2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二下学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】解，得，则，又因为，所以.故选：C.2．已知函数若，则实数的值为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分和讨论即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得.故选：D.3．如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，，，.故选：D．4．已知随机变量，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.【详解】由，，得，，解得，，所以.故选：A.5．已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可结合选项逐一求解.【详解】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增.A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；B选项：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意；C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意.故选：B.6．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解，，进而可求.【详解】在等差数列中，由，得，则.又，由于，所以，所以当时，取得最小值.故选：B.7．下列说法正确的是（    ）A．已知，则“”是“”的充分不必要条件B．若不等式的解集为，则C．若，则D．函数的最小值是【答案】C【分析】根据充分不必要条件的判断可求解A，根据一元二次不等式与一元二次方程的解之间的关系可判断B，根据不等式的性质可判断C，根据基本不等式可判断D.【详解】A选项：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；B选项：由题意得关于的方程的根为和2，所以，B错误；C选项：因为，所以，，，所以，所以，C正确；D选项：因为，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值不是，D错误.故选：C.8．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】设，，即，，在上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为.故选：D【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】应用导数的乘除法运算律判断B,C,D选项，应用复合函数求导判断A选项.【详解】A选项：，A正确；B选项：，B错误；C选项：，C错误；D选项：，D正确.故选：AD.10．已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】BCD【分析】根据以及二次函数的性质可得是的最小值点，即可结合选项逐一求解.【详解】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；C选项，当时，，C选项为真命题；D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.故选：BCD.11．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（    ）A．-5 B．0 C．4 D．7【答案】CD【分析】根据隔离直线的定义，即可将问题转化为和对任意的恒成立，求解最值即可求解.【详解】若函数和之间存在隔离直线，则对任意的，，即，而，当时等号成立，所以；对任意的，，则.因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以实数的取值可以是4或7.故选：CD.12．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（    ）A．m＝3 B．C． D．【答案】ACD【解析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，∴a67＝17×36，∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)（3n﹣1）•n（3n+1）（3n﹣1）故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题． 三、填空题13．已知某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，则该品种小麦的穗粒数超过粒的概率为           .【答案】/【分析】随机变量服从，根据正态曲线的对称性进行求解.【详解】由题可得该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率.故答案为：.14．方程的解集为      .【答案】【分析】根据题意，化简方程为，进而求得方程的解.【详解】由方程，所以或或，故该方程的解集为.故答案为：.15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为      cm．【答案】【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大.故答案为：16．已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则           ．【答案】248【分析】由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和.【详解】①因为是偶函数，所以，用替换x，得，条件化为②，所以，①+②得，在②中用替换x，得③，则①-③得，则，，在①中令，可得，所以．在中令，得，又，所以，再由知．所以．故答案为：248 四、解答题17．已知数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由等差数列的前项和公式，即可得到结果.【详解】（1）由，解得.因为，所以.又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.18．玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）由贝叶斯公式即可求解.【详解】（1）由题设可知，，，，且，，，所以.即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.（2）因为，所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.19．已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出，列方程组即可求解；（2）先判断出点不是切点，可设切点为，由导数的几何意义和过两点的斜率公式，列方程即可求解.【详解】（1）由，得，所以解得，所以函数的解析式为.（2）因为，所以点不在函数的图象上，即其不是切点，则设切点为.，则该切线的斜率为.又因为该切线过点，所以，解得或.当时，，此时切线方程为；当时，，此时切线方程为，即.综上所述，该切线的一般式方程为或.20．已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足(1)求取得最小值时的值；(2)若，证明：.【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；（2）利用裂项求和法结合条件即得.【详解】（1）由，得，累加可得：，所以，显然取最小值时，的值为2.（2）若，则，即，所以显然时，，可得.21．旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A，B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表： A路线B路线合计好一般好一般男10205535120女90302040180合计100507575300(1)根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关吗?(2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解了对这两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的占比为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条路线?请用计算说明理由.附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关(2)这个人会选择A路线，理由见解析 【分析】（1）利用独立性检验求解即可；（2）X、Y的可能取值为6,9,12,15，分别求出概率，求出期望即可.【详解】（1）由题意，得，，，，，所以，，，，所以.因为50>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关.（2）A路线的好评率为，评价为一般为，B路线的好评率为，评价为一般为，设A路线和B路线累计分数分别为，，则，的可能取值都为6，9，12，15，则，，，，所以.，，，，所以.因为，所以这个人会选择A路线.22．已知函数.(1)若，讨论函数的单调性和极值情况；(2)若，求证：当时，；(3)若，求证：当时，.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）求出的导数，判断导数取值范围进而确定的单调性，进而可求极值；（2）求出二次导数，判断出单调递增，代入求出在的取值范围，以此找出的最小值即可；（3）在（2）的基础上讨论的取值范围，将a进行分类讨论，判断出的单调区间，找出最小值即可.【详解】（1），则.令，则.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值.（2）证明：当时，因为，令，则，故在单调递增.当时，，故在单调递增，则.（3）证明：由（2）可知在上单调递增，.①当时，，故在单调递增，所以；②当时，.因为，故存在使得（*）.又因为在单调递增，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故.由（*）得，代入上式，得.因为，令，所以，.当时，，所以在上单调递增，所以，所以，则，所以当时，，即得证.【点睛】方法点睛：函数零点与参数的变换.在此题中，当函数的导数存在零点时，函数最小值会随着参数的变化而变化，此时函数中存在两个变量，不易判断出函数的最小值.解决此问题的方法为假设函数最小值点，也就是假设导函数的零点，在导函数中代入零点构造方程即可将参数用零点表示出来，再代回原式即可得到只有一个变量的函数解析式.