2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省徐州市铜山区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（   ）

A．// B． C． D．与相交

【答案】B

【分析】根据与平行，即可判断直线和平面的位置关系.

【详解】因为，，故可得，即//，则直线.

故选：B.

2．若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（    ）

A．625 B．1024 C．120 D．24

【答案】B

【分析】由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】依题意，每位实习学生均有4种报名方式，

由分步乘法计数原理可得不同的报名方式有种.

故选：B

3．的展开式的常数项为（    ）

A．15 B．16 C．120 D．124

【答案】D

【分析】根据二项式展开式的通项特征，结合乘法运算即可求解.

【详解】，

展开式中的常数项为，中含的项为，所以的常数项为，

因此的展开式的常数项为为，

故选：D

4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.

【详解】由题知，在正四面体中，

因为平面，

所以是的中心，

连接，则，

所以

.

故选：B

5．徐州有很多春游踏青的景点，现有甲、乙两个学校准备从彭园、九顶山、园博园、云龙湖、潘安湖5个旅游景点中随机选择一个组织学生去春游. 设事件A为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】根据题意，事件A为“甲和乙至少有一所学校选择园博园”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，可得，

又由事件B为“甲和乙选择的景点不同”， 可得，

所以.

故选：A.

6．两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.

【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.

同理：服从二项分布，所以.

因为，所以，所以.

对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，

所以当时，有，即.

故选：C

7．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．直线与所成角的正弦值为

C．向量与的夹角是

D．平面

【答案】D

【分析】利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A,利用向量的夹角公式即可判断BC,由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断D.

【详解】由题意可得,,

又，则

，故A错误，

由于，

则，，

又，

则，故B错误，

由于 ,所以向量与的夹角即为与的夹角，

由于等边三角形，故为，

进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误，

,

所以,进而可得 平面 ,

故 平面,故D正确，

故选：D

8．已知空间直角坐标系中，，三棱锥内部整数点（所有坐标均为整数的点，不包括边界）的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出三棱锥内部整数点的坐标，建立不等式，再根据方程有正整数解，借助隔板法列式作答.

【详解】设三棱锥内部整数点的坐标为，

依题意，，，则，令，，，

于是，令，即方程有正整数解，

因此三棱锥内部整数点（不包括边界）的个数即为方程的正整数解个数，

把8个相同小球排成一列，形成7个间隙，用3块板子插入其中的3个间隙，将8个小球分成4部分，

每种分法的各部分小球数即为方程的一个正整数解，共有种不同分法，

所以三棱锥内部整数点（不包括边界）的个数为.

故选：B

【点睛】思路点睛：涉及形如不等式一正整数解个数问题，可以增加变量转化为方程的不定解个数问题，再借助隔板法求解即可.

二、多选题

9．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若A，B是相互独立事件，则

D．若A，B是互斥事件，则

【答案】AC

【分析】计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，，故B错误；因为A，B是互斥事件，得，而，故D错误．

【详解】解：，故A正确；

当A，B是相互独立事件时，则，故B错误；

因为A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确；

因为A，B是互斥事件，，则根据条件概率公式，而，故D错误．

故选：AC．

10．下列命题正确的是（    ）

A．若共线，则一定存在实数使得

B．若存在实数使得，则四点共面

C．若共线，则

D．对空间任意一点与不共线的三点，若 ，其中且，则四点共面

【答案】BD

【分析】A由向量共线定理即可判定；B由平面向量基本定理可判定；C由向量共线分类讨论即可；D由平面向量基本定理推广即可.

【详解】对于A 选项，若，则不存在，则A选项错误；

对于B选项，共线时，则四点共线，合题；不共线时，由平面向量基本定理，可判定四点共面，故B选项正确；

对于C选项，若同向，则不成立，故C选项错误；

对于D选项，,则，所以

,所以四点共面，故D选项正确；

故选：BD.

