2022-2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中数学试题

一、单选题
1．已知随机变量，且，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正态分布的对称性即可.
【详解】随机变量，且，，
，，
.
故选：A.
2．已知两条异面直线a，b上分别有4个点和7个点，则这11个点可以确定不同的平面个数为（    ）
A．4 B．7 C．11 D．126
【答案】C
【分析】由题意，第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面，再根据分类计数原理，即可求解．
【详解】分两类情况讨论：
第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的平面；
第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个不同的平面．
根据分类加法计数原理知，共可以确定7＋4＝11个不同的平面.
故选：C．
3．若的展开式中不含项，则实数m的值为（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】根据展开式中的项与项系数结合条件即得.
【详解】，
二项式展开式的通项为：，
令时，；令时，，
所以的展开式中的系数为，
因为的展开式中不含项，
所以，解得：.
故选：D.
4．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率是，则事件A在一次试验中出现的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设事件A在一次试验中出现的概率是，根据对立事件的概率求得事件A一次都不发生的概率，即可得，即可求得答案.
【详解】设事件A在一次试验中出现的概率是，由事件A至少发生次的概率为，
可知事件A一次都不发生的概率为，
由独立事件同时发生的概率知，则，
故选：C ．
5．将边长为的正三角形沿边上的高线折成的二面角，则点到边的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在三棱锥中，取线段的中点，连接、，由题意可得，推导出，并计算出线段的长，即为所求.
【详解】翻折前，因为是边长为的等边三角形，是边上的高线，则为的中点，
且，，且，
翻折后，则有，，
在三棱锥中，由二面角的定义可得，
如下图所示：
  
取线段的中点，连接、，
因为，，，、平面，
所以，平面，
因为平面，所以，，
在中，，，则，
因为为的中点，则，且，
所以，，
因为，为的中点，所以，，
因此，点到的距离为.
故选：A.
6．某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（    ）
A．0.8 B．0.68 C．0.6 D．0.2
【答案】B
【分析】根据条件概率和全概率公式求解即可.
【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，
则，，，
．
故选：B．
7．学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作．将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为（    ）
A．30 B．24 C．20 D．18
【答案】B
【分析】分两种情况：一是有一个人与甲在同一个岗位，另一个是没有人与甲在同一个岗位，再利用分类加法原理可求得结果.
【详解】由题意可得有两种情况：
①有一个人与甲在同一个岗位，则有种分配方案；
②没有人与甲在同一个岗位，则种分配方案；
所以由分类加法原理可知共有不同的分配方案，
故选：B
8．如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（    ）
  
A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为
B．当时，若平面的法向量记为，则
C．当时，二面角的余弦值为
D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意可知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别表示各点的坐标，然后利用空间向量求解二面角、线面角的方法计算各选项即可.
【详解】如下图所示：
  
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系；由，可知，
则，
设，，
选项A，当时，，所以，
所以，平面ABCD的法向量为，
所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为：，故A正确；
选项B，当时，，所以，
所以，
平面的法向量记为，由.,
由可知，，所以可取，
所以，故B正确；
选项C，当时，，所以，
平面的法向量记为，
设平面的法向量记为，由.,
由可知，，所以可取，
所以二面角的余弦值为，
所以，故C错误；
选项D，若，，，
因为，
所以，所以，，
由，解得，所以，即，故D正确.
故选：C

二、多选题
9．在江苏新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门学科中选择1门，再从化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门，选中的3门学科作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（    ）
A．若任意选科，则选法总数为
B．若政治必选，则选法总数为
C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为
D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为
【答案】ACD
【分析】根据题意利用分步计数原理与组合知识逐项分析判断即可.
【详解】在物理、历史2门学科中选择1门有种，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门有种，若任意选科，则选法总数为种，A正确；
若政治必选，还需从化学、生物、地理3门学科中选择1门有，则选法总数为种，B错误；
若化学、地理至少选一门，两门都选有1种，只选一门有，则选法总数为，C正确；
若历史必选有种，生物、政治至多选一门有种，则选法总数为种，D正确.
故选：ACD.
10．设，则结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．，，，，，，中最小的是
【答案】ABD
【分析】赋值法可判断A，B；求出的通项可判断C，D.
【详解】对于A，令，则①，故A正确；
对于B，令，则②，
则②减①可得：，则，故B正确；
对于C，的通项为，
令，则，
令，则，所以，故C错误；
对于D，的通项为，
所以当时，即，而，
又，
故，，，，，，中最小的是，故D正确.
故选：ABD.
11．“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（    ）
A．当时，
B．当且时，
C．若，则随着n的减小而减小
D．当时，随着的增大而减小
【答案】ABC
【分析】根据给定的定义，逐项计算判断作答.
【详解】对于A，当时，,，A正确；
对于B，当时，，，B正确；
对于C，，，则随着n的减小而减小，C正确；
对于D，当时，，当时，
，当时，，两者相等，D错误.
故选：ABC
12．在棱长为的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，若折成的四面体的四个顶点均在球O的球面上，则下列结论正确的是（    ）
A．折成的四面体体积的最大值为
B．当折成的四面体表面积最大时，
C．当时，球O的体积为
D．当时，球O的表面积为
【答案】BD
【分析】选项A，根据菱形的性质，求得边长，结合二面角的定义，表示出四面体的高，结合三棱锥的体积公式以及三角函数的性质，可得答案；
选项B，由题意，只需求侧面两个全等三角形的面积最大值，利用面积公式求得夹角，根据余弦定理，可得答案；
选项C、D，根据外接球的性质，确定球心，利用几何性质，结合勾股定理，求得半径，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
  
