四川省乐山市沫若中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

沫若中学2022级高二上期入学考试数学试卷

（考试时间：120分钟    试卷总分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（    ）

A． B． C． D．60

2．复数的虚部是（    ）

A．1 B． C． D．

3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ）

A．抛一枚硬币，出现正面朝上

B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上

C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

4．已知是第二象限角，则（   ）

A．是第一象限角 B．

C． D．是第三或第四象限角

5．如右图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15°方向，则这时船与灯塔的距离是（    ）

  A．10km          B．20km           

C．km         D．km

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

7. 已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（    ）

  A． B． C． D．

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9．已知一组数据为：3，4，6，7，7，5，5，4，5，4，则这组数据的（    ）

A．平均数为5        B．众数为5       C．中位数为5.5     D．方差为

10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ）

A．与互斥        B．       C．与对立       D．与相互独立

11．给出下列命题，其中假命题为（    ）

A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

C．若与同向，且，则；

D．为实数，若，则与共线.

12．科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以天、天和天为周期，均可按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，则（    ）

A．第天时情绪曲线处于最高点

B．第天到第天时，智力曲线与情绪曲线不相交

C．第天到第天时，体力曲线处于上升期

D．体力曲线关于点对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某学校高中一年级有男生500人，女生400人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，则所抽取的女生人数为      .

14．已知平面向量，，.若，则x＝      .

15. 已知，则的值为_________．

16．在中，，，，则的取值范围是          ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.

17．（本小题10分）

已知，且是第二象限角．

(1)求，的值；

(2)化筒求值：．

18．（本小题12分）

已知平面向量、，，，且与的夹角为．

(1)求；

(2)求；

(3)若与垂直，求的值．

19．（本小题12分）

某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如右图所示的频率分布直方图：

(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；

(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；

(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．

20．（本小题12分）

与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，

(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率

21．（本小题12分）

已知函数，且           .

从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：

①函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为；

②函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为；

③点在上；

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将的图象向上平移个单位，接着向左平移个单位，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求函数的最小正周期和对称轴及时的值域。

22．（本小题12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的取值范围.

沫若中学高2025届开学摸底检测答案

1．

【答案】B

【详解】易知，由扇形弧长公式可得.

故选：B

2．

【答案】B

【详解】，

则其虚部为.

故选：B.

3．

【答案】C

【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；

B选项：3点朝上的概率为，B错误；

C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；

D选项：花色是红桃的概率为，D错误.

故选：C.

4．

【答案】D

【详解】解：对于A，∵是第二象限角，

∴，，

∴，，

∴是第一象限或第三象限角，故错误；

对于B，由可知是第一象限或第三象限角，故错误；

对于C，∵是第二象限角，

∴，，

∴是第三象限或第四象限角，，故错误；

对于D，∵是第二象限角，

∴，，

∴，，

∴是第三象限或第四象限角，故正确；

故选D．

5．

【答案】C

【详解】根据题意，可得，即，，

在中，利用正弦定理得，得,

则这时船与灯塔的距离是 .

故选：C．

6．

【答案】B

【详解】因为，

平方得，又

故，

则．

故选：B.

7.

【答案】B

【详解】由平面向量的夹角为，且，

可得，

且，

设向量与的夹角为

所以，

因为，可得，即与的夹角为.

故选：B.

8．

【答案】C

【详解】由题意，是上一点，设，

则，

又，所以，

所以，

所以，解得.

故选：C

9．

【答案】AD

【详解】将数据从小到大排列：.

平均数为，众数为4和5，中位数为，

方差为，故AD正确，BC错误.

故选：AD

10

【答案】ABD

【详解】若两次掷出的点数之和是5，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于5，故A与C互斥，故A正确；

“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，

所以，故B正确；

由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与D不是对立的，故C错误；

先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有6×6=36中等可能的不同情况，“两次掷出的点数之和是5”有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有（=1，2，3，4，5，6）共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有两种情况，

所以所以,所以A,B独立，故D正确.

故选：ABD

11．

【答案】ACD

【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，

对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，

所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，

对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，

对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，

故选：ACD

12．

【答案】AC

【详解】设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线用，，，

所以，，.

A项：第天时，，

故处于最高点，A正确；

B项：设，

因为，，

故利用零点存在定理可得存在，使得，

故此时智力曲线与情绪曲线相交，B错误；

C项：因为，所以，

因为，所以根据正弦函数的性质可得此时单调递增，

故处于上升期，C正确；

D项：因为，所以，体力曲线不关于点对称，D错.

故选：AC.

13．

【答案】

【详解】从该年级学生中随机抽取一个容量为45的样本，其抽样比例为，

所以抽取的女生人数为.

故答案为：.

14．

【答案】

【详解】，因为，

则，解得，

故答案为：.

15.

【答案】

【解析】

由余弦二倍角公式可得，

，

故答案为：

16．在中，，，，则的取值范围是          ．

【答案】

【详解】根据正弦定理得，即，

，

，

，，所以，

，

即的取值范围．

故答案为：．

17．（

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）因为是第二象限角，，

所以，

；

（2）原式.

18．

【答案】(1)1

(2)2

(3)

【详解】（1）由，有，

∴

（2）

；

（3）因为与垂直，

所以，即，

∴，∴.

19．

【答案】(1)分；

(2)分；

(3).

【详解】（1）解：由，

得.

数学成绩在：

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，

频率，

样本平均值为：，

可以估计样本数据中数学成绩均值为分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．

（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，

在分以下所占比例为

因此，第百分位数一定位于内，由，

可以估计样本数据的第百分位数约为分，

据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.

（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，

分数段的人数为 (人)．

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，

设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，

则样本空间共包含个样本点

而的对立事件包含个样本点

所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．

20．

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，

则，，，

即，，

所以，，

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．

（2）有3个家庭回答正确的概率为

，

有2个家庭回答正确的概率为

，

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

21．

 解析：（1）选①，依题意，，

函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，

有

则有，

由得：

所以函数的单调递增区间是.

选②，依题意，，显然，

因函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，

则有，

由得：，

所以函数的单调递增区间是.

选③，依题意， ，

    ，即，则，

即有，而，则，

则有，

由得：

所以函数的单调递增区间是.………………………6分

（2）由（1）知，所以将的图象向上平移个单位，接着向左平移个单位，得到，………8分

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标保持不变，则，

所以函数的最小正周期为；

对称轴为；

因为，所以，则的值域为。

22．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

所以，所以，

又，所以；

（2）由正弦定理可知:，则，

所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以周长的取值范围为.