11．已知的展开式的二项式系数和为64，则下列说法正确的是（    ）

A．所有偶数项的二项式系数和为

B．常数项为

C．二项式系数最大项为

D．系数最大项为

【答案】ABD

【分析】由二项式系数和为64可求出的值，由二项式系数和的性质可判断A；写出展开式的通项，令的指数为0可判断B；根据的值可得二项式系数最大值，从而判断C；由展开式的系数可知系数最大时为偶数，可逐一计算为偶数时的系数的值，比较大小即可判断D.

【详解】因为的展开式的二项式系数和为64，所以，所以，

所以二项式为，由二项式系数和的性质可知，

所有偶数项的二项式系数和是二项式系数和的一半，故A正确；

二项式的展开式的通项公式为，

令，得，故常数项为，故B正确；

显然当时二项式系数最大，则二项式系数最大项为

，故C错误；

因为，当为奇数时，展开式系数，

当为偶数时，展开式系数，

时，，

时，，

时，，

时，，

所以当时展开式系数最大，

这一项为，故D正确.

故选：ABD

12．在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是（    ）

A．存在唯一一点，使得

B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值

C．若直线平面，则点的轨迹长度为

D．若 ，则三棱锥的体积为

【答案】BCD

【分析】可证得平面，则当在线段上时都满足，即可判断A；可得是直线与平面所成的角，当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，即可判断B；可证平面平面，所以若直线平面，则点在线段上，求出的长度即可判断C；用向量法求出点到平面的距离，再求出的面积即可计算三棱锥的体积，可判断D.

【详解】对于A，在正方体中，，，

，所以平面，所以当在线段上时，

都满足，此时点有无数个，故A错误；

对于B，在正方体中，平面，

所以是直线与平面所成的角，

因为，且，，

所以当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，

所以当且仅当点与重合时，最大，故B正确；

对于C，分别取的中点为，连接，

在正方形中，因为分别是的中点，所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可证平面，平面，，

所以平面平面，所以若直线平面，

则点在线段上，点的轨迹长度即为线段的长度，

在中，，故C正确；

对于D，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，由得，

，，，

设是平面的一个法向量，则

，令得，

设点到平面的距离为，

则，

在中，，，

则等腰底边上的高，，

所以三棱锥的体积，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知随机变量，若，则       .

【答案】/

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解.

【详解】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为，

因为，则.

故答案为：.

14．甲罐中有2个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，再从乙罐中随机取出1个球，则从乙罐中取出的球是红球的概率为  .

【答案】

【分析】根据题意，分为甲罐中随机取出1个球为红球和甲罐中随机取出1个球为白球，两种情况，结合概率的乘法公式，即可求解.

【详解】根据题意，甲罐中有2个红球、3个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，

当甲罐中随机取出1个球为红球时，此时乙罐中有5个红球，1个白球，

其概率为；

当甲罐中随机取出1个球为白球时，此时乙罐中有4个红球，2个白球，

其概率为，

所以从乙罐中取出的球是红球的概率为.

故答案为：.

15．如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形和一个小正方形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有      种.

【答案】

【分析】把5个区域，分为①②③④⑤，分①③或②④中，恰有一个处同色和①与③同色，且②与④同色时，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】如图所示，把5个区域，分为①②③④⑤，

当①③或②④中，恰有一个处同色时，此时用4中颜色涂色，共有种涂法；

当①与③同色，且②与④同色时，此时用你3中颜色涂色，共有种涂法，

由分类计数原理，可得共有中不同的涂色方法.

故答案为：.

四、双空题

16．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为        ，当    时，质子位于6对应点处的概率最大.

【答案】     /     或

【分析】根据独立重复试验的概率公式求时质子位于原点的概率，再求质子位于对应点处的概率表达式并求其最值.

【详解】设第次移动时向左移动的概率为，

事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动，

所以事件时质子位于原点的概率为，

事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，

所以第次移动后质子位于对应点处的概率，

设，

则，

令可得，

化简可得，

所以，，所以，

令可得，，所以，

又，

所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大.

