2022-2023学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．（    ）A．6 B．12 C．8 D．20【答案】C【分析】根据组合数与排列数的运算即可得答案.【详解】∵，，∴.故选：C.2．下列结论中正确的是（    ）A．若，，则B．若且，则C．设是等差数列，若，则D．若，则【答案】A【分析】根据不等式的性质判断A，利用特殊值判断B，根据等差数列的性质及基本不等式判断C，构造函数，利用导数判断D.【详解】选项A，由，可得，则，又，所以，则，故A正确.选项B，取，则，则不等式不成立，故B不正确.选项C，由题意得且，所以，故C不正确.选项D，设，则，当时，，则单调递减，，即，故D不正确.故选：A.3．函数的导数是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.【详解】解：由已知可得，故选：B.4．在等差数列中，若，，则（    ）A．6 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.【详解】因为等差数列中，，，所以公差，，则，故选：B.5．已知等比数列各项均为正数，且，则=（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由可得：，即，因为，，所以，解得：或（舍），故选：D.6．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，故选C．【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断．7．某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（    ）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】利用导数的物理意义，即可求解.【详解】，当时，，所以质点在时的瞬时速度为.故选：B8．曲线在点处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数，当时，，∴曲线在点处的切线方程为：，即.故选：A.9．如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（    ）A．条 B．条C．条 D．条【答案】C【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.故选：C【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.10．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（    ）A．48个 B．60个 C．96个 D．120个【答案】B【分析】根据排列数的意义求解即可.【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：.故选：B.11．函数的单调增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导函数，令，解不等式即可得函数单调增区间.【详解】，定义域为则，令，解得，故函数的单调增区间为.故选：A.12．函数的极值情况是（    ）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值【答案】D【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.【详解】∵，∴，由，得或，时，；时，；时，，∴函数的递减区间是，；递增区间是，∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，∴函数既有极大值又有极小值.故选：D.13．已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ）A． B．没有极大值C．时，有极大值 D．时，有极小值【答案】D【分析】根据函数的图象可知，有极大值，的值无法确定，再根据的图象确定的单调性，从而可说明不是函数的极值点，是函数的极小值点.【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．由图象可知：.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.故选：D．14．设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.15．对于R上可导的任意函数，若满足则必有A． B．C． D．【答案】C【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.【详解】若，则为常数函数,;若不恒成立,当时, ,递增，当时,,递减..故选:C.【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题. 二、填空题16．在等比数列中，，则           .【答案】【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，因此，故答案为：17．已知函数，则          .【答案】6【分析】利用求导公式对进行求导，根据导数的定义即可求值.【详解】解：∵，∴，∴，则.故答案为：6.18．已知函数，则   【答案】【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：19．函数在上的最大值为          .【答案】10【分析】对二次函数配方后，根据二次函数的性质可求得其最大值.【详解】解：根据题意，函数，当时，，当时，，故函数在上的最大值为10.故答案为：10. 三、双空题20．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝     ，展开式中的常数项是    ．【答案】     4     24【分析】由二项式的和有求n值，写出二项式展开式通项，进而求常数项.【详解】由题意，则，故二项式展开式的通项为，令，得，故展开式中的常数项为24.故答案为：4，24 四、填空题21．数列中，若，，则          .【答案】【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.【详解】由题意，，可得，所以，所以.故答案为：.22．已知数列的前项和，则          .【答案】【解析】根据，求出通项，再验证也满足所求式子即可.【详解】因为数列的前项和，所以，又也满足上式，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由求数列的通项，属于基础题型.23．若曲线在点处的切线过点，则实数的值为         .【答案】/【分析】根据导数的几何意义结合导数的运算即可确定切线方程，根据切线方程过点，列方程求解实数的值.【详解】由，得，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，代入，得，解得.故答案为：.24．已知函数在上是减函数，则的取值范围是        ．【答案】【分析】根据导数与单调性的关系,对求导,并令,即可求得的取值范围.【详解】因为函数则因为 在上是减函数所以在上恒成立即则当时, 恒成立当时, 在上恒成立,则综上所述, 的取值范围是【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,二次函数恒成立问题,属于基础题.25．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”        ．【答案】【分析】先求，结合拉格朗日中值的定义，可得求得的值即可.【详解】由可得，所以，由拉格朗日中值的定义可知，即，所以．故答案为： . 五、解答题26．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)（1）选4人排成一排;（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;（3）全体排成一排,女生必须站在一起;（4）全体排成一排,男生互不相邻;（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.【分析】（1）（2）直接利用排列求解；（3）利用捆绑法求解；（4）利用插空法求解；（5）利用优先法求解；（6）利用间接法求解；（7）利用整体法求解.【详解】（1）选4人排成一排，有种；（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种；（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有种；（4）全体排成一排,男生互不相邻，有种；（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种；（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种.27．已知数列满足，，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由，，可得；设等差数列的公差为，由，，可得，则；（2），可得数列的前项和为．28．已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)数列的通项公式；(2)的最小值，并求取得最小值时n的值．条件①：；条件②：．【答案】(1)条件①：；条件②：(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为. 【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.【详解】（1）若选择条件①：设等差数列的公差为，由可得；又，得，即；解得，所以；即数列的通项公式为.若选择条件②：设等差数列的公差为，由可得；又，即，得；解得；所以；即数列的通项公式为.（2）若选择条件①：由可得，；根据二次函数的性质可得当时，为最小；即时，取最小值，且最小值为.若选择条件②：由可得，；根据二次函数的性质可得当或时，为最小；即或时，取最小值，且最小值为.29．已知曲线：.(1)求的值；(2)求曲线在点处的切线方程；(3)求函数的极值.【答案】(1)2(2)(3)极大值为，极小值为 【分析】（1）根据题意，求导之后代入计算即可得到结果；（2）根据题意，求导之后，由导数的几何意义即可得到结果；（3）根据题意，求导之后，代入计算，即可得到极值.【详解】（1）已知，函数定义域为，可得，所以；（2）由（1）知，又，所以曲线在点处的切线方程为，即；（3）由（1）知，令，解得或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值.30．已知函数.(1)当时，求曲线在点处切线的倾斜角；(2)当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；(3)若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可得出实数的取值范围；（3）设，分析可知，函数在上单调递增，对实数的取值进行分类讨论，结合对任意的恒成立，可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，，则，所以曲线在点处切线的倾斜角为.（2）解：函数的定义域为，当时，，令，可得或.①当时，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；②当，即时，若，则，此时函数在上单调递减，当时，即，此时函数在上单调递增，所以，在上的最小值是，不合题意；③当，即时，对任意的时，，则在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.综上可得，故的取值范围为.（3）解：设，则，对任意、，，且恒成立，等价于在上单调递增.而，①当时，，此时在单调递增；②当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，二次函数的对称性为直线，只需，即.综上可得，所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.