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2022-2023学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期期中数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期期中数学试题含答案,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1.数列,则该数列的第n项为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可【详解】设该数列为,则以此类推可得,故选:D2.设为可导函数,且满足,则函数在处的导数为( )A. B.1 C.1或 D.以上答案都不对【答案】A【分析】由,代入即可求解.【详解】由题意,函数在处的导数为:.故选:A.3.已知函数,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】求出导函数,代入,从而求出,,求出.【详解】因为,所以,则,所以,则,所以.故选:D4.已知函数的图象如图所示,则其导函数的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据原函数图象判断出函数的单调性,由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增,个单调区间;在上递减.所以导函数在上从左向右应为:正、负、正;在上应为负.所以A选项符合.故选:A5.设等差数列的前项和为,且,则( )A.45 B.50 C.60 D.80【答案】C【解析】利用等差数列性质当 时及前项和公式得解【详解】是等差数列,,,故选:C【点睛】本题考查等差数列性质及前项和公式,属于基础题6.已知是函数图象上的点,则点P到直线的最小距离为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】在函数的图像上,利用导数求得一点,使得在该点切线的斜率为,再由点到直线距离公式求得最小距离.【详解】直线2x-y-3=0的斜率为,令,解得,故,到直线2x-y-3=0的距离为,故选D.【点睛】本小题主要考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法,属于基础题.7.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究,他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数,形数是联系算数和几何的纽带,下图为五角形数的前4个,现有如下说法:①记所有的五角形数从小到大构成数列,则;②第9个五角形数比第8个五角形数多25;③前8个五角形数之和为288;④记所有的五角形数从小到大构成数列,则的前20项和为610;则正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据图形得到,利用累加法得到,数列为等差数列,计算对比每个选项得到答案.【详解】根据图形知:,,故①正确;则.,故②正确;,故③正确;,数列是首项为1公差为的等差数列,前20项和为,故④错误.故选:C.8.已知实数,,函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据指数函数的单调性,结合导数与单调性的关系,通过构造函数进行求解即可.【详解】解:∵函数在上单调递增,∴当时,有;当时,恒成立,令,,则,∵,∴,即在上单调递增,∴,要使当时恒成立,则,解得.∵函数在上单调递增,∴还需要满足,即,综上,的取值范围是.故选:A.【点睛】关键点睛:本题的关键是除了考虑每段函数是单调递增,还要考虑不等式成立这一条件. 二、多选题9.已知,且,则a的值为( )A.-3 B.-1 C. D.【答案】AB【分析】对复合函数求导,代入,即可求解.【详解】,则,解得或.故选:AB.10.设等比数列的公比为q,前n项积为,并且满足条件,,,则下列结论正确的是( )A. B.C.的最大值为 D.【答案】AC【分析】通过分析得,根据,则得,结合,可得,再逐步分析,即可判断各选项.【详解】对A,若,因为,所以,,则与矛盾,若,因为,所以,,则,与矛盾,所以,故A正确;对B,,,,即,因为,则,所以,故B错误;对C,由,故C正确;对D,,故D错误.故选:AC.11.已知函数在处有极值,且极值为8,则( )A.有三个零点B.C.曲线在点处的切线方程为D.函数为奇函数【答案】AC【分析】由条件根据极值与导数的关系求,判断B,利用导数分析函数的单调性,结合零点存在性定理判断A,根据导数的几何意义求切线,判断C,根据奇函数的定义判断D.【详解】由题意得,又,又,解得(舍去)或,故B项错误;,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,单调递增,又,,,,所以有三个零点,故A项正确;又,,则曲线在点处的切线方程为,即,故C项正确;,故D项错误.故选:AC.12.已知,且,则下列不等关系成立的是( )A. B. C. D.【答案】ABC【分析】利用基本不等式易知选项AB正确;利用对数运算法则和重要不等式可知C正确;将不等式化简整理可得,构造函数利用函数单调性即可证明D错误.【详解】由基本不等式可知,,当且仅当时,等号成立,即A正确; 易知,当且仅当时,等号成立,即B正确;由重要不等式和对数运算法则可得:,当且仅当且仅当时,等号成立,即C正确;由可得,所以,若,即证明,即即需证明,令函数,则,当时,,即在上单调递增,所以时,解不等式可得即可,即时不等式成立;当时,,即在上单调递减,解不等式可得,即时不等式才成立;综上可知,当时,不等式才成立,所以D错误.故选:ABC 三、填空题13.函数的单调递减区间为 .【答案】/【分析】求导,再令即可得解.【详解】函数的定义域为,,令,得,所以函数函数的单调递减区间为.故答案为:.14.