选项A，，，则为等边三角形，
取的中点，则，同理可知，为等边三角形，，
且，，
二面角的平面角为，
设点到平面的距离为，则，
，当且仅当时，等号成立，
即四面体的体积的最大值是，故A不正确；
选项B，，
，，，
，当且仅当时取等号，
此时四面体的表面积最大，最大值为，此时，
在中，由余弦定理可得，
，解得，故B正确；
选项C，设分别为的外心，则，
在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点，如下图：
  
，，，平面，平面，
平面，，
，，平面，平面，
同理可得平面，则为四面体的外接球球心，
连接，，，，，
，，
平面，平面，，
，即球心的半径为，
球的体积为，故C不正确；
选项D，由C可得当时，，，
平面，平面，，
，即球的半径为，
球的表面积为，故D正确.
故选：BD.

三、填空题
13．若能被13整除，则m的最小正整数取值为 ．
【答案】12
【分析】由于，利用二项式定理展开可求得结果.
【详解】

因为能被13整除，
所以是13的倍数时，能被13整除，
所以m的最小正整数取值为12，
故答案为：12

四、双空题
14．随机变量的分布列如表所示，设，则 ， ．


0
1




【答案】
【分析】先由的分布列求得，再利用期望与方差的性质即可得解.
【详解】依题意，得，

因为，
所以，.
故答案为：；.

五、填空题
15．我们把各位数字之和为6的四位数称为“四位合六数”（如1203、1005均是四位合六数），则在“四位合六数”中首位为1的不同的“四位合六数”共有 个．
【答案】21
【分析】首位为1，则后三位数字之和为5，然后分类排列即可求解.
【详解】由题知后三位数字之和为5，
当一个位置为5时有005，050，500，共3个;
当两个位置和为5时有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12个;
当三个位置和为5时有113 ， 131 ， 311 ， 122 ， 212，221，共6个;
所以一共有21个.
故答案为: 21.
16．如图，三棱柱的各条棱长均为是2，侧棱与底面ABC所成的角为60°，侧面底面ABC，点P在线段上，且平面平面，则 ．
  
【答案】
【分析】取中点，连接，，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论．
【详解】侧面底面，则点在平面上的射影在直线上，
为直线与底面所成的角，
，三棱柱的各条棱长均为2，
是等边三角形，
取中点，连接，，则，
∵侧面底面，侧面底面，面，
所以面，
如图所示，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
则，
故，
设，则，
设平面的一个法向量为， 则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，令，则，，
平面的一个法向量为，
平面平面，∴，
，，
．
故答案为：．

【点睛】关键点点睛：取中点，证明，，两两垂直，是解决本题的关键.