故答案为：；或.

五、解答题

17．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数

(1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？

(2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？

(3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？

【答案】(1)60

(2)42

(3)60

【分析】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解；

（2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解；

（3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个,

所以共有偶数为个.

（2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个，

万位为3千位为1共有个，

所以大于31000的数共有个.

（3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个；

第二种0不排在三个数的第一位，共有个

所以数字2和4不相邻的数共有个.

18．如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；

（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，利用棱锥的体积公式，求出及相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解.

【详解】（1）在正四棱锥中，连接，

四边形为正方形

 为的中点   

又点为的中点

为的中位线

又平面，平面，

平面.

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为正四棱锥的体积为，

所以正四棱锥的体积，

所以，

，,

设平面的一个法向量为，则

，即，令，则，

所以.

设平面的一个法向量为,则

，即，令，则，

所以.

设二面角的所成的角为，则

，

所以二面角的余弦值为.

19．甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记分，失败方记分，没有平局，谁先获得分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.

(1)求比赛结束时恰好打了局的概率；

(2)若现在是甲以的比分领先，记表示结束比赛还需要打的局数，求的概率分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）比赛打了6局结束的情况有两种，甲胜或乙胜，即可解出.

（2）分析可知，可能的取值为2,3,4,5，分别求出对应的概率即可.

【详解】（1）记比赛结束时恰好打了6局为事件A

若甲胜，则 ,

若乙胜，则.     

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为 ；

（2）所有可能的取值为2,3,4,5

.

.

20．已知，其中实数，且的系数为.

(1)求实数的值；

(2)计算：

（i）；

（ii）.

（结果用幂的形式表示）

【答案】(1)3

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）利用二项式定理的展开式的通项公式，可得答案；

（2）利用赋值法，结合方程思想，可得答案.

【详解】（1）的二项展开式的通项为，

令，得，                  

又，，；

（2）（i）由（1）得，

令得①，

令得②，

①②得，，

①②得，，

;

（ⅱ）令，则，

，           

的二项展开式的通项为，

为正数，为负数，

21．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有名男教师，名女教师报名，有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，本周随机选取人参加，每名女教师至多从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男教师至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为.每人每参加项活动可获得“体育明星” 积分分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：

(1)在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

(2)记随机选取的两人得分之和为，参加活动的女教师人数为，

（i）求与的关系；

（ii）求两人得分之和的数学期望.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）42.5

【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解，

（2）根据一名女教师以及一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，利用的分布列即可求解,由期望的性质即可得，或者利用分类加法以及概率乘法公式也可求解分布列,进而由期望公式求解.

【详解】（1）记有女教师参加活动为事件A，恰有1名女教师参加活动为事件B

     ，             

，         

故在有女教师参加活动的条件下，恰有1名女教师参加活动概率为

（2）根据题意，一名女教师参加活动可获得分数的期望为，

一名男教师参加活动可获得分数的期望为      

设恰有Y名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，

，

则，，．

所以Y的分布列为

则有，       

所以．       

法二：设恰有Y名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，

则，，．

22．如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.

(1)求证：；

(2)若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点为，则可证明，，从而可证得；

（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线与平面所成角的正弦的函数表达式，再利用函数的知识即可求解.

【详解】（1）取的中点为，连结，

，，，

又是以为直径的圆上一点，，

，平面，平面，，

平面，平面，，

 又，为的中点，，

，平面，平面，

平面，

在圆台中，平面，

，又因为在圆台中，圆圆，

，所以四边形为平行四边形，

且，

在中，为的中点，为中点，

，又，，又，

.  

（2）如图以为正交基底建立空间直角坐标系，

，

，，

设，则，

，

设平面的法向量为，

，取，，

设直线与平面所成角为，则

，

令，，，，

令，，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

，，，则，

所以的取值范围为，

即，又，所以，

所以直线与平面所成角的取值范围.