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2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1.已知集合,集合满足,则符合条件的集合可以是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】化简集合和各选项中的各个集合,再结合交集定义判断.【详解】由解得,,,,,,只有C选项符合题意.故选:C.2.已知复数为纯虚数(,是虚数单位),且,则( )A.且 B.且 C.或 D.或【答案】D【分析】根据已知条件,结合纯虚数的定义,以及复数模公式,即可求解.【详解】复数为纯虚数,则,即,故,由,则或.故选:D.3.若圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题意得出圆锥的母线长等于底面圆的直径,圆锥的轴截面是等边三角形,进而可得答案.【详解】设圆锥的底面圆半径为,母线长为,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以,即,则该圆锥的母线长等于底面圆的直径,所以圆锥的轴截面为等边三角形,所以母线与底面所成的角为,正弦值为.故选:B.4.已知不为常数数列的等差数列的前项和为,满足,且是和的等比中项,则下列正确的是( )A.或0 B.C. D.是公差为2的等差数列【答案】C【分析】根据等差数列的性质,可得,根据是和的等比中项,可得,从而判断各选项.【详解】,,,或者.是和的等比中项,,时,(舍去),故A,B错误;时,,解得,所以,,C正确;,是公差为1的等差数列,D错误.故选:C.5.将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先根据图象变换得到平移后的函数,然后结合诱导公式可得到,进而可确定答案.【详解】解:将函数向左平移个单位得到函数.由诱导公式知当时有:.故选:D.6.点到直线距离的最大值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由点到直线距离公式求得距离,然后由函数的知识得最大值.【详解】由题意所求点到直线距离为,,当且仅当时等号成立,所以.的最大值为2.故选:D.7.在一般情况下,过江大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为90千米/小时;研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.设当车流密度时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大.则( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据条件建立分段函数关系,利用待定系数法求出,的值,利用二次函数的最值性质进行求解即可.【详解】,则当时,,当时,,即,解得,,故,当时,的最大值为时,;当时,,根据二次函数的对称轴方程为,得的最大值为时,.故选:A.8.已知过点的直线与抛物线交于,两点,点,则一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.有一个角为的三角形 D.面积为定值的三角形【答案】B【分析】设,,过点的直线方程为,联立方程组可证,进而易判断A,B,C,可证的面积不为定值,可判断D.【详解】设,,过点的直线方程为,将直线方程与抛物线联立得:,,,,点,,,,所以,故B正确.当直线无限接近平行于对称轴时,显然,不一定是等腰三角形,同时无限接近,故AC不正确;点到直线的距离为,,不为定值.故D错误.故选:B.【点睛】关键点点睛:本题的关键点是设过点的直线方程为,联立方程组利用韦达定理解决问题. 二、多选题9.已知且,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】BD【分析】利用举实例判断AC,利用不等式的基本性质结合绝对值的意义推理判断BD.【详解】对于A,当,时,满足,但不成立,A错误;对于B,由,得,B正确;对于C,当,时,满足,但,C错误;对于D,由,得,D正确.故选:BD10.袋中有3个红球,个白球,个黄球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一白的概率也为,则( )A. B. C. D.【答案】ACD【分析】由条件取出的两个球都是红球的概率为,结合古典概型概率公式先求,判断B,再由条件取出的两个球是一红一白的概率为,列方程求,判断A,求随机变量的分布列判断D,结合期望公式判断C.【详解】取出的两个都是红球的概率为,即,解得,选项B错误;取出的两个是一红一白的概率为,化简得,解得,所以,所以,选项A正确;由已知的取值有,,,,由,可得选项D正确.因为,所以选项C正确;故选:ACD.11.在平面内,点、为两个定点,动点满足,则点到直线的距离为的点恰好有两个,则的值可以是( )A. B. C. D.【答案】AB【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可求出的轨迹方程,然后结合圆的性质可求.【详解】解:设点,则,,所以,,整理得,因为圆的圆心到直线的距离为,所以,直线与圆相切,因为点到直线的距离为的点恰好有两个,则,故选:AB.12.如图,已知正三棱柱中,,,为的中点,直线与平面的交点为,则以下结论正确的是( ) A.B.直线平面C.在线段上不存在一点使得D.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为【答案】ABD【分析】由线面垂直的判定和性质可判断;由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可判断B;由线面垂直的判定和性质可判断C;求得以为球心,为半径的球被侧面截得的小圆为以为圆心,为半径的圆,其交线为四分之一的圆弧,计算可判断D.【详解】解:如图所示: 延长,延长,交于点,连接,因为,分别为线段和的中点,所以,由直角三角形中线定理得,又平面,而平面,所以,又,所以平面,又平面,所以,所以A正确;连结,交于点,易证得是的中位线,,平面,平面,直线平面,所以B正确;取的中点为,连结,则平面,欲证,只需,显然过作的垂线即可,所以存在这样的点,所以C错误;因为平面,则球心到截面的距离为,所以以为球心,为半径的球被侧面截得的小圆是以为圆心,以为半径的圆,如图所示: ,所以其交线为四分之一的圆弧,长度为,所以D正确.