六、解答题
17．有甲、乙两只不透明的袋子，其中甲袋放有3个红球，2个白球，乙袋放有2个红球，3个白球，且所有球的大小和质地均相同．
(1)先随机取一只袋子，再从该袋中随机取1个球，求取出的该球是白球的概率；
(2)先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的2个球均为红球的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用条件概型和全概率公式求解即可；
（2）由全概率公式求解即可；
【详解】（1）先随机取一只袋子，记“取到的是甲袋”为事件，“取到的是乙袋”为事件，
再从袋中随机取1个球，“取出的该球是白球”为事件B，
则事件B有两类：取到的是甲袋且从中取出的是白球，
取到的是乙袋且从中取出的是白球，即，
因为与互斥，所以，
由概率的乘法公式得，
又因为，，，，
所有
先随机取一只袋子，
再从该袋中随机取1个球，取出的该球是白球的概率为
（2）记“从甲袋中取出2个红球”为事件，“从甲袋中取出2个白球”为事件，“从甲袋中取出1个红球和1个白球”为事件，“从乙袋中取出的2个球均为红球”为事件D，
显然，事件，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，
由全概率公式得
，
先从甲袋中任取2个球放入乙袋中，再从之乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的2个球均为红球的概率为
18．有5名男运动员和3名女运动员，从中选出5名运动员，参加“篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”这5种不同的球类竞赛，每名运动员只能参加一个球类项目竞赛，且每个球类项目竞赛都要有人参加，求符合下列条件的选法种数．（用数字作答）
(1)有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数；
(2)女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）（2）利用分步乘法计数原理与排列组合的知识，先选再排即可得解，注意考虑特殊运动员的安排情况.
【详解】（1）因为有女运动员参赛，且参赛的女运动员人数必须少于参赛的男运动员人数，
所以选出的5名运动员可以是2名女运动员和3名男运动员，也可以是1名女运动员和4名男运动员，
则有种情况，
再将选出来的运动加分配到各个项目中，则有种方法，
所以符合要求的选法种数为.
（2）因为女运动员指定参加排球竞赛，男运动员必须参赛但不能参加足球竞赛，
所以先从除去该女运动员和该男运动员的6人中任选3人，有种情况，
再安排男运动员参赛的项目，有种情况，
最后选出的3人对余下的3个项目进行全排列，有种情况，
则符合要求的选法种数为.
19．已知在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)，，
(2)，

【分析】（1）利用二项式展开式中前三项系数成等差数列得出，然后利用通项公式即可求出有理项；
（2）由（1）设展开式中第项的系数最大，则满足，求解不等式组即可.
【详解】（1）在的展开式中，
前三项的系数分别依次为，，，
前三项的系数成等差数列，所以，
整理得，解得或（不合题意舍去），
则展开式中的通项为：
，
要求有理项，则需为整数，即，4，8，
则有理项分别为：，
，.
（2）由（1）知，此二项式为，
设展开式中第项的系数最大，
则，即，解得，
当时，，
当时，，
所以第项和第项的系数同时达到最大，
故展开式中系数最大的项为，.
20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．
  
(1)求证：；
(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在；.

【分析】（1）取AB的中点为O，利用线面垂直的判定、性质推理作答.
（2）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.
（3）确定点E的位置，利用空间位置关系的向量证明推理判断作答.
【详解】（1）取AB的中点为O，连接DO，PO，由，得，
又四边形ABCD为直角梯形，且，，，，
则四边形OBCD为正方形，，又，平面POD，
因此平面POD，又平面POD，
所以.
  
（2）且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，
则平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP两两垂直，
以点O为原点，OD、OA、OP分别为x、y、z轴的空间直角坐标系，
由等腰直角，，，得，
则，
即，平面PAB的一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成的角为，
因此，即，
所以所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为.
（3）线段PA上存在点E，且当时，使得平面EBD.
由，得，则，，
设平面EBD的法向量为，则，令，得，
又，则，而平面EBD，因此平面EBD，
所以点E满足时，有平面EBD．
21．某校为了普及科普知识，增强学生的科学素养，在全校组织了一次科普知识竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛．规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队的总得分．
(1)求的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)

【分析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（2）记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B，根据A，B为互斥事件，求得和，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，
可得，
，
，
，
所以随机变量的分布列为

0
10
20
30
P




所以数学期望.
（2）解：记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B，则A，B为互斥事件，
可得，
，
则，
所以甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为.
22．如图，三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形，PA为圆柱的母线，M，N分别是AC和PA的中点，平面平面PAB，．
  
(1)求证：；
(2)求三棱锥和圆柱的体积之比；
(3)求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面PBC，结合线面垂直的判断定理和性质分析证明；
（2）根据体积公式运算求解；
（3）建系，利用空间向量求二面角的大小.
【详解】（1）因为PA为圆柱的母线，则平面ABC，平面ABC，可得，
取PB边的中点为D，连接AD，因为，则，
平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，
所以平面PBC，
且平面PBC，则
，且AD，平面PAB，
所以平面PAB，
且平面PAB，所以.
（2）因为平面ABC，则，
又因为，则为底面圆的直径，则，
所以
（3）以B点作为坐标原点，直线BA、BC分别为x、y轴，过点B作平面ABC的垂线，并以此垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
   
则，，，，，，
可得，，，．
设平面PBC和平面MBN的法向量分别为，，
可得，取，则，，即
可得，取，则，，即
设平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为，
则，
又因为，所以，即平面PBC与平面MBN所成的锐二面角为.