若函数在区间内存在最大值,则实数的取值范围是 .【答案】【分析】由题意,求导确定函数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数的取值范围.【详解】由题意,,令,解得或,令,解得,故在,上是减函数,在上是增函数,作其图象如下图, 所以当时,取得最大值为,令,解得,或,则结合图象可知,,解得,,.故答案为:.15.关于函数,若函数有三个零点,则实数k的取值范围是 .【答案】【分析】作出函数图象,将函数零点转化为方程的根,结合函数图象即可得实数的取值范围.【详解】因为,所以,令得,令得或,所以函数的增区间为,减区间为和,所以函数的极大值为,函数的极大值为,又当x趋向负无穷大时,无限趋向正穷大,当x趋向正无穷大时,无限趋向于0,作出函数图象如下: 故函数有三个零点即方程的根有三个,结合函数图象即可得,故实数的取值范围是.故答案为:.16.已知函数为定义在R上的偶函数,当时,,,则不等式的解集是 .【答案】【分析】构造函数,求导分析的单调性,由奇偶性的定义可得为偶函数,不等式,可化为,分类讨论,即可得出答案.【详解】当时,,即,设,则当时,,函数在上单调递增,且,又是定义在R上的偶函数,有,则,所以是定义在R上的偶函数,则有在上单调递减,且,不等式整理得,可得,即,当时,,则或,解得或,又,所以;当时,,则,解得,又,所以;当时,显然不等式不成立;综上所述,不等式的解集为,故答案为:. 四、解答题17.已知函数,在处的切线方程是,其中是自然对数的底数.(1)求实数,的值;(2)求函数的极值.【答案】(1);(2)极大值1;无极小值..【分析】(1)计算,,根据函数在处的切线方程,简单计算可得结果.(2)根据(1)的结论,可得,然后利用导数,判断原函数的单调性,找到极值点,最后计算可得结果.【详解】(1)由,得,由在处的切线方程是,知切点为,斜率为,所以,解之得.(2),,令,得,1+0-↗极大值↘由表可知,当时,取得极大值1;无极小值.【点睛】本题查函数在某点处的切线方程求参数以及求具体函数的极值,理解函数在某点处导数的几何意义以及掌握导函数与原函数的关系,属基础题.18.已知函数.(1)当时,求曲线上在点处的切线方程;(2)若在上单调递减,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)求导,再根据导数的几何意义即可得解;(2)求导,在上单调递减,则在上恒成立,分离常数得在上恒成立,构造函数,求出其最小值即可.【详解】(1)当时,,则,则,所以曲线上在点处的切线方程为;(2),因为在上单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,因为在上都是减函数,所以函数在上是减函数,所以,所以.19.一艘轮船在航行中每小时的燃料费p和它的速度x的立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,现轮船航行1海里:(1)将该轮船所需的总费用y元表示为轮船的速度x海里/小时的函数;(2)轮船的速度多少时,所需的费用总和最小?【答案】(1)(2)20 【分析】(1)根据条件先求出p的解析式,再求出y的解析式;(2)运用基本不等式求解.【详解】(1)设每小时的燃料费用,则,由题意:航行1海里的时间为小时,();(2)由(1):,当且仅当,即时,等号成立,即当时,y取得最小值;综上,总费用,当时,所需的费用总和最小.20.在条件:①;②且;③且中任选一个,补充在横线上,并求解下面问题:已知数列的前项和为___________,(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,求【答案】(1)(2) 【分析】(1)选①直接利用,再对进行检验即可,选②或③通过化简得到,再利用累乘法得到;(2),再进行裂项求和即可.【详解】(1)若选①,由,①时,,②①②而也满足上式,若选②,①时,,②①②.若选③,①时,,②①②时由①知也满足上式,,当时, ,.(2)此时,.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有最小值,记为,关于的方程有三个不同的实数根,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2). 【分析】(1)函数求导得,分和两种情况讨论即可;(2)结合(1)中的单调性可得最值,即,令,然后利用导数研究函数的性质即得.【详解】(1)∵,∴,,当时,,所以在上单调递减;当时,,由可得,由可得,所以在上单调递减,在上单调递增;综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2)由(1)知,,,即,方程,即,令,则,由可得,由可得,∴在和上单调递增,在上单调递减,,,依题意得.【点睛】已知函数有零点求参数常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.22.已知函数,为自然对数的底数.(1)当 且 时,求的最小值;(2)若函数在上存在极值点,求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据导数的正负即可判断函数的的单调性,进而可以求函数的最小值;(2)通过分类讨论的范围,研究函数的导数的正负,进而研究其单调性和极值即可求解.【详解】(1)证明:当时,,则,当时,,则,又因为,所以当时,,仅时,,所以在上是单调递减,所以,即.(2)可得,因为,所以,①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点,②当时,易知在上单调递增,因为当时,,所以在上单调递减,没有极值点;当时,,所以存在使,当时,时,,所以在处取得极小值,为极小值点.综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.
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