2022-2023学年安徽省阜阳市太和第一中学高二下学期期中适应性考试数学试题含答案

2022-2023学年安徽省阜阳市太和第一中学高二下学期期中适应性考试数学试题

一、单选题

1．函数的导函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的四则运算公式直接求导即可.

【详解】，

故选：D．

2．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球.现从袋中不放回地连取两个.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（    ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【分析】借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.

【详解】设事件为“第一次取红球”，事件为“第白次取红球”，则，

，故 ．

故选：B

3．的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（    ）

A．540 B． C．162 D．

【答案】D

【解析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．

【详解】的展开式中各项系数之和为，解得

所以的通项公式为：

当时，为常数

故选：D

4．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由全概率公式求解

【详解】由题意得运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为

故选：C

5．由这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（    ）

A．180 B．196 C．210 D．224

【答案】C

【解析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．

【详解】分两种情况：

（1）个位与百位填入0与8，则有个；

（2）个位与百位填入1与9，则有个.

则共有个.

故选：C

【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．

6．将三项式展开，得到下列等式：

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第行为，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的个数不足个数时，缺少的数以计之和，第行共有个数．则关于的多项式的展开式中，项的系数（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接利用广义杨辉三角和数据的组合的应用求出结果．

【详解】根据广义杨辉三角的定义：

；

故；

关于的多项式的展开式中项的系数为.

故选：．

7．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（    ）

A．18种 B．36种 C．68种 D．84种

【答案】B

【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校是否分配男教师，即可求出答案.

【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:

①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.

②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.

故一共有：36种分配方法.

故选：B.

8．已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造，利用已知可得函数的单调性，利用周期性求出，化简已知不等式，利用单调性得出解集．

【详解】是偶函数，，则，即是奇函数，

由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可得，解得

故选：A

二、多选题

9．设随机变量的可能取值为，并且取是等可能的.若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由等可能得出，结合求出值，再由期望公式和方差公式计算后判断.

【详解】由题意，

，，

，

，

.

故选：AC.

10．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.

【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，因，因此成立，C正确；

对于D，因，即不成立，D不正确.

故选：ABC

11．设，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．若，，则

D．当，时，

【答案】ACD

【分析】分别令和，所得式子作差可得A正确；将代入，即可知B错误；利用二项展开式通项得到，由此构造不等式组求得，知C正确；列出的前项，说明前项和大于即可得到D正确.

【详解】对于A，令得：；令得：，

两式作差得：，A正确；

对于B，，

，

令得：，B错误；

对于C，展开式的通项为：；

由得：，即，解得：，

又，，C正确；

对于D，当，时，，

；

又，，，D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：本题考查二项式定理中与各项系数和有关的式子的求解、系数绝对值最大项问题、不等式的证明问题；解决各项系数和问题的基本方法是赋值法；解决绝对值最大项的基本思路是利用二项展开式通项公式来构造不等式组；不等式证明是能够结合二项展开式，利用放缩的思想来处理.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点

C．若是增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点

【答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；利用导数分析函数的单调性判断B；利用导数结合函数单调性判断C；利用导数以及零点存在性定理判断D作答.

【详解】对于A，函数的定义域为，

，函数为奇函数，A正确；

对于B，当时，，求导得，而，，

显然这两个不等式不能同时取等号，即有，函数在上为增函数，

又，因此函数有且只有一个零点，B错误；

对于C，，因为函数是增函数，则对任意的恒成立，即，

令，求导得，令，，

即函数在上为增函数，，当时，，函数为减函数，

当时，，函数为增函数，因此，所以，C正确；

对于D，当时，，则，显然函数的图象可由函数的图象

向下平移3个单位而得，由C选项知，函数在上单调递减，在上单调递增，

而，，由零点存在性定理知，函数在和上都存在一个零点，

并且都是函数的变号零点，因此，当时，函数有两个极值点，D正确.

故选：ACD

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立；

（2）若函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立；

（3）若函数在区间上不单调，则在区间上存在极值点；

（4）若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；

（5）若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.

三、填空题

13．随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.

【答案】5

【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．

【详解】依题意可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：5.

14．若，且，，且，则___．

【答案】16

【分析】，再由二项式展开式可得答案．

【详解】，

又，

因为能被17整除，所以可以被17整除，

即能被17整除，因为，且，，所以．

故答案为：16.

