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    2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题含答案

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    这是一份2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年广东省河源市龙川县第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1.已知集合,集合满足,则符合条件的集合可以是(    A B C D【答案】C【分析】化简集合和各选项中的各个集合,再结合交集定义判断.【详解】解得只有C选项符合题意.故选:C2.已知复数为纯虚数(是虚数单位),且,则(    A B C D【答案】D【分析】根据已知条件,结合纯虚数的定义,以及复数模公式,即可求解.【详解】复数为纯虚数,则,即,故,则故选:D3.若圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的母线与底面所成的角的正弦值为(    A B C D【答案】B【分析】根据题意得出圆锥的母线长等于底面圆的直径,圆锥的轴截面是等边三角形,进而可得答案.【详解】设圆锥的底面圆半径为,母线长为因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以,即则该圆锥的母线长等于底面圆的直径,所以圆锥的轴截面为等边三角形,所以母线与底面所成的角为正弦值为故选:B4.已知不为常数数列的等差数列的前项和为,满足,且的等比中项,则下列正确的是(    A0 BC D是公差为2的等差数列【答案】C【分析】根据等差数列的性质,可得,根据的等比中项,可得,从而判断各选项.【详解】或者的等比中项,时,(舍去),故AB错误;时,,解得所以C正确;是公差为1的等差数列,D错误.故选:C5.将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则等于(    A B C D【答案】D【分析】先根据图象变换得到平移后的函数,然后结合诱导公式可得到,进而可确定答案.【详解】解:将函数向左平移个单位得到函数由诱导公式知当时有:故选:D6.点到直线距离的最大值是(   A B C D【答案】D【解析】由点到直线距离公式求得距离,然后由函数的知识得最大值.【详解】由题意所求点到直线距离为,当且仅当时等号成立,所以的最大值为2故选:D7.在一般情况下,过江大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20/千米时,车流速度为90千米/小时;研究表明,当时,车流速度是车流密度的一次函数.设当车流密度时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大.则(    A B C D【答案】A【分析】根据条件建立分段函数关系,利用待定系数法求出的值,利用二次函数的最值性质进行求解即可.【详解】则当时,时,,即,解得时,的最大值为时,时,根据二次函数的对称轴方程为,得的最大值为时,故选:A8.已知过点的直线与抛物线交于两点,点,则一定是(    A.等腰三角形 B.直角三角形C.有一个角为的三角形 D.面积为定值的三角形【答案】B【分析】,过点的直线方程为,联立方程组可证,进而易判断ABC,可证的面积不为定值,可判断D【详解】,过点的直线方程为将直线方程与抛物线联立得:所以,故B正确.当直线无限接近平行于对称轴时,显然不一定是等腰三角形,同时无限接近,故AC不正确;到直线的距离为不为定值.故D错误.故选:B【点睛】关键点点睛:本题的关键点是设过点的直线方程为,联立方程组利用韦达定理解决问题. 二、多选题9.已知,则下列不等式中一定成立的是(    A B C D【答案】BD【分析】利用举实例判断AC,利用不等式的基本性质结合绝对值的意义推理判断BD.【详解】对于A,当时,满足,但不成立,A错误;对于B,由,得B正确;对于C,当时,满足,但C错误;对于D,由,得D正确.故选:BD10.袋中有3个红球,个白球,个黄球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一白的概率也为,则(    A B C D【答案】ACD【分析】由条件取出的两个球都是红球的概率为,结合古典概型概率公式先求,判断B,再由条件取出的两个球是一红一白的概率为,列方程求,判断A,求随机变量的分布列判断D,结合期望公式判断C【详解】取出的两个都是红球的概率为,即,解得,选项B错误;取出的两个是一红一白的概率为,化简得,解得,所以,所以,选项A正确;由已知的取值有,可得选项D正确.因为,所以选项C正确;故选:ACD11.在平面内,点为两个定点,动点满足,则点到直线的距离为的点恰好有两个,则的值可以是(    A B C D【答案】AB【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可求出的轨迹方程,然后结合圆的性质可求.【详解】解:设点,则所以,,整理得因为圆的圆心到直线的距离为所以,直线与圆相切,因为点到直线的距离为的点恰好有两个,则故选:AB12.如图,已知正三棱柱中,的中点,直线与平面的交点为,则以下结论正确的是(      AB.直线平面C.在线段上不存在一点使得D.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为【答案】ABD【分析】由线面垂直的判定和性质可判断;由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可判断B;由线面垂直的判定和性质可判断C;求得以为球心,为半径的球被侧面截得的小圆为以为圆心,为半径的圆,其交线为四分之一的圆弧,计算可判断D【详解】解:如图所示:  延长,延长,交于点,连接,因为分别为线段的中点,所以,由直角三角形中线定理得平面,而平面,所以,所以平面,又平面,所以,所以A正确;连结,交于点,易证得的中位线,平面平面,直线平面,所以B正确;的中点为,连结,则平面,欲证,只需,显然过的垂线即可,所以存在这样的点,所以C错误;因为平面,则球心到截面的距离为,所以以为球心,为半径的球被侧面截得的小圆是以为圆心,以为半径的圆,如图所示:  所以其交线为四分之一的圆弧,长度为,所以D正确.