展开式中二项式系数和为，故A错误.的二项展开式中的第10项为，故B正确.当 时，，故除以100的余数为，故C错误.的二项展开式的通项公式为，当且仅当时，为有理项，故共有个有理项，故D错误.故选：ACD.12．已知直线y=a与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】画出函数图像，得到x1，x2，x3的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确.【详解】在上单调递增，在上单调递减，.，在上单调递增，在上单调递减，.，则，A对.在上单调递增，，B错.在单调递减，，C对.对.故选：ACD. 三、填空题13．设等差数列，的前项和分别为，，若，则=____.【答案】【分析】根据等差数列前n项和与通项之间的关系,将数列的项之比化为前n项和之比,代入等式计算即可得出答案.【详解】因为，根据等差数列的性质，.故答案为：.14．现有5种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有______种.（用数字作答）【答案】420【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色.【详解】  如图：当顶点，同色时，顶点有5种颜色可供选择，点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择，此时与同色，1种颜色可选，点有3种颜色可选，共有种；当顶点，不同色时，顶点有5种颜色可供选择，点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择，此时与不同色，2种颜色可选，点就有2种颜色可选，共有种；综上可得共有种.故答案为：42015．在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有%，%，%的人患了甲流.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是________.(用分数作答)【答案】【分析】利用全概率公式可求这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率.【详解】设为“从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流”，设为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”，为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”，为“从这三个地区中任意选取一个人，该人为地区的人”，则，，.设为“地区的人患甲流”，为“地区的人患甲流”，为“地区的人患甲流”，则，，.故，故答案为：.16．已知，若对任意的不等式恒成立，则实数的最小值为_______.【答案】【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为恒成立. 令，判断出的单调性，转化为恒成立.利用分离参数法得到，令，利用导数求出，即可求出实数的最小值.【详解】恒成立，等价于，令，则，则，所以当时都有，所以单调递增.所以不等式转化为，即，即，即，即.令，则.当都有，所以单调递增；当时，都有，所以单调递减.所以所以，即的最小值为.故答案为：.【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值. 四、解答题17．已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.【答案】（1）7；（2）128；（3）.【分析】（1）根据二项展开式的通项公式即可获解；（2）令即可获解；（3）求出有理项的个数，再用插空法即可.【详解】（1）展开式的通项为，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，，即.（2）令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.（3）展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为.18．已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行. 第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为.求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的性质和定义即可求出；（2）求出，利用裂项相消法求出，即可证明.【详解】（1）由题可得，故.（2）且，则于是.19．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.20．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；(2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；(3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．【答案】(1)，(2)分布列见解析，1.9(3)在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意的所有可能取值为1，2，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可．（3）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断；【详解】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，所以，；（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为．依题意的所有可能取值为1，2．所以，．所以的分布列为120.10.9所以．（3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．因为，所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．21．已知正项数列满足且.(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，是否存在p、q使恒成立，若存在，求出p、q的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由已知条件可得，从而，即，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相减法求出，根据题中条件得出满足的条件，求得答案.【详解】（1），，为正项数列，，即， 是以为首项，以1为公差的等差数列，.（2），，，，，，又恒成立，，解得：，存在满足条件.22．已知定义在上的两个函数，.(1)求的单调区间及极值； (2)求函数的最小值.【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为；极小值为，无极大值(2)1 【分析】（1）对函数求导，求出极值点，列表分析单调区间，利用单调性求极值即可；（2）构造函数，对函数求导，列表分析函数的单调性，由函数单调性即可分析求出函数的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以，令，列表如下：单调递减极小值单调递增由表格可知：的单调减区间为，的单调增区间为，的极小值为，无极大值.（2）因为，所以，所以，由，所以令，所以，所以在上单调递增，而，，由零点存在性定理可知，存在一个，使得，则有，即有上述对函数分析：列表如下：单调递减极小值单调递增故.所以函数的最小值为1.