15．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.

①事件，相互独立；②；③；④；⑤．

【答案】③④⑤

【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤.

【详解】依题意，，和是两两互斥事件，

，，

又，①②错误；

又，，

，③④正确；

，⑤正确；

故答案为：③④⑤.

16．已知函数，若有两个不同的极值点，且，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】先求得函数的导函数，则方程有两个异号零点，且，构造新函数，利用导数求得其单调性，进而求得的取值范围.

【详解】，则

令，由，可得为偶函数，

 则

则当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又，

由题意得方程有两个互为相反数的零点，且

则的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．

(1)若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；

(2)若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；

(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.

【详解】（1）依题意可得不同安排方法的总数为．

（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：

第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．

故不同安排方法的总数为．

18．甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．

(1)如果是依次不放回地从乙箱中抽取个产品，求第次取到次品的概率；

(2)若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是个正品的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设“第次从乙箱中取到次品”，根据全概率公式直接计算即可；

（2）设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出个正品个次品”，事件 “从甲箱中取出个产品都是次品”，利用全概率公式可计算得到，根据条件概率公式可求得结果.

【详解】（1）设“第次从乙箱中取到次品”，；

则，，，

.

（2）设事件“从乙箱中取一个正品”，事件“从甲箱中取出个产品都是正品”，事件 “从甲箱中取出个正品个次品”，事件 “从甲箱中取出个产品都是次品”，则彼此互斥，且，

则，，，，，，

，

从甲箱中取出的是个正品的概率即为发生的条件下发生的概率，

.

19．已知为偶函数，曲线过点， ．

（1）若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；

（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．

【答案】（1） ；（2）和为的单调递增区间，为的单调递增区间．

【详解】试题分析：（1）先根据为偶函数，得到，恒有，进而计算出（也可根据二次函数的图像与性质得到对称轴，该对称轴为轴，进而得出），然后将点代入求出，进而写出的表达式，此时，根据条件有斜率为0的切线即有实数解，根据二次方程有解的条件可得，求解出的取值范围即可；（2）先根据时函数取得极值，得到，进而求出，然后确定导函数，由导数可求出函数的单调增区间，由可求出函数的单调减区间．

（1） 为偶函数，故对，总有，易得

又曲线过点，得，得， 3分

曲线有斜率为0的切线，故有实数解

此时有，解得 5分

（2）因时函数取得极值，故有，解得

又，令，得．

当时，在上为增函数

当时，，在上为减函数

当时，，在上为增函数

从而和为的单调递增区间，为的单调递增区间 10分．

【解析】1．函数的奇偶性；2．导数的几何意义；3．函数的极值与导数；4．函数的单调性与导数．

20．核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？

(2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围.

【答案】(1)方案一最优

(2)

【分析】（1）求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案；

（2）记方案二的检测次数为，求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方案二检测次数的期望值，即可求得的取值范围.

【详解】（1）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，

所以，，

所以方案二检测次数的数学期望为；

方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，

若呈阳性则检测次数为3次，其概率为，

设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6，

所以，，，

所以方案三检测次数Y的期望为，

因为，

所以方案一最优；

（2）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，

所以，，

所以随机变量的数学期望为，

由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，

可得，即，解得，

所以当时，方案二比方案一更“优”.

21．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）表示出，求导得，含参分类讨论即可.

（2）分离参数可得，用导数研究函数单调性即可求出最值，从而求解，

【详解】（1）解：因为，所以，

若，则在上恒成立，故在上单调递增，

若，则当时，；当时，．

故在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）由等价于．

令，函数，则，由，可得．

当时，单调递减；当时，单调递增，故．

所以a的取值范围为．

22．已知函数．

(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

【分析】（1）先求，将对任意的恒成立问题转化为对任意的恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数a的取值范围；

（2）结合（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当时，得到，满足条件，先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．

【详解】（1）依题意得对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，

又，当且仅当时取“=”，所以．

（2）由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．

当时，令，

得，则，所以其两根为，

由韦达定理得，

又∵，∴，满足条件，

令，则，

∴，∴，

要证只需证，

即证，即证，即，

令，即证，

令，，

则，

所以在单增，，

故结论得证．

【点睛】关键点点睛：先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性是解答小问（2）的关键．