故选:ABD 三、填空题13.函数在坐标原点处的切线的斜率为          【答案】2【分析】求出原函数的导函数,代入的导数值可得答案.【详解】代入,得原点处的切线斜率为故答案为:214.若,则          【答案】/【分析】由题意利用诱导公式即可求解.【详解】因为所以所以故答案为:15的展开式的常数项为          【答案】30【分析】根据多项式乘积的性质分别进行讨论求解即可.【详解】每个括号内有5项式乘积中先选,显然不会超过2项.,显然不可能出现的项;再考虑展开式中,唯有取会出现常数项,为,不可能出现常数项.故答案为:3016.将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是          【答案】1920【分析】利用分步计数原理进行计算即可.【详解】设在三棱台中,首先对着色,有种;然后:点可以用点的色,也可以用剩下的两种色.现分类:1)用点的色,由对称性,不妨设用点的色,则点有4种色可以选择,又分为两类:同色,则3种色可选择;不同色,则2种色可选择,共有2)用剩下的两种色,则点有3种色可选择,又分为两类:同色,则3种色可选择;不同色,则2种色可选择,共有:所以不同的染色方法的总数是故答案为:1920 四、解答题17.已知数列的前项和为,且__________请在,且,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(2),求数列的前项和【答案】(1)(2) 【分析】1由已知可得,可求数列的通项公式;,得,可求数列的通项公式;由已知可得,可求数列的通项公式;2,分两种情况求数列的前项和【详解】1,得所以数列是以1为公差的等差数列,,解得,所以,得依等差数列的定义知数列是等差数列,所以有解得,所以,两式相减得:化为,所以,由,得,解得所以2,当时,可得所以数列的前项和为10再加上首项为1,公差为1的等差数列的前项和,所以综上:18.如图,在体积为2的四棱锥中,平面,且  (1)的长;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】1)由三棱锥的体积可求的长;2)以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量法可求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】1)由题意,,解得2)如图,以为坐标原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系.  设平面的一个法向量为,得,令,则平面的一个法向量平面取与共线的向量为平面的一个法向量,设平面与平面所成锐二面角为则平面与平面所成锐二面角的余弦值19.在中,已知内角所对的边分别为,且满足(1)求角的大小;(2),求的最大值.【答案】(1)(2)4 【分析】1)由正弦定理得,利用三角恒等变换可求2)由正弦定理可求,进而由余弦定理可得,由基本不等式可求的最大值.【详解】1)因为由正弦定理得,由三角形的内角和定理得所以得,因为所以解得2)若由正弦定理得,解得由余弦定理得,利用基本不等式可得所以(当且仅当时,取等号),即的最大值为420.某茶楼提供了龙井、大红袍等几类茶叶供顾客选择.根据以往销售统计资料,顾客选择龙井的概率为0.5,选择大红袍但不选择龙井的概率为0.3,设各顾客选择茶叶的种类是相互独立的.(1)求该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种的概率;(2)表示该茶楼的100位顾客中,龙井、大红袍两种茶叶都不选择的顾客数.求的数学期望及方差.【答案】(1)(2)2016 【分析】1)根据互斥事件的概率公式计算即可.2)根据对立事件的概率公式,结合二项分布的期望公式、方差公式,计算数学期望和方差.【详解】1)记表示事件:该茶楼的一位顾客选择龙井;表示事件:该茶楼的一位顾客选择大红袍但不选择龙井;表示事件:该茶楼的一位顾客至少选择龙井、大红袍两种茶叶中的一种;表示事件:该茶楼的一位顾客龙井、大红袍两种茶叶都不选择.2,即服从二项分布,所以期望为方差为21.已知椭圆的离心率为,椭圆的左顶点为,上顶点为为坐标原点,且的面积为(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】1)根据已知条件,结合椭圆的性质,即可求解;2)先求出当轴时,当轴不垂直时,设出直线方程,并与椭圆方程联立,再结合判别式法,以及韦达定理,弦长公式,不等式的公式,即可求解.【详解】1)设椭圆的半焦距为依题意有所求椭圆方程为2)设轴时,轴不垂直时,设直线的方程为坐标原点到直线的距离为,即代入椭圆方程,整理得结合,消去,可化为当且仅当,即时,等号成立,又当不存在时,综上所述,的最大值为2所以的面积的最大值为  【点睛】思路点睛:利用坐标原点到直线的距离求得高,韦达定理求得弦长可得三角形的面积,利用基本不等式求值.22.已知函数(1)恒成立,求的最小值;(2)证明:【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】1)问题转化为恒成立,令,根据函数的单调性求出的最大值,求出的最小值即可;2)根据,再令,得到,从而证明不等式成立即可.【详解】1)函数的定义域是恒成立,则恒成立,,则时,时,递增,在递减,的最小值是12)证明:当时,由(1)得,即,则,则①②③. 

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