2022-2023学年甘肃省会宁县第四中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省会宁县第四中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】利用补集的定义可求得集合.

【详解】因为集合，，故或.

故选：B.

2．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．函数的值域是

C．若，则

D．函数的图象必过定点

【答案】B

【分析】对A根据指数函数定义判断；对B根据二次函数值域判断；对C根据指数函数的单调性判断；对D根据指数函数恒过定点判断.

【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.

选项B. 当时，，故B正确.

选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.

选项D. 由，可得的图象恒过点，故D不正确.

故选：B

3．幂函数在上是减函数，则实数值为（    ）

A．2 B． C．2或 D．1

【答案】A

【分析】由题意可得，且可求出实数的值.

【详解】幂函数，

，

解得，或；

又时为减函数，

当时，，幂函数为，满足题意；

当时，，幂函数为，不满足题意；

综上，，

故选：A．

4．若函数在上是减函数,则实数m的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．

【详解】函数的对称轴是：，

若函数在上是减函数，

只需，即即可，

故选：B．

5．函数的大致图象为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答.

【详解】由，得，即函数的定义域为，

显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足；

当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足.

故选：D

6．设函数 有且只有一个零点的充分条件是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化成的图像与直线无交点，结合图象即可求解.

【详解】因为函数恒过点，所以函数有且只有一个零点函数没有零点函数的图像与直线无交点，数形结合可得，或

即函数有且只有一个零点的充要条件是或,

只有选项是函数有且只有一个零点的充分条件,

故选：A

7．已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由可得函数关于对称，在上单调递减，进而可得，即得.

【详解】∵为偶函数，

∴，即函数关于对称，

又函数在上单调递增，

∴函数在上单调递减，

由，可得，

整理得，解得或，

即不等式的解集为.

故选：B.

8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得的大小关系，可得答案.

【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，

因为当时，，由，则，即，

所以在上单调递增，则在上单调递减，

由，

由，根据函数在上单调递增，则；

由，根据函数在上单调递增，则.

由函数在上单调递减，则，即.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是　　

A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题

B．“”是“”的充要条件

C．命题“，”的否定是“，”

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】CD

【分析】直接利用举例法和充分条件和必要条件及命题的否定的应用判断A、B、C、D的结论．

【详解】对于A，“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题，例如，则，故A错误；

对于B： 令，满足，但，

又令，满足，但，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；

对于D：“当”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．

故选：CD．

10．下列各组函数不是同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】ABD

【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可

【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，

所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，

对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，

对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，

对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，

故选：ABD

11．下列运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于选项A，，所以选项A正确；

对于选项B，，所以选项B错误；

对于选项C，，所以选项C错误；

对于选项D，，所以选项D正确.

故选：AD

12．（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.

【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，

且当时，，可得.

对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，C错；

对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知函数的定义域为 则的定义域为                

【答案】

【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.

【详解】由已知，的定义域为，所以对于

需满足,解得

故答案为：.

14．已知，，，则的最小值为      .

【答案】

【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由已知，，，则，当且仅当，时等号成立.

故答案为：.

15．函数的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围为      .

【答案】（0,1）

【分析】根据解析式可得到图象，利用数形结合即可得到结果.

【详解】图象如下图所示：

由图象可知，若与有两个不同的交点，则

本题正确结果：

【点睛】本题考查根据交点个数求解参数范围的问题，常采用数形结合的方式来进行求解.

16．已知在上单调递减，则的取值范围是          ．

【答案】

【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．

【详解】若函数在上是单调减函数，

则，解得，

即，

故答案为：．

四、解答题

17．已知函数，其中且.

(1)判断的奇偶性；

(2)若，解关于x的不等式.

【答案】(1)奇函数

(2)

【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验与的关系即可判断；

（2）结合对数函数的单调性即可求解．

【详解】（1）因为的定义域关于原点对称，

因为，

所以为奇函数；

（2）当时，由可得，

所以，

故，

故不等式的解集为．

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)最大值为4，最小值为0

【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线；

（2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值．

【详解】（1）对函数求导，，

，

所求得的切线方程为，

即；

（2）由（1）有，

令，解得：或，

故函数在递增，在递减，

故函数在取最大值，

，，

故函数在的最大值为4，最小值为0．

19．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.

（2）由分离常数，进而求得的取值范围.

【详解】（1）由为二次函数，可设

∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，

∴，∴，

∴．

（2）∵，即在上恒成立，

又∵当时，有最小值0，

∴，

∴实数m的取值范围为．

20．如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.

【详解】（1）因为平面平面，

所以，同理，

所以为直角三角形，

又因为，，

所以，则为直角三角形，故，

又因为，，

所以平面.

（2）由（1）平面，又平面，则，

以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，即

令，则，所以，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以，

所以，

又因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

21．“总要来趟南京吧!”今年一季度南京接待游客4千多万，居全省第一.南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵､夫子庙､玄武湖､南京博物院等传统景区，又有科巷､三七八巷､德基广场等新晋网红景点.

(1)如果随机访问了50名外地游客，所得结果如下表所示：

试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关；

(2)根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是0.6，首选网红景点的概率是0.4.如果随机访问3名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望.

附：（其中.

【答案】(1)有

(2)分布列见解析，1.2

【分析】（1）根据表中的数据填写列联表，再按照公式计算；

（2）随机变量X服从二项分布，根据二项分布求出分布列和数学期望.

【详解】（1）提出假设

：是否选择网红景点与性别没有关系.

由题意，补全列联表得

根据公式求得，

因为当成立时，的概率约为0.1，

所以有的把握认为，是否首选网红景点与性别有关；

（2）由题意知，随机变量服从二项分布，

则的分布列为：

，

，，，，

的分布表为：

所以的期望值；

综上，是否首选网红景点与性别有关；的期望值.

22．若定义在上的奇函数满足，当时，．

(1)求的值；

(2)当时，求函数的表达式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可得，再结合条件可求；

（2）由题可求当时，，再结合函数的周期性即求.

【详解】（1）∵定义在上的奇函数满足，

∴，，

∴，即函数是以为周期的周期函数，

又时，

∴，

（2）∵当时，

∴当时，，

∴，

∴当时，，

∴.