故选:ABD. 三、填空题13.函数在坐标原点处的切线的斜率为 .【答案】2【分析】求出原函数的导函数,代入的导数值可得答案.【详解】由,得,代入,得原点处的切线斜率为.故答案为:2.14.若,则 .【答案】/【分析】由题意利用诱导公式即可求解.【详解】因为,所以,所以.故答案为:.15.的展开式的常数项为 .【答案】30【分析】根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可.【详解】每个括号内有,,,若的5项式乘积中先选,显然不会超过2项.①,显然不可能出现的项;②再考虑,展开式中,唯有取会出现常数项,为.③而,不可能出现常数项.故答案为:30.16.将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .【答案】1920【分析】利用分步计数原理进行计算即可.【详解】设在三棱台中,首先对着色,有种;然后:点可以用或点的色,也可以用剩下的两种色.现分类:(1)用或点的色,由对称性,不妨设用点的色,则点有4种色可以选择,又分为两类:①与同色,则有3种色可选择;②与不同色,则有2种色可选择,共有,(2)用剩下的两种色,则点有3种色可选择,又分为两类:①与同色,则有3种色可选择;②与不同色,则有2种色可选择,共有:.所以不同的染色方法的总数是.故答案为:1920. 四、解答题17.已知数列的前项和为,且,__________.请在①;②,且;③,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)①由已知可得,可求数列的通项公式;②,得,可求数列的通项公式;③由已知可得,可求数列的通项公式;(2),分或两种情况求数列的前项和.【详解】(1)①,得,,所以数列是以1为公差的等差数列,,解得,所以;②,得,依等差数列的定义知数列是等差数列,所以有,,解得,所以.③,,两式相减得:,化为,,所以,由,得,解得,所以.(2),当时,可得.所以数列的前项和为10再加上首项为1,公差为1的等差数列的前项和,所以.综上:.18.如图,在体积为2的四棱锥中,平面,且,,. (1)求的长;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由三棱锥的体积可求的长;(2)以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量法可求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)由题意,,解得.(2)如图,以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系. 则,,,,,设平面的一个法向量为,由,得,令,则,,平面的一个法向量,平面,取与共线的向量为平面的一个法向量,设平面与平面所成锐二面角为,则,则平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.在中,已知内角,,所对的边分别为,,且满足.(1)求角的大小;(2)若,求的最大值.【答案】(1)(2)4 【分析】(1)由正弦定理得,利用三角恒等变换可求;(2)由正弦定理可求,进而由余弦定理可得,由基本不等式可求的最大值.【详解】(1)因为,由正弦定理得,,由三角形的内角和定理得,所以得,因为,所以解得,,;(2)若,,由正弦定理得,解得,由余弦定理得,,利用基本不等式可得,所以(当且仅当时,取等号),即的最大值为4.20.某茶楼提供了龙井、大红袍等几类茶叶供顾客选择.根据以往销售统计资料,顾客选择龙井的概率为0.5,选择大红袍但不选择龙井的概率为0.3,设各顾客选择茶叶的种类是相互独立的.(1)求该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种的概率;(2)表示该茶楼的100位顾客中,龙井、大红袍两种茶叶都不选择的顾客数.求的数学期望及方差.【答案】(1)(2)20,16 【分析】(1)根据互斥事件的概率公式计算即可.(2)根据对立事件的概率公式,结合二项分布的期望公式、方差公式,计算数学期望和方差.【详解】(1)记表示事件:该茶楼的一位顾客选择龙井;表示事件:该茶楼的一位顾客选择大红袍但不选择龙井;表示事件:该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种;表示事件:该茶楼的一位顾客龙井、大红袍两种茶叶都不选择.,,,.(2),,,即服从二项分布,所以期望为,方差为.21.已知椭圆的离心率为,椭圆的左顶点为,上顶点为,为坐标原点,且的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于,两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据已知条件,结合椭圆的性质,即可求解;(2)先求出当轴时,当与轴不垂直时,设出直线方程,并与椭圆方程联立,再结合判别式法,以及韦达定理,弦长公式,不等式的公式,即可求解.【详解】(1)设椭圆的半焦距为,依题意有,,,,,,所求椭圆方程为;(2)设,,①当轴时,;②当与轴不垂直时,设直线的方程为,坐标原点到直线的距离为,则,即.把代入椭圆方程,整理得,,,结合,消去,可化为,,当且仅当,即,,时,等号成立,又当不存在时,,综上所述,的最大值为2,所以的面积的最大值为. 【点睛】思路点睛:利用坐标原点到直线的距离求得高,韦达定理求得弦长可得三角形的面积,利用基本不等式求值.22.已知函数.(1)若恒成立,求的最小值;(2)证明:.【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】(1)问题转化为恒成立,令,根据函数的单调性求出的最大值,求出的最小值即可;(2)根据,再令,得到,从而证明不等式成立即可.【详解】(1)函数的定义域是,若恒成立,则恒成立,令,则,时,,时,,故在递增,在递减,故,故,的最小值是1;(2)证明:当时,由(1)得,即①,令②,则,则③,由①②③得,故.
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