2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合和，根据交集和并集的定义，即可得出答案．

【详解】因为，

所以，即，

由得，

所以，，

故选：C．

2．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的性质估计的范围，由此可得的大小.

【详解】因为底数，所以指数函数为增函数，

又，

所以，即，

因为底数，所以对数函数为增函数，

又，

所以，即，

又

所以，

故选：B.

3．对于实数a，b，c下列说法中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.

【详解】当时，有，由得，A选项说法正确；

当时，，则有，故B选项说法错误；

当，有，则，即，C选项说法正确；

当，时，有，由则，D选项说法正确；

故选：B.

4．已知：对任意的，，：存在，使得，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式存在性与任意性可分别求出的范围，根据集合间的包含关系即可求解.

【详解】因为对任意的，，,所以.

因为存在，使得，，所以.

因为，所以是的充分不必要条件.

故选:A.

5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（    ）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】C

【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．

【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，

若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．

故选：C.

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的定义域以及零点个数，可得出合适的选项.

【详解】对于函数，有，解得，故函数的定义域为，排除AB选项，

令可得，解得，即函数只有两个零点，排除C选项.

故选：D.

7．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】根据已知得出函数的周期，由已知作出函数的图象，以及的图象，结合图象，以及函数值，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，所以周期为2.

又函数是定义在R上的偶函数，当时，，

根据已知，作出函数的图象，以及的图象

因为，，由图象可知，与交点的个数共有9个，

所以，函数的零点个数为9.

故选：D.

【点睛】方法点睛：作出函数的图象，根据图象，即可得出函数零点的个数.

8．已知函数，对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设函数，则得到在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】设函数，

因为对任意的，，恒成立，

则，在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

令，，

由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，

所以，所以，所以，

解得，即实数a的取值范围为．

故选：A．

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

二、多选题

9．已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（    ）

A．

B．展开式中的系数为

C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32

D．展开式中二项式系数最大的项为

【答案】ACD

【分析】赋值法求得，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求的系数、奇数项的二项式系数和、二项式系数最大的项.

【详解】令，则，可得，A对；

，

当时，，B错；

由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；

由上知：二项式系数最大为，即，则，D对.

故选：ACD

10．已知关于，且．下列正确的有（    ）

A．最小值为9 B．最小值为1

C．若，则 D．

【答案】CD

【分析】A选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；B选项，变形得到，再利用基本不等式进行计算；C选项，先由基本不等式得到，再用作差法计算；D选项，平方后利用基本不等式进行求解.

【详解】A选项，因为，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，A错误；

B选项，因为，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

但由于，故等号取不到，所以的最小值不为-1，B错误；

C选项，，

因为，，所以由基本不等式得，

故，C正确；

D选项，由基本不等式得，

所以，当且仅当时，等号成立，D正确.

故选：CD

11．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（    ）

A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点

C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点

【答案】CD

【分析】令y＝0得，利用换元法将函数分解为f（x）＝t和f（t）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

【详解】令，得，设f（x）＝t，则方程等价为f（t）＝﹣1，

①若k＞0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，

∴此时方程f（t）＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f（x）＝t2＜0，此时x有两解，

由f（x）＝t1∈（0，1）知此时x有两解，此时共有4个解，

即函数y＝f[f（x）]+1有4个零点．

②若k＜0，作出函数f（x）的图象如图：∵f（t）＝﹣1，∴此时方程f（t）＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，

由f（x）＝t1∈（0，1），此时x只有1个解，即函数y＝f[f（x）]+1有1个零点．

故选：CD．

【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．

12．已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（    ）

A．的图象关于对称 B．为偶函数

C． D．不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.

【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，

由得，由得，故为偶函数，故B正确，

由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，

由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减

故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：

由性质结合图可知：当，时，，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．计算：                ．

【答案】/

【分析】利用指数幂与对数的运算法则求解即可.

【详解】

.

故答案为：.

14．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为          ．

【答案】/

【分析】设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，分别求得，结合条件概率的计算公式求解即可.

【详解】设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，

则，

所以，即男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

故答案为：.

15．恒过定点P，P在幂函数图象上，      ．

【答案】

【分析】利用对数函数恒过定点，找到，点P 在幂函数上，可解出幂函数解析式，求得的值.

【详解】设点，由1的对数恒为0，所以，

设函数，则，

所以，

故答案为：.

16．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围        ．

【答案】

【分析】根据题意转化为可转化为在上有解，令，求得，得出函数的单调性，求得最大值，即可求解.

【详解】若存在，使得不等式成立，

可转化为在上有解，

令，可得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又由时，；当时，，

因为，

所以函数的最大值为，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数（且）在上的最大值为3.

(1)求的值；

(2)假设函数的定义域是，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据已知，利用对数函数的性质分类讨论，再进行计算求解

（2）根据已知，利用对数函数的性质以及一元二次函数、一元二次方程进行求解.

【详解】（1）当时，函数（且）在上单调递减，

∴，解得；

当时，函数（且）在上单调递增，

∴，解得，

综上所述，或

（2）∵的定义域是，

∴恒成立，

则方程的判别式，

即，解得

又或，因此，

∴不等式，即，

即，解得

因此不等式的解集为.

18．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：

参考公式：，其中.

(1)依据的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？

(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取10名用户进行回访，记抽出的10人中年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数为，求的期望.

【答案】(1)能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关

(2)

【分析】（1）先零假设，然后计算，对照临界值表可得结论；

（2）根据二项分布的期望公式可求出结果.

【详解】（1）零假设为：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关，

，

所以依据的独立性检验，推断不成立，即能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关.

（2）由列联表可知，观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中，年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数频率为，

用频率估计概率，所以，故.

19．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

(2)求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】(1)答案见解析；

(2)，9.9百千克.

【分析】（1）利用给定的图象，求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算并判断作答.

（2）利用（1）中信息，结合最小二乘法公式求出回归直线方程，再估计作答.

【详解】（1）因为，，

，

，，

因此相关系数，

所以可用线性回归模型拟合与的关系.

（2）由（1）知，，，

因此，当时，，

所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．

20．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性；

（2）结合（1）由分析可得要证明原结论只需证明，设，利用导数求其最大值即可.

【详解】（1）由，得，

①当时，，在上单调递减；

②当时，令，得，

当时，，单调递增；

，，单调递减；

（2）由（1）知，当时，，

要证：当时，，

可证：，

因为，即证：，

设，，

令，则，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，所以，

即，

所以当时，．

21．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分）数据，统计结果如下表所示．

(1)已知此次问卷调查的得分，近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求；

（附：若，则，，，）

(2)在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

②每次赠送的机制为：赠送20元话费的概率为，赠送40元话费的概率为．

现市民甲要参加此次问卷调查，记该市民参加问卷调查获赠的话费为元，求的分布及期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）根据题中的统计表，求得，结合，进而求得的值.

（2）根据题得到话费可能的值有20，40，60，80元，根据互斥事件与独立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：根据题中的统计表，结合题设中的条件，可得：

，

又由，

所以.

（2）解：根据题，可得所得话费可能的值有20，40，60，80元，

其中；；

；，

所以随机变量的分布列为：

所以期望为.

22．已知函数（a为常数）．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义求解，

（2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案.

【详解】（1）当时，，，

所以，，

故曲线在点处的切线方程为．

（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，

从而得到，即，

又，故，且

令，则，

，

所以在上单调递减，

所以，即的值域为，

所以的范围是.