2022-2023学年江苏省徐州高级中学高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省徐州高级中学高二下学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州高级中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，则与向量平行的一个向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量共线定理判定即可.【详解】,则与向量平行的一个向量的坐标为.故选:C.2．若，则的值为（    ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据即可求解.【详解】若，则，所以,解得.故选:C.3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为，则，而，，因此，解得.故选：D4．一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，，，所以.故选：B5．在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算法则可得，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求【详解】由图形可得，所以，由正方体性质可得，所以，所以，又，与方向相反，所以.故选：B.  6．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（    ）A．720 B．360 C．240 D．120【答案】C【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.故选：C7．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（    ）A．4项 B．5项 C．6项 D．3项【答案】A【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解.【详解】由可得，当，,则，其展开式的通项为，令,得,解得；当,,则，其展开式的通项为，令，得，解得.综上所述：，所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.故选:A.8．在平行六面体中，是线段上一点，且，若，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】取利用向量，分别表示出，，再由空间向量基本定理列出等式即可求出答案.【详解】因为是线段上一点，且,所以，所以,又，所以，又因为,所以，所以，化简得：.故选：B   二、多选题9．若，则m的取值可能是（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【解析】根据组合的公式列式求解,再结合的范围即可.【详解】根据题意,对于,有0≤m﹣1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,若,则有,变形可得：m＞27﹣3m,解可得：m＞,综合可得：＜m≤8,则m＝7或8；故选：BC.【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题.10．7张卡片上分别写有，，，，，，，其中i为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件，则下列计算结果中正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】ABC选项，利用列举法求出，D选项，利用条件概率求出答案.【详解】A选项，7个数中，正实数为，，，，，共5个，故，A错误；B选项，7个数中，无理数为，，，，故，B正确；C选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是，，，，共4个，故，C错误；D选项，由条件概率得，D正确.故选：BD11．若，，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.【详解】因，则，A正确；展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，则，B正确；，而，则，C不正确；，而，则，D正确.故选：ABD12．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中不正确的是（    ）A．B．平面C．向量与的夹角是D．直线与所成角的余弦值为【答案】ACD【分析】利用向量的基底运算可求，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B的正误，利用向量的基底运算可求C,D的正误.【详解】对于A，，，所以，选项A错误；对于B，，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项B正确；对于C：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C错误；对于D，，,所以，，同理，可得;，所以，所以选项D错误．故选：ACD． 三、填空题13．的展开式中的系数为        ．【答案】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．【详解】，故它的展开式中的系数为，故答案为：．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．组合数被9除的余数是      ．【答案】8【分析】先求出，再利用二项式定理得到，求出组合数被除的余数是.【详解】∵，∴，其中；∴该组合数被除的余数是8．故答案为：8．15．甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有          种.【答案】30【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解.【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有种安排方法，若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有种安排方法，所以共有种安排方法.故答案为：30.16．三棱锥中，，，记二面角的大小为，当时，直线与所成角的余弦值的取值范围是      .【答案】【分析】取中点，连，，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值取值范围．【详解】取中点，连接，，．，，，且，，是二面角的平面角，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，0，，，1，，设二面角的平面角为，则，连、，则，，，，设、的夹角为，则，，，,,,则．故答案为：   四、解答题17．第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同的排法种数（用数字作答）.(1)3个合唱节目两两互不相邻；(2)前4个节目中要有合唱节目.【答案】(1)14400；(2)37440. 【分析】（1）先排5个独唱节目，再将合唱节目插空即可；（2）先求出三个合唱节目不出现在前四个位置的方法种数，根据“正难则反”原则求解.【详解】（1）先排5个独唱节目，有种方法种数，再把3个合唱节目用插空法排在独唱节目的首尾或之间，有种方法种数，所以一共有种.（2）8个节目（无限制条件）的排法有种方法，若三个合唱节目不出现在前四个位置，则应在后4个位置安排合唱节目，有种方法，所以符合题意的方法有种.18．已知在的展开式中第5项为常数项.(1)求的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)(2)，， 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解，（2）由通项以及有理项的定义即可求解.【详解】（1）展开式的通项公式为因为第5项为常数项，所以时，有，解得；（2）由题意得，，解得，4，7，将其代入通项中可得，，所以有理项分别为，，19．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在中，即可求解．（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可．解法二：过点作交于，证明平面，然后求解三角形即可．【详解】解：（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为． （2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）．设平面A1B1C的法向量为，则．∵，，且，∴，取v＝1，得平面A1B1C的一个法向量为， 且，又∵，于是点M到平面A1B1C的距离所以，点M到平面A1B1C的距离等于． 解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由⇒MN⊥平面A1B1C．在RtCMN中，由，CM＝1，得，所以，点M到平面A1B1C的距离等于．21．已知等式（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，其中ai（i＝0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）的值；（2）的值．【答案】（1）31；（2）160．【分析】（1）利用（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，采用赋值法可求得的值；（2）对已知关系式两边求导后，令x＝0即可求的值．【详解】（1）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，∴令x＝﹣1得：15＝a0，即a0＝1，再令x＝0，有a0+a1+a2+…+a10＝25，∴＝a1+a2+…+a10＝25﹣a0＝31；（2）∵（x2+2x+2）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，∴两边求导得：5（x2+2x+2）4•（2x+2）＝a1+2a2（x+1）+3a3（x+1）2+…+10a10（x+1）9，令x＝0得：5×24×2＝a1+2a2+3a3+…+10a10，即＝a1+2a2+3a3+…+10a10＝160；综上， ，    .22．如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.  (1)当平面时，求的值；(2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)(2)是， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，（2）由法向量的夹角即可求解二面角.【详解】（1）取的中点，连接并延长与相交，因为，，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，则，，所以即是平面的一个法向量，因为平面，所以，，解得；（2）  由（1）知，是平面的一个法向量，同理可求平面的一个法向量为，，即随着值的变化，二面角的大小为定值.且，所以二面角